小题大做要有度

小题大做须有度

高三调研测试中常遇见一些小巧灵动的填空题，这些承载着命题人智慧的小题，有数学背景、有数学思想、有数学方法，有料有味，值得师生品鉴！

不过VectorAB发现一个有趣的现象，每每考试结束，即有很多微信公众号发布了关于调研考试填空题第11题至第14题的各种精妙与不精妙的方法.对此，VectorAB有自己的一些想法.VectorAB觉得解题方法不在于多，而在于能否反映问题的本质，所以VectorAB认为小题大做须有度.

如果静下心来认真思考，我们会发现很多解题方法看似不同，而实质想通，VectorAB觉得一题多解是小本领，多题一解才是大学问.教师的真正作用在于引导学生从概念、定义的角度出发，应用基本的数学原理解决问题.高三学生考前的最后一个月，更是要关心数学概念、数学结论、数学方法的本质，关心数学过程、数学结构和数学思想.

晚上建宇兄弟把7个大市联考的试题发给我学习，Vector认真的做了全卷.下面给出这份联考试题第11-14题的个人处理方法.

第11题：本题以等差、等比数列为载体，最终落地是依赖不等式或函数思想.

方法1：由题意可知b2=ac,a+c=2b-3,由(a+c)2≥4ac可知,(2b-3)2≥4b2,所以b的最大值为3/4.

方法2：引入公比q或公差d，下面给出引入公差d的处理.

a=b-d-4,c=b+d+1,

所以b2=(b-d-4)(b+d+1),

所以3b=-(d+4)(d+1),

所以b的最大值为3/4.

第12题：本题几何背景为“阿波罗尼斯圆”，非常遗憾，很多高三孩子依然不知道初中阶段如何理解“阿波罗尼斯圆”，Vector给出初中方法，高中阶段的解析方法就不赘述.

在AB的延长线上取一点O，使得OC2=OB·OA,则OA=9OB,所以OA=4.5,OC=1.5,

点C的轨迹是以O为圆心,1.5为半径的圆,所以CD的最小值为sqrt(61)-1.5.

第13题：数量积的两种基本计算方法，坐标化目标比较明确，VectorAB给出非坐标化的方法.

设∠BAD=2x(x为锐角,则∠NAC=x,AM=cos(2x),CN=2sinx,

所以向量AM与向量CN的夹角为(90°-x).

所以向量AM与向量CN的数量积等于cos(2x)·2sinx·cos(90°-x)，即cosx(1-cosx).

所以向量AM与向量CN的数量积的最大值为四分之一.

第14题：分类讨论与存在性问题

(1)当a<0时,

当x<0时,函数f(x)的图像已经经过第二象限与第三象限；

当x>0时, f(x)=x(x2-a)+|x-2|,显然f(x)>0,此时函数f(x)的图像都在第一象限.

所以,当a<0时,f(x)的图像恰好经过三个象限.

(2)当a=0时,

函数f(x)的图像不经过第二象限与第四象限,不符合题设要求.

(3)当a>0时,

当x<0时,函数f(x)的图像只在第三象限；

当x>0时,存在x=sqrt(a+1),使得f(x)>0,所以函数f(x)的图像也经过第一象限.

而函数f(x)的图像恰好经过三个象限,

所以存在x，使得f(x)<0,下面可以通过分离参数控制参数a的范围.

存在x,使得a>x2+[abs(x-2)/x],

记g(x)= x2+[abs(x-2)/x](x>0),则g(x)的最小值为2,

所以a>2.

综上:实数a的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).