第一性原理 || 计算不同晶系的弹性常数和弹性模量

弹性常数

弹性常数描述了晶体对外加应变的响应的刚度。在材料的线性变形范围内（应变较小的情况下），体系的应力与应变满足胡克定律。也就是说，对于足够的小的变形，应力与应变成正比，即应力分量(S)是应变分量(E)的线性函数，三维材料的弹性刚度常数矩阵是6×6的：

公式中C_ij就是我们通常所说的弹性常数。因为刚度矩阵是对称矩阵，因此，弹性常数的独立张量元数目至多只有21个。对不同的晶系的晶体，因为对称性的关系，其独立的弹性常数是确定的。因此，晶系的对称性越高，独立的张量元数目越少。

注意：弹性常数的数量只和晶系有关，和晶系中具体的对称类型无关。

VASP5.2以上版本计算弹性常数：

在INCAR中添加IBRION=6,NFREE=4,ISIF=3。计算结束后会产生刚度矩阵，即得到了弹性常数(C_ij)。FCC结构的刚度矩阵如下图所示：

FCC结构只有3个独立矩阵，得到弹性常数C₁₁，C₁₂，C₄₄。

下面具体展示了不同晶系的刚度矩阵：

01

立方晶系——只有3个独立矩阵元（C₁₁，C₁₂，C₄₄）

02

六角晶系——有5个独立矩阵元（C₁₁，C₁₂，C₁₃，C₃₃，C₄₄）

03

三角晶系

a) 32，3m，-32/m——有6个独立矩阵元（C₁₁，C₁₂，C₁₃，C₁₄，C₃₃，C₄₄）

b) 3，-3,——有8个独立矩阵元（C₁₁，C₁₂，C₁₃，C₁₄，C₁₅，C₃₃，C₄₄，C₄₅）

04

四方晶系

a) 422，4mm，-42m，4/mmm——有6个独立矩阵元（C₁₁，C₁₂，C₁₃，C₃₃，C₄₄，C₆₆）

b) 4，-4，4/m——有7个独立矩阵元（C₁₁，C₁₂，C₁₃，C₁₆，C₃₃，C₄₄，C₆₆）

05

正交晶系——有9个独立矩阵元（C₁₁，C₁₂，C₁₃，C₂₂，C₂₃，C₃₃，C₄₄，C₅₅，C₆₆）

06

单斜晶系——有13个独立矩阵元

07

三斜晶系——有21个独立矩阵元

弹性模量和泊松比

以上VASP计算得到弹性常数，根据Voigt-Reuss-Hill [1-3]近似模型，可以得到剪切模量(G)和体模量(B)。以立方晶系为例：

Voigt average：

Reuss average：

Hill average：

由G和B，可以得到杨氏模量(E)和泊松比(v)：

参考文献：

[1] D. W. Voigt, Lehrbuch der Kristallphysik, Taubner, Leipzig, 1928.

[2] A. Reuss, Z. Angew, Math. Mech 9 (1929) 55.

[3] R. Hill, Proc. Phys. Soc. London A 65 (1952) 349.

本期推文所讲述内容，在一本叫做PHYSICAL PROPERTIES OF CRYSTALS的书中被详细说明，该书可以说是做晶体物理性质计算的圣经。该书在1990年由西安交大的孟中岩教授组织翻译过中文版，并于1994年出版，名为《晶体的物理性质》，很可惜该书没有再版，很多高校也没有藏书，网上也难寻中文版的踪影。我们特意将该书的中文版和英文版作为本期的附件内容，希望能够对做计算的你有所帮助。

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