高维斯图尔特公式
平面几何中非常有用的斯图尔特公式，是计算三角形的顶点到对边上一点的距离的公式。
类似地，计算高维欧氏单形的顶点到其余顶点所在的超平面上一点的距离，有高维斯图尔特公式。
本文介绍高维欧氏空间的斯图尔特公式，适合高中生和大学生阅读。
(一)平面几何的斯图尔特公式
斯图尔特定理的结论称为斯图尔特公式。
斯图尔特公式包含了一些公式作为特殊情形。例如：
1. 中线长公式：若 为中线，则有2. 内角平分线长公式：若 为内角平分线，则有3. 外角平分线长公式：若 为外角平分线，则有(二)点组的仿射组合
为了便于表述高维斯图尔特公式，先介绍欧氏空间的点组的仿射组合的概念。
设 是 维欧氏空间 的点，实数 满足命题1设 使得对于某个 向量等式成立。则这个等式对于所有 成立。证明：对于任意的 有这就证明了命题1.命题2存在唯一的 使得对于任何 有向量等式证明：任意取定 得到向量根据向量的定义，存在 使得由命题1，这个等式对于所有 成立。这就证明了命题2.
说法：表达式 称为点组 的仿射组合。命题2说明，点组的仿射组合表示确定的点，即(三)高维斯图尔特公式
设 是欧氏空间 的点组，其中 可以写为 的仿射组合，即存在实数 其和等于 使得定理1 (高维斯图尔特公式)对于任何点 有等式证明：由点组的仿射组合的意义，有向量等式
这等式两边与向量 做数量积(内积)，得到由仿射线性组合 有等式由此得到
代入等式 就得到所要证明的等式这就完成了定理1的证明。
(四)回到平面几何的斯图尔特公式
对于仿射组合 有二维斯图尔特公式回到欧氏平面几何。设点 在 的边 上。则有点组的仿射组合
由此立即得到平面几何的斯图尔特公式
(五)高维斯图尔特公式的几何解释
根据欧氏空间的点组的仿射组合的系数的几何意义，可以给出高维斯图尔特公式的几何解释。
设 不在任何 维子空间内。则它们落在唯一的 维子空间内； 是这个子空间内的任一点。
以 为顶点(按此次序)的 维有向单形的代数体积，记为
以 为顶点(按此次序)的 维有向单形的代数体积，记为 则有
及仿射组合表达式
其中
由此得到高维斯图尔特公式的几何形式：定理2 (高维斯图尔特公式)对于 有作为例子，在 的情形，用 表示有向三角形 的代数面积，有公式(六)斯图尔特公式的历史及相关文献
斯图尔特定理连同证明，最早由苏格兰数学家斯图尔特 (Matthew Stewart, 1717–1785) 发表于1746年在爱丁堡出版的著作《在高等数学中有重要应用的一些一般定理》(见该书开篇的命题I及命题II)。
Matthew Stewart, Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics, Edinburgh: Sands, Murray and Cochran, 1746.
关于高维斯图尔特公式，根据笔者查到的文献，Molnár (1961) 得到了一般公式及其几何解释；也可以参考 Fabricius-Bjerre (1971) 及 Bottema (1979).相关的文献信息如下：
Ferenc Molnár, Stewart tételének egy általánosításáról (A generalisation of Stewart's theorem). Mat. Lapok 12 (1961), 215–221.
Frederick Fabricius-Bjerre, Generalizations of Stewart's formula. Nordisk Mat. Tidskr. 19 (1971), 109–119.
Oene Bottema, Eine Erweiterung der Stewartschen Formel (A generalisation of Stewart's formula). Elem. Math. 34 (1979), no. 6, 138–140.
(七)结束语
与斯图尔特定理密切相关的，还有 Luchterhandt 定理，将另文介绍。
虽然不是广为人知，高维斯图尔特公式是非常基本的公式，同时有助于更好地理解平面几何的斯图尔特定理。
这是好的数学定理的特点。
可以说，斯图尔特定理是一个好的数学定理。