多项式的差分与招差术

变元 的多项式是幂多项式 的线性组合，即

出现的常数 称为各幂次的系数。

系数非零项的最高次数称为多项式的次数。如果所有系数等于零，所得多项式为零多项式，其次数通常规定为负无穷。

另一方面，对于固定的自然数 “选 组合数”多项式

是变元 的 次多项式 (如果 规定分子分母都等于 )；具体写出来，这些多项式为

容易知道，多项式也可以分解为组合数多项式的线性组合。例如：

本文介绍把多项式分解为组合数多项式的线性组合的差分算法，适合中学生阅读。

(一)简单例子

设多项式 可以表示为前三个组合数多项式的线性组合，即

其中 为常数。

我们通过取变元的特殊值来逐个求出这些常数。

取 得到 即

取 得到 即

取 得到 整理得

这个例子说明，为了求出多项式分解为组合数多项式的线性组合的各个系数，可以从研究函数差值 开始。

(二)差分的定义

本文用到的差分都是指向前差分。

定义 (差分函数)函数 的一阶差分函数 定义为

进一步，函数 的一阶差分

称为函数 的二阶差分函数。类似地，可以定义 的 阶差分函数；特别地，零阶差分就是函数本身，即

作为例子，多项式函数 的各阶差分为

(三)求差分运算的性质

求差分运算的重要性质是保持线性组合 (验证过程留给读者)，即对于函数 及常数

由此，利用给数学归纳法容易证明：

      次多项式的 阶差分等于零多项式。

作为特殊的例子，组合数多项式的差分非常容易计算。

命题1组合数多项式的差分是低一次的组合数多项式，即

这里规定，对于负整数 记号 等于零多项式。

证明：直接计算，得到

这就证明了命题 1.

(四)招差术原理

利用命题 1 计算多项式函数的各阶差分，得到如下招差术原理。

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命题2 (招差术原理)设多项式 表示为组合数多项式线性组合的表达式为

其中 为常数。则有各阶差分公式：

取 直接得到分解式 中的常数

---

由命题 2 知道，为得出分解式 中的各个系数，只需利用函数值 逐次计算差分。

(五)使用招差术的例子

我们应用招差术算法求出正整数四次幂的前 项和的公式。

对于自然数 记

利用

计算得到各阶差分函数在 的值如下：

由命题 1 得到

进一步展开，得到

通过分解因式，也可以改写为

(六)结语

本文介绍的多项式分解为组合数多项式线性组合的差分算法，实际上是中国古代数学的杰出成就——多项式插值法 (招差术) 的应用。

详细的介绍，推荐李俨先生的中算史研究著作

李俨《中算家的内插法研究》(科学出版社 1957)