一个数学家的直觉

卜天译馆

长按二维码购买

一个数学家的直觉

丽贝卡·戈德斯坦 著 唐璐 译

选自《不完备性---哥德尔的证明和悖论》

如涉版权请联系编辑微信@iwish89

哲学园鸣谢

老蝉原编录入 转载请在文首注明哲学园

本书其他选摘：

我们回到数学那独一无二的撩人主题:通过演绎推理来寻求真理,坚实地建立结论,使得关于世界本性的经验发现不能颠覆它们。

一方面,最早从古希腊开始,数学知识就被视为人类知识中最值得信任的领域,事实上是所有知识都应当学习的真正典范:可靠而且不容置疑,简言之,被证明。亳不奇怪,自柏拉图以来,方法论乌托邦者就极力主张数学的标准和方法应当尽可能被应用到我们想要知道的一切领域。

然而,另一方面,在挑剔的认识论学者看来,数学知识却疑窦重重,其绝对的确定性让乌托邦者胆气横生,在谨慎的人眼里却值得怀疑。怎么可能让一切知识都可靠而且不容置疑,简言之,被证明?也许,有些阴郁的认识论学者会争辩,这只不过因为数学知识根本就不是真正的知识;或许它只不过是根据约定规则玩的游戏,没有告诉我们任何事情。“那儿没有那儿,那儿”,这是格特鲁德·斯坦因关于她的出生地加利福利亚奥克兰的著名言辞。至少对某些人来说,数学也是这样。

因此问题是:确定性从何而来?数学确定性的根源是什么?经验知识的基础由感性知觉组成:我通过视觉、听觉触觉、味觉和嗅觉直接感知的——或至少认为的——外部世界。感性知觉让我们得以同那儿的物理实在相接触。数学知识的基础是什么呢?在数学中有类似于感性知觉的东西吗？这个基础由数学直觉组成?我们的直觉官能是我们同那儿的数学实在相接触的途径?或者那儿根本就没有“那儿”?

数学证明必须以某处为出发点。通常证明从其他证明的结论开始,然后从这里演绎出进一步的结论。但不是所有东西都是证出来的,否则我们从哪开始呢?同经验知识一样，在数学中也必然有些是“被给定的”。通过什么途径被给定?数学直觉通常被认为是感性知觉的先验类似物。

直觉,不仅仅在数学中是棘手的玩意。直觉被认为是不用知道其他东西,我们就是了解它或知道有它的某种东西(当然,有时候这个词被用于更弱的情形,传达一种含糊的感觉,不确知。但是在认识论争论中它采用的是更强的意义。)显然直觉——或更精确点,对直觉的主张——在人们之间多有不同;现在这个星球上有些地方人们正彼此杀戮,只是因为他们主张不同的直觉,当然不是数学直觉。真实的直觉都(重言式地)是真的(重言式地,因为它们如果不是真的我们就不会称它们为“真实的”)。但是并不是所有获得公认的直觉都是真实的;当一个人有了真实的东西他该如何确证呢?阴暗的动机——去相信比如说如果为真将有利于其自身地位的命题、断言自己种族天生优越性的臭名昭著的命题——不仅到处都有而且善于掩饰自己。觉得产生的信念直觉上显而易见,恰恰是因为我们不想正视它们真实而可疑的源头,自已的私心和自尊心。

你可能会认为在数学中关于信念的阴暗动机极少,因为这里是Reine vernunft之塔的最顶层,远离疯狂俗世。尽管如此,在数学中我们也会被欺骗。偶然因素会悄然潜入最纯洁的数学推理,给我们呈现直觉上显然其实本不显然的命题——甚至根本都不是真的。

为了说明“直觉”如何能不知不觉把我们引入歧途,想想为使数学抽象具体化而对草图和示意图的频繁使用。即使那些最敏锐的数学头脑,这样的具体化也是必不可少的。比如说希尔伯特——这个我们很快会看到极力想把最严格的规则强加于数学的人——曾写道:

如此看来几何图形是空间直觉的符号或助记符,也如此这般被所有数学家使用。有谁不将双不等式a>b>c与一条直线上依次三个点的图形一起使用,作为“之间”思想的几何图形?当要绝对严格证明基于函数连续性或点集稠密存在性的困难定理时,有谁不利用线段和相互包含的矩形?有谁会无需三角形、带有圆心的圆或三条垂足交点的图形?

如果说即便是最严格的数学家也依赖这些对纯粹理性的辅助那就很有可能草图中某些偶然因素会被引人证明中;或者草图会让某些其实并不显然的东西刚好显得简单易见。

举个例子,假如你想证明等腰三角形的底角相等,通过借助于下面的草图1这似乎显而易见,用不着证明。又比如说你想证明三角形所有的角都是锐角(小于90度),而由于你的头脑里已经有了这个“真理”,你就只画满足这一点的三角形草图(草图2)。

在其他思想领域也是一样,人们会有对“直觉”的幻象,比如说,众所周知的,道德标准。在道德标准中虚幻的直觉能在真实世界导致大灾难。爱因斯坦和哥德尔会在普林斯顿静僻的小路散步,正是因为对爱因斯坦的德国和哥德尔的奥地利的很多人来说,正确的做法是把世界上所有雅利安国家的非雅利安因素都清除掉。事情看上去会直觉显然实际上却完全错误的领域,数学并不是唯一的。但是数学似乎又是独一无二的,因为它,也只有它,似乎提供了净化真理的方法:公理体系。像17世纪的斯宾诺莎,他在葡萄牙的犹太商家庭就是因为导致爱因斯坦和哥德尔去普林斯顿的类似原因搬到了阿姆斯特丹,毫不奇怪这样的理性主义者会想将数学中的公理方法移植到道德领域。推广数学方法的严密性正是所谓的理性主义认识论运动的目标。但是在考虑推广数学方法的可能性之前,首先要解决的问题是:到底什么是公理体系,它又是如何获得其令人称羡的严密的呢?

公理(或“公理化”——我将不加区分地使用这两个术语)体系背后的思想是一些特定数学分支各种各样的真理可以被组织成公理、推理规则和定理。公理是体系的基本真理,直觉上显然。我们理解其意义是什么,而且那对于知道其为真显得是充分的。除此以外它们不需要任何证明。然后我们用保持命题为真的推理规则①来得到其他衍生自这些假定的不那么显而易见的真理、定理。

举个例子,考虑数学中最简单的分支——算术。算术涉及自然数的结构——自然数即计数数以及0——以及它们之间由加法、乘法和后继关系这些运算所决定的关联,后继关系将你从任意数字n带到根据自然数序列紧跟着的那个数(即n+1)。所有其他的算术运算,像减法和除法,都可以用这三项来定义。

①推理规则是保持命题为真的完美规则。祖辈(公理)为真很自然后辈(定理)就为真。这样,如果你知道所有x都是P,并且你还知道某个个体i是x,那么,通过所谓的“全称例化”推理规则,你就能得出i是P,比如说,假定你确凿地知道所有数学家都是在40岁之前做出他们最伟大的工作,并且你知道哥德尔是数学家,那么你就能得出哥德尔在40岁之前做出了他最伟大的工作。

1889年皮亚诺(1858~1932)将算术还原成五条公理。下面是前三条:0是一个数;每个数的后继元素也是一个数；任何两个数都没有相同的后继元素。全都平淡无奇,而这正是我们希望公理所具备的特性。公理就是要平淡无奇,这样我们就能认为它们为真,而不用去证明它们,让其他的都根据它们得出来,就像从一颗简单的种子长出枝繁叶茂的大树。如果我们想要全部繁盛的生长都能确凿无疑,我们就得让公理的真理性不可能有疑问——这个“不可能有疑问”基本上就是我们说的“直觉上显然”、“已知”、“显而易见”或“自明”的意思。

另一方面,公理体系的定理只有在它们被证明,通过保持命题为真的推理规则从公理或其他定理推导出来,才被承认为真。如果你愿意,可以这样想:公理就像典型的家中长子：天生被崇拜。定理则是下面的小孩,他们得证明自已值得被肯定。(长子可以忽略这个类比。因为是家里的老三,这个隐喻对我相当有吸引力。)

这样在一个公理体系中(由古希腊人发明,尤其是欧几里得),我们从几个直观上显然的公理开始(越少越好),然后向前证明从这些公理得出的任何东西。(越少越好是因为我们想将对直觉的诉求降到最低,从而最大化确定性。)不同于自由主义者的原则“让我们只依靠公民(数学家)的良好意愿(直觉)去做正确的事情”,公理体系利用一些严格的政府控制。不是随意诉诸直觉,对于哪些被直接给定作为基础，其他一切都服从系统性的规则约束,要有广泛的一致意见。你可以将公理化想象为某种“大政府数学”。公理体系背后的动机是通过最小化对直觉的诉求,将它们限制在少量不可消去的公理中,从而最大化确定性。但直觉是必要的,因为不管怎样,我们得从某处开始。

在西方思想的大部分历史中,至少从欧几里得时代以来,公理化体系就被普遍认为代表了数学——从而也是知识本身——最完美的形式。弗雷格从单独一条公理推出了皮亚诺的五条公理,从而进一步简化了皮亚诺的算术公理体系,他说:“在数学中我们必须总是争取让一个系统自身是完备的。”正是这个体系的建立导致了弗雷格所说的数学独一无二的确定性,“如果没有构建起一个系统,没有哪门学科能像数学这样封闭。

约束直觉的愿望甚至还要走得更远。目标变成完全消除直觉就是这个目标最终将我们带入了形式系统的观念。形式系统是除去了一切对直觉的诉求的公理体系。

为什么要采取这么激进的除去直觉的措施?嗯,正如我们前面所说的,直觉是棘手的玩意。虽然真实的直觉是真的,当我们拥有了真实的东西我们又如何确证呢?也许我们做不到。也许感知,驱使信仰的直接说服力,正与直觉是否为真一样。那诉诸直觉又有什么好处呢?因此,一切都是平等的,革除这些诉求似乎不错,尤其是追求成为“所有学科中最严格的”的时候。

事实上,并不是一切都平等,而不平等恰好给无情地从数学中消除直觉的冲动提供了额外的刺激。19世纪的数学发展动摇了我们对公理体系中直觉上显然的假定的信心。(长子也犯可怕的错误。)这些破坏性事件中最戏剧性的是非欧几何的发现。出人意料的数学发展表明欧氏几何中的一个假设,有名的平行公设,归根结底并不是那么不言自明。事实上有可能构造出一个不矛盾的几何学,在其中平行公设正好不为真!①此外,集合论也给我们带来了一些关于我们公认的直觉的坏消息。集合论的假设,同样也是直觉上显然,导致 44 34412 44 15288 0 0 1860 0 0:00:18 0:00:08 0:00:10 3626不是自身的元素的所有集合组成的集合这种被悖论侵蚀的集合的形成。

显然组成我们数学直觉的基础归根结底并不是那么基础。如果有可能从我们的公理体系中彻底清除对直觉的诉求,那这就应是我们的前进方向。

除去直觉是通过排除公理体系的一切意义来达成的,只保留那些能用系统中约定的规则项所定义的部分。规则除了被约定,不再被宣称是任何东西,其他一切则通过它们来定义。它们不自称描述了什么客观实在,不是数和集合那样的独立实体。除去意义后留下的正是形式系统。这个剥离构成了进一步的“政府控制”,数学家想象得到的最严厉的,任何对直觉的诉求都溜不进来。你可以想象是共产主义者接管了数学,废除私有财产(意义),一切都由公共规则掌控。

①欧几里得五条公设中的第五条就是有名的平行公设,其规定通过直线外任意一点,只能画一条平行于原来直线的直线。欧几里得自己对这个公设并不满意,觉得这条与其他的很不同,因为其暗中涉及了无穷,而且他在推理时能不用它就不用它。为什么平行公设会涉及无穷呢?两条直线当且仅当它们永不相交就称为平行。但如果是在有限空间区域中,你就可以通过一点画出不止一条直线与直线平行(即,不相交)。因此平行公设隐含地涉及无穷,而且我们对自己关于无穷的直觉也一直有合理的疑虑。欧几里得对他的系统中这个原理的疑虑(他的杰作就以《几何原本》命名)从古至今都一样,很多数学家都试图从其他四条公理推出这个有疑问的公理,将其转化成定理。然后,到19世纪，数学家改变了他们的策略:试图间接证明第五条公设是自其他四条得出:留下这四条,否定第五条,看是否能推出矛盾。结果推出的不是矛盾,而是一个全新而且不矛盾的几何学!三位数学家独立地得出了非欧几何:无与伦比的高斯(1777~1855),著名的“数学王子”;罗巴切夫斯基(1792~1856);以及年轻的雅诺什·鲍耶(1802~1860),他在1823年写给他父亲的信中提到无意中发现了这个新的数学世界,“我发现了一些奇妙得让我困惑的东西……我创造了一个奇怪的新世界”,他父亲法尔卡什·鲍耶自己也是数学家,还是高斯的朋友。当这些结果被展示给高斯看时,他写道:“我认为这个年轻的几何学家鲍耶是一流的天才。”但是他必须告诉这位天才他不是第一个推出如此奇怪的新世界的人。他自己已经这样做了,但是没有公开结果,因为他觉得它们太具争议性了。

形式系统也是公理体系,有其基本的假定(公理)、推理规则以及被证明的定理,除了不是用有意义的符号构建的——像指称数字和后继函数的项——其完全由无意义的符号构建,标在纸上,其唯一的意义由它们相互之间通过规则表达的关系来定义。净化前的公理体系被理解为涉及比如说数(算术)或集合(集合论)或空间(几何),而形式系统就其本身来说却是一个没有涉及任何东西的公理体系。在制定形式系统的假定时,我们无须诉诸关于数或集合或空间的直觉。形式系统由约定的规则组成:指定系统符号的规则(“字母表”);告诉我们如何将符号组合在一起产生出语法结构的规则(合式公式,wff);以及告诉我们如何从wff继续演绎出其他wff的规则(推理规则)。

公理体系形式化的意图是提供最严格的确定性,这样我们就不用依靠关于数学上什么是显然的什么又不显然的直觉。目的是彻底消除对数学直觉的依赖,将数学活动转变成完全被清晰界定、可以被纯粹机械化的规则所确定的过程,无需想象力和独创性,甚至不用理解符号意味着什么。跟随形式系统的规则——形式系统除了规则什么都没有——其实就是从事一个组合性活动,纯粹由递归函数组成(大致就是告诉你再利用一次递归函数或十分简单的基本函数的结果来得到结果的函数①),可以被写成计算机程序,也就是说,是可计算的。这个活动实际就是通过使用算法①’来解决事情,一个告诉你根据上一步的输出如何进行下一步的操作序列。

①递归函数这个硕果累累的数学概念首先是由哥德尔在他的第一不完备性定理的证明中定义的。

①’这个词来源于9世纪波斯数学家花拉子米,他于大约公元825年写本名为《代数学》(Kitab al jabr w'al-mugabala)的重要数学书。“代数(algebra)"”这个词也是从他的书名中引申出来的。

就如上一段试图指出的,通往形式化时相互关联的一整套数学概念家族都会出现。机械化或有效过程、递归或可计算函数、组合过程或算法:这个概念家族几乎都意味着同件事情,围绕着同一个思想——将规则应用于前面应用这些规则得出的结果,除了这些规则本身,全然不考虑任何意义。

在形式系统中直觉没有立足之地。直觉告诉我们如何思考实际事物——关于空间,关于数,关于集合。我们没有关于虚构、无意义的符号以及我们设定用来操作这些符号的严格规则的直觉。我们不需要它们。在形式系统中我们的演绎推理所需做的一切都由这些规则指定,这就是为什么形式系统的思想与计算机的思想有如此紧密的关联,关系到计算机能做什么以及它们如何做。这也是为什么围绕在形式系统周围的紧密相关的概念中也包含可计算的概念。

虽然形式系统的蕴涵令人费解,需要用真正的数学技巧来获得它们,它们却有着摒弃了直觉的透明。直觉(据说)是一条设法绕开实际事物本来的不透明的途径,一条与它们接触的途径,但也是一条被证明在数学中同在其他地方一样不可靠的途径。形式化运作的数学是清除了任何“给定”真理的数学——那些声称自己在“事物的真正本质”中有无可争议的源头的真理。

如果能表明逻辑上一致的形式系统足以证明所有数学真理,那我们就成功地从数学中消除了直觉。(“逻辑上一致”这个限制性条款当然是必需的,因为在不一致的系统中人们什么都能证明。)我们也表明了数学不应当被认为内在地关涉到任何事物,通过清除直觉我们将消解掉数学描述的假定对象,我们将表明数学根本就不是描述性的。

力图表明形式系统对于数学完全够用,以此来断言消除直觉的可能性,并希望将其实现,这种元数学观点就是所谓的形式主义。

根据形式主义观点,数学成了复杂度提高了的国际象棋。我们都同意,没有什么国际象棋系统表示的客观象棋实在。约定的规则组成了象棋的全部真理。类似地,根据形式主义，约定的规则组成了数学的全部真理。在数学中我们通过证明定理获胜——即,通过使用达成共识的推理规则,从一些不做诠释的符号串得出另一些不做诠释的符号串。这里没有数学家必须用来衡量自己的外部规则。

哥德尔的第一不完备性定理指出任何丰富到足以表达算术的形式系统都是不完备的。因此你可能会想到,哥德尔的结论与从数学中消除直觉的可行性(或由此的缺陷)有关联。对直觉最直接的理解是它们都是通过事物的本质赋予我们的;这里直觉被视为感性知觉的先验类似物,理解的直接形式。因此哥德尔的结论,与从数学中消除直觉的可行性.(或由此的缺陷)有关联的同时,也可能对数和集合这样的数学对象的实在性有重要的话要说。换句话说,形式系统的适当性——它们的一致性和完备性——与最终消除直觉的问题相关,也就是与最终消除数学实在的问题相关,这也是数学实在论或者说柏拉图主义的主要问题。正是由于这些联系,哥德尔的结论对于形式系统的局限也就有很多话要说。这也是为何说它们是数学史上最冗长的定理,它们又为何被理解为,至少对它们的创造者来说,维护了他为之奉献了自己情感和灵魂的元数学立场。一个年轻的学生证明了一条定理,第一不完备性定理,它同时拥有数学的严格和哲学的影响力。

与其他任何的冗长相反,数学上的冗长对于哥德尔的古怪个性是再合适不过了。他对数学真理、知识和确定性的本质有如此多的话要说,却又只想用严格的数学方法来说。有了证明,他就不用再让自己卷入他觉得厌烦甚至恐惧的争论之中。我敢打赌,从没有一个人有如此多的信念同时却又如此不情愿用我们天生的常用手段——人的语言能力——来捍卫他的信念。绝对具有讽刺意味的是,在他的定理被承认具有至高无上的重要性之后,人们也没有经常听到他想要通过它们阐明的东西。他们听到的——而且不断听到的——是维也纳小组或存在主义或后现代主义或其他盛行于20世纪的各种各样观点的声音。他们什么都听到了，除了哥德尔想说的。

往下拉可在留言处发表你的见解