数学多元论与贝纳塞拉夫问题

罗广龙

作者简介：罗广龙，德国康斯坦茨大学哲学系。

人大复印：《科学技术哲学》2024 年 08 期

原发期刊：《哲学动态》2024 年第 20243 期 第 79-90 页

关键词：数学多元论/ 集合论多宇宙论/ 贝纳塞拉夫问题/ 一致性/

摘要：数学多元论(或集合论多宇宙论)是近年来数学哲学中逐渐流行的哲学立场。数学多元论具有不同的数学与哲学动机，其中哲学上的一个重要动机是解决传统实在论者面临的贝纳塞拉夫问题。根据多元论，任何一致的理论都现实为真，因此对数学信念可靠性的解释可以转化为对一致性信念的解释。许多哲学家也认为数学多元论是唯一能够应对贝纳塞拉夫挑战的实在论立场。然而事实上，多元论者的一致性概念是个不稳定的概念，诉诸一致性并不能解决传统实在论者面临的认识论问题。

数学多元论(Mathematical Pluralism)是近年来数学哲学中逐渐流行的哲学立场。数学多元论有不同的表述，主要可分为实在论和反实在论意义上的多元论，本文关注的主要是实在论意义上的多元论。根据这种实在论立场，任何一致的数学理论都刻画了本体论上具有相同地位的柏拉图世界，其最典型的形态是集合论中的多宇宙论(Set-theoretic Multiversism)。①与哥德尔(K.Gödel)和武丁(W.H.Woodin)等人所主张的单宇宙论(Universism)(参见Gödel；Woodin)不同，多宇宙论者认为存在多个甚至无穷个宇宙：V[,1]，V[,2]，……这些集合宇宙与传统的单宇宙V具有相同的本体论地位。它们的存在不仅可以解释许多数学结果(如独立性问题)，而且在哲学上可以解决传统的单宇宙论所面临的著名的认识论问题——贝纳塞拉夫问题。

根据单宇宙论者的观点，只存在一个唯一的柏拉图世界(或集合论宇宙V)，且它们独立于我们的语言、实践和心灵意志，因此单宇宙论者无法解释我们关于V的信念的可靠性。但对于多宇宙论者，任何一个一致的数学理论都对应着一个独立存在的柏拉图世界，数学信念的可靠性即一致性的可靠性，后者很容易解释，所以多宇宙论者可以很好地解决贝纳塞拉夫问题。(参见Balaguer，1995；Linsky and Zalta)

多宇宙论者或多元论者可以解决贝纳塞拉夫问题是今天大多数哲学家的共识。(参见Field，1989；Clarke-Doane，2020b；Warren，2017)本文将对这一共识提出挑战，论证多宇宙论并不能有效地解释数学一致性的可靠性，因此并不能成功地解决传统单宇宙论面临的贝纳塞拉夫问题。在进入正式讨论之前，我们有必要先简单介绍贝纳塞拉夫问题。

一

贝纳塞拉夫问题

贝纳塞拉夫问题有不同的表述，其中最典型的是贝纳塞拉夫(P.Benacerraf)的原初表述和菲尔德(H.Field)改善的表述。(参见Benacerraf；Field，1989)根据贝纳塞拉夫原初的表述，贝纳塞拉夫问题可以构造如下：

(1)如果柏拉图主义正确，那么我们具有关于数学对象的知识；

(2)任何合理的知识论都是因果性的；

(3)数学对象是抽象的，因此是因果惰性的(causally inert)；

(4)所以我们不具有关于数学对象的知识；

(5)所以柏拉图主义是错误的。

在过去50年里，前提(1)(2)(3)都受到了柏拉图主义者(或实在论者)的各种质疑(参见Steiner；Hale；Maddy；Linnebo)，其中对前提(2)的反驳是哲学家(包括反柏拉图主义者)公认为最主要的一个反驳。今天，大家基本上认为因果性的知识观并不适用于数学对象，甚至不像贝纳塞拉夫宣称的那样，可以作为一个合理的“知识观”。一个简单的例子是，因果性的知识观并不能用于未来的事件和一般的(generic)事实，但是我们确实具有关于未来和一般事实的知识。

菲尔德在一系列文章中指出，虽然因果性的知识观是错误的，但是这并不有损贝纳塞拉夫挑战的直觉。贝纳塞拉夫问题的实质不在于、也不需要这种知识观。他认为贝纳塞拉夫挑战的是柏拉图主义者对数学信念可靠性的解释。具体而言，柏拉图主义者无法解释下面的可靠性断定(reliability claim)：

可靠性断定：如果数学家A相信数学命题p，那么p为真。

因为柏拉图主义者承诺p与生活在物理世界的我们不存在因果关系，因此p的信念不依赖p；又因为柏拉图主义者假设p独立于心灵意志，因此p不依赖p的信念。所以p的信念与p是(反事实)相互独立的，柏拉图主义者不能通过任何途径解释可靠性断定。菲尔德指出，如果“原则上解释可靠性断定是不可能的，那么这将会削弱(undermine)我们对数学实体的信念，无论我们出于何种理由相信它们”(Field，1989，p.26)。

可以看出，相对于贝纳塞拉夫原来的表述，菲尔德的改善具有不可比拟的优势。②首先，这种表述不需要设定知识的充分必要条件，因此不依赖因果性的知识观，可以避免对贝纳塞拉夫原初表述的各种反驳。其次，在菲尔德看来，重要的问题不是信念的辩护(justification)问题，而是信念的可靠性(reliability)问题，或者信念可靠性的解释(explanation)问题。我们允许柏拉图主义者通过直觉的方式，或者通过不可或缺论证(indispensability argument)辩护数学信念为真，但原则上他们无法解释这些信念的可靠性，这避免了将贝纳塞拉夫问题与怀疑论混为一谈。最后，按照菲尔德上面的表述，柏拉图主义者需要解释可靠性断定，此条件句并不过度依赖某个确定的抽象实体。只要柏拉图主义者认为p是客观的，那么她需要解释为什么数学家关于那些客观事实的信念是可靠的。在这种意义上，菲尔德的条件句可以被一般化(generalized)：p不仅包含数学事实，它理应包含逻辑事实、模态事实和道德事实。(参见Schechter；Lewis；Street；Enoch)

对多元论者而言，因为任何可以被一致想象的数学对象都现实存在着，只要数学家可以一致地想象数学命题p，那么p总对应着某个数学事实，因此她只需解释下述可靠性断定*即可：

可靠性断定*：如果数学家A一致地相信(或想象)命题p，那么p为真。

但可靠性断定*是多元论的一个基本主张，因此如果多元论正确，那么支持多元论的柏拉图主义者可以解释数学信念的可靠性。这种主张似乎十分符合直觉，也符合集合论最近的发展，特别是与独立性问题的出现非常吻合。但另一个想法似乎也十分直观：作为抽象的数学宇宙，无论它们的数量如何，我们关于它们的信念总需要解释，而“一致性”似乎太过便宜。当然仅仅依赖直觉并不能推进哲学讨论，本文将论证多元论的“一致性”概念并不稳定(unstable)，可靠性断定*对于解决贝纳塞拉夫问题无济于事。

本文第二节将区分两种不同的多元论——极端多元论与相对多元论，并由此区分两种一致性。第三节将排除极端多元论对贝纳塞拉夫问题的解决。第四节通过构造一个坍塌论证，论证相对多元论只能通过坍塌到极端多元论才是“一致的”，因此排除相对多元论对贝纳塞拉夫问题的解决。第五节将考察多宇宙论可能的一条出路——代数性多元论，指出采取代数性多元论的代价是放弃多元论相对于一元论的认识论优势。

二

两种数学多元论

前文已指出，数学多元论者主张任何一致的数学理论都刻画了本体论上具有相同地位的柏拉图世界。举例来说，多元论者认为，如果理论A与理论B都刻画了我们意向中的集合，且它们都与加选择公理的策梅洛-弗兰克集合论(Zermelo-Fraenkel Set Theory+Axion of Choice，以下简称“ZFC”)一致，那么ZFC+A和ZFC+B都刻画了现实存在的柏拉图世界。但根据科尔纳(P.Koellner)的观察，这种说法还相当粗糙，多元论者若要表述ZFC+A与ZFC+B都存在且具有相同的本体论地位，她只有两种选择：要么背景集合或集合论是不确定的，要么背景集合或者背景集合论是确定的。(参见Koellner，2013)根据这两种表述，科尔纳区分了两种多元论：

极端多元论(Radical Pluralism)：不存在一个确定的背景集合V，相对于V，存在多个不同的集合论宇宙。

相对多元论(Relative Pluralism)：存在一个确定的背景集合V，相对于V，存在多个不同的集合论宇宙。①

在科尔纳看来，“为了避免平凡性(triviality)，我们必须能够证明我们的理论是一致的”(同上，p.5)。而上升到元理论，是表述对象理论一致性、避免平凡性的唯一可能。这即是说，要证明某个对象理论T的一致性，我们必须诉诸背景理论T[.*]的一致性，无论后者是否确定。根据一阶理论的完全性，科尔纳的区分自然地蕴涵两种一致性的区分：

极端一致性(radical consistency，以下简称“一致性[,R]”)：对任何一个数学理论T，T的一致性是不确定的。换言之，T是一致的，是因为T*T是一致的。

初始一致性(primitive consistency，以下简称“一致性[,p]”)：对任何一个数学理论T，T的一致性是确定的。

需要再次强调的是，一致性[,R]和一致性[,p]分别是由一阶逻辑的完全性推导的：如果一个理论是真的，则存在满足这个理论的模型(我们需在元理论中给出这个模型的性质)；而如果存在满足这个理论的模型，则说明这个理论是一致的。在这里我们排除不一致的理论，我们规定一个不一致的数学理论是错误的、不可欲的(undesired)，譬如，素朴的集合论是错误的、不可欲的数学理论。另外，二阶逻辑的不完全性定理告诉我们，存在许多一致的数学理论，它们没有相应的模型。本文将不讨论这两种复杂的情况。

我们在下一节将论证一致性[,R]不能解决(菲尔德表述的)贝纳塞拉夫问题；在第五节论述相对多元论必然会坍塌到极端多元论，一致性[,p]必然会坍塌到一致性[,R]，因此相对多元论也无法解决(菲尔德表述的)贝纳塞拉夫问题④。

三

极端多元论与贝纳塞拉夫问题

根据第一节的分析，认识论上，极端的多元论者需要解释如下可靠性断定*：

可靠性断定*：如果数学家A一致[,R]地相信(或想象)命题p，那么p为真。

而根据上一节的论述，p命题的一致性[,R]需要借助某个理论T的一致性[,R]，后者则需另一个理论T*的一致性[,R]，如此以至无穷，因此这种一致性不是一个稳定的概念。换言之，诉诸一致性[,R]，我们至少需要知道T∪｛p｝是一致[,R]的，但要知道后者的一致性[,R]，或者需诉诸另一个更大的理论T*的一致性[,R]，或者需知道数学理论T是真的；前者会导致无穷后退，后者会使得一元论面临的贝纳塞拉夫问题重新出现。极端的多元论者可以选择在无穷序列T[,1]，……，T[,n]，……的某个点上停下来，但除非诉诸神秘的官能，这种解释并没有缓解“一致性[,R]”的不稳定性。

极端多元论的另一个问题是，p的一致性[,R]对理论T的一致性[,R]的依赖，会使信念p与事实p不能一一对应，因此我们并不能获知此命题所描述的抽象宇宙的任何信息。举例而言，假设张三从来没有去过新疆某个小村庄，也不可能通过其他间接的方式知道那里的一切，但是她宣称自己知道那里发生的一切。假设那个小村庄确实发生了张三所说的一切，这十分令人惊讶。按照菲尔德的表述，张三必须解释她的信念p与事实p是如何对应的，否则一切仅仅是机缘巧合。根据多元论者，只要张三能够一致地想象新疆的那个小山村发生的一切，那么她就会立即知道那里发生的一切，因为任何一致的理论或命题都对应着某个确定的世界。在这里，我们注意到，即使诉诸一致性[,R]，多元论者也必须坚持信念p与事实p总存在某种对应，或者至少固定信念p与事实p的关系，但事实并非如此。

根据极端多元论的主张，要一致[,R]地想象新疆小山村发生的一切，张三必须知道另一个事件的一致性[,R](比如美国国会在2021年3月14日发生的一切)，而要知道后者，她必须诉诸更多句子的一致性[,R]。因此仅仅通过想象新疆小山村发生的一切，张三固定不了这个想象对应的事实，或者至少有无穷个事实以析取的形式与此信念相对应。假设p命题为〈新疆某山村发生的一切〉，那么信念p实际对应的事实如下：p∨q∨r∨……因此，通过一致性[,R]概念，极端多元论并不能确定信念p与事实p发生一一对应。这表明，可靠性断定*很可能是错误的。

同理，我们假设李四一致[,R]地相信某个背景理论T所刻画的宇宙V[,1]，根据极端多元论，只有V[,1]的一致性才能确定ZFC+A与ZFC+B所刻画的那些多宇宙，姑且称这些多宇宙为c[,0]。因此c[,0]的范围取决于V[,1]。但是依赖一阶公理化的表达方式，李四如果将自己限制在指称模型中，挑选出一个确定的宇宙V[,1]是不可能的。她必须诉诸另一个集合论所刻画的宇宙V[,2]，V[,2]决定了包含V[,1]在内的那些多宇宙c[,1]。c[,1]的范围取决于V[,2]。同理，c[,2]的范围取决于V[,3]，如此，李四不得不选择一个非良基(nonwell-founded)的依赖链。这个依赖链可以通过图1表示。

因此，极端多宇宙论面临着如下困境⑤：要表述诸如ZFC与连续统假设(Continuum Hypothesis，以下简称“CH”，即在自然数集与实数集之间不存在其他基数)的并集和其补集刻画的宇宙具有相同的本体论地位，即ZFC∪｛CH｝与ZFC∪｛¬CH｝所刻画的宇宙具有相同的本体论地位，极端多宇宙论必须诉诸背景理论T的一致性[,R]。但诉诸一致性[,R]，她不能确定信念p所对应的世界p，因此可靠性断定*是错误的。如果可靠性断定*错误，即使将可靠性断定转移到可靠性断定*是合法的，极端多宇宙论也并不能有效地解决贝纳塞拉夫问题。

图1

极端多元论非良基的依赖链

当然多元论者还存在另一个选择——相对多元论。这也是巴拉格尔的基本主张，在他看来，多元论者可以通过选择一致性[,p]而避免上述困境⑥：“没有什么东西可以阻止柏拉图主义者按照反柏拉图主义者那样理解一致性。所以，也没有什么东西可以阻止他们像反柏拉图主义者那样解释一致性的知识。”(Balaguer，1995，p.319)

巴拉格尔这里所说的反柏拉图主义者主要是菲尔德。根据菲尔德的唯名论主张，数学对象不存在，因此唯名论者不需要解释可靠性断定。但是在理论的意义上，这并没有成功解释数学知识是什么以及它是如何可能的。菲尔德将数学知识等同于经验知识+逻辑知识，而后者即是从某个数学系统的公理出发推导定理的知识，而要解释这种推理是如何可能的，菲尔德认为唯名论者只需要借助初始的模态概念，亦即初始一致性(一致性[,p])。巴拉格尔以上表述暗示了，如果唯名论者借助一致性。解释数学知识(即逻辑知识)是如何可能的，那么多元论者也可以借助一致性[,p]解释数学知识的可能性。因此，对相对多元论者而言，贝纳塞拉夫问题的解决依赖如下可靠性断定[.#]的解释：

可靠性断定[.#]：如果数学家A一致[,p]地相信(或想象)命题p，那么p为真。

现在的问题是，(1)依赖唯名论者的一致性概念“一致性[,p]”，相对多元论是否可以完全摆脱解释“一致性”概念的任务?换句话说，我们如何解释关于某个理论T的一致性[,p]信念本身的可靠性?(2)一致性[,p]是不是稳定的，以及由此可靠性断定[.#]是否正确。这两个问题都会影响对贝纳塞拉夫问题的解决。⑦在这里让我们假设我们关于某理论T的一致[,p]的信念的解释是可能的，本文的重点是回应问题(2)。接下来的论证将告诉我们，与一致性[,R]类似，一致性[,p]也不稳定，其主要原因是一致性[,p]会坍塌为或还原到一致性[,R]。

四

坍塌论证

也就是说，如果相对多元论正确，那么ZFC将会同时一致与不一致：ZFC一致，是由相对多元论的定义要求的，我们必须固定作为背景的集合论的一致性，否则无法表述多宇宙观；ZFC不一致，是由相对多元论和哥德尔定理共同导致的。因为哥德尔定理不容置疑，根据归谬原则，我们似乎只能得出相对多元论是错误的。为了避免这一致命性的挑战，在笔者看来，相对多元论者只能选择如下两种方案：(1)否认的一致性，根据双重否定规则，则一致；(2)承认ZFC的一致性是不确定的。⑨

方案(1)的问题：第一，否定否定一致这种做法是任意的、无原则的；第二，因为只有在确保复杂度为∏[.0][,1]-的算术句子是可靠[,s]⑩的，我们才可以证明，如果ZFC一致，是一致的。(参见Smith)但要确保∏[.0][,1]-算术句子(如“CON[,ZFC]”)的可靠性[,s]，多元论者只能从一阶逻辑上升到二阶逻辑。现在的问题是，如果多元论者可以通过二阶逻辑保证某个算术句子的可靠性[,s]，为什么不直接选择二阶逻辑来确保CH的确定性?根据准范畴性定理(Quasi-Categoricity Theorem，即对任何一个二阶理论T的两个模型M[,1]和M[,2]，或者M[,1]和M[,2]是同构的，或者一个同构于另一个的前段)，所有满足CH的模型都是同构的，所以CH的真值是确定的。但是这似乎直接论证了多宇宙论方案即使不是错误的，至少也是多余的，因为大多数独立性问题都会在二阶逻辑中得到解决。因此选择(1)的多元论者面临着如下两难困境：一方面，选择一致这种做法是任意的；另一方面，要避免任意性，她似乎需要承诺二阶理论的(准)范畴性定理，但选择后者意味着对多宇宙论方案的抛弃。

方案(2)也存在两个问题。第一，承认ZFC的一致性不确定这种做法会违背哥德尔定理。第二，要挽救哥德尔定理，相对多元论者可能的辩护如下：“ZFC为真(或一致)”无非表达了所有的 ZFC定理是真的(或一致的)。而要保证全部ZFC的定理是真的，相当于说ZFC所有的公理是真的，且推理规则是保真的。让我们将ZFC与其反映原理(reflection principle，即句子“ZFC的所有定理是真的”)构成的理论称作ZFC[.RP]。上述反映原理中的真谓词既可以是经典逻辑中的，也可以是非经典逻辑中的。使用经典逻辑的真谓词，我们当然可以在ZFC[.RP]中证明CON[,ZFC]，但是ZFC[.RP]本身的一致性问题会重复出现，上述反驳依然适用。现在假设ZFC[.RP]的真谓词是非经典意义上的，根据对非经典真谓词的公理化，ZFC的不一致性是不确定的。(参见Kripke；Field，1994；Halbach)因为ZFC的一致性具有不确定性，要确保ZFC的一致性，多元论者可以诉诸另一个数学系统T[,1]的一致性。而要保证 T[,1]的一致性，她只需诉诸T[,2]的一致性，如此以至无穷。但是通过这种方法，相对多元论会走到极端多元论。

综上所述，通过走向极端多元论，相对多元论可以避免其立场的不一致性。但与此同时，一致性[,p]会坍塌到一致性[,R]。因此，如果我们上一节的论证正确，诉诸一致性[,R]会导致无穷后退，那么诉诸一致性[,p]也会陷入无穷后退。如果一致性[,p]也不稳定，那么贝纳塞拉夫问题依然没有得到有效的解决。

现在，相对主义者可能反驳说：“你应该区分单个命题的一致性[,p]和一个系统(如ZFC)的一致性[,p]，我承认我对ZFC的一致性[,p]概念会陷入一致性[,R]，但是这并不适用于单个命题，比如我可以一致[,p]地相信1+1=2，根据多元论，这足以保证1+1=2对应于一个客观事实。”在这个反驳中，我们注意到相对主义者使用了算子“根据多元论”。但是如果上述坍塌论证正确，诉诸这个算子无非是诉诸“根据相对多元论”，因此它等同于“根据极端多元论”。因此，这个反驳的成立预设了某个数学理论的一致性[,R]，根据第三节的论证，这个概念是不稳定的。

五

代数性多元论

在这一节，我们考察多元论者可能选择的另一条出路——代数性多元论(algebraic pluralism)。我们将论证代数性多元论虽然可以防止无穷后退，固定多元论的立场，但代价是牺牲了多元论相对于传统一元论在认识论上的优势。

按照夏皮罗(S.Shapiro)的区分，当代的数学基本上可以区分为代数性数学(algebraic mathematics)和非代数性数学(non-algebraic mathematics)。(参见Shapiro)代数性数学(如群、环、域和拓扑)的主要特征是：一旦一个数学结构被某个公理刻画，就不存在这个结构是否标准，或是否为数学家意向的事实。正如“没有人会担心乘法交换公理独立于群公理。这是因为根据所有的说法，群理论并不是关于同构意义下唯一的(unique up to isomorphism)某个单一的结构的理论；相反，群是关于一类结构的理论”(同上，pp.40-41)，同理，代数性数学研究的不是同构意义下唯一的某个单一结构的理论，而是任意一个由某个公理系统规定的结构。和代数性数学不同，非代数性数学研究的主要对象是某个具体的数学结构(或者那些同构的类型)，典型的非代数性数学包括算术、集合论和实分析等数学分支。在这些数学分支中，我们经常听到数学家描述他们意向中的数学对象是如何的，它们是通过哪些同构的模型得到刻画的。在这部分数学中，“自然数或者集合是什么”是十分重要的问题。

现在假设这个区分成立，多元论者可以使用代数性数学说明ZFC+CH和ZFC+¬CH之间的差异，这样他们就不需要诉诸模型论或者一致性概念，上述无穷倒退的反驳也将不复存在。有趣的是，认为ZFC+CH和ZFC+¬CH之间的差异类似于代数性数学之间的差异，似乎也能在汉米肯斯和巴拉格尔那里找到依据。

比如汉米肯斯认为，集合论研究与群、环、域等抽象代数的研究一样(11)，它们都研究某些由公理刻画的结构：

集合论研究的基础对象已经变成了集合论的模型，集合论学家敏捷地从一个模型转移到另一个模型。正如群论学家研究的是群，环论学家研究的是环，拓扑学家研究拓扑空间，集合论学家研究的是集合论的模型。(Hamkins，p.418)

同样，巴拉格尔认为多元论者可以选择公理-系统-差异的情况(the-different-axiom-systems situation)来说明ZF+CH和ZF+¬CH的差异：

两位数学家M1和M2，正在“做着关于集合论某些公理系统的游戏”。M1研究的是系统ZF+ CH，她显然不想尝试研究“唯一的集合论宇宙”，或者尝试理解我们关于集合的直观概念，她只希望探索被ZF+CH所刻画的分层结构(hierarchies)。同样，M2研究的系统是ZF+¬CH，他显然不想研究“唯一的集合论宇宙”，或者尝试理解我们关于集合的直观概念，他只希望探索被 ZF+¬CH所刻画的分层结构。所以对M1而言，她意向中的结构是那些被ZF+CH所刻画的结构；对M2而言，他意向中的结构是那些被ZF+¬CH刻画的结构。所以在M1口中，ZF+CH是真的；在M2口中，ZF+¬CH是真的。我们得到数学多元论，是因为我们有两个人在做着关于不同公理系统的游戏。(Balaguer，2016，p.392)

科尔纳在考察汉米肯斯的上述主张时指出，使用代数性数学表述多元论的一个主要问题是与当今数学实践中大家默认的观点(default view)不相符。根据默认的观点，在集合论实践中，数学家“在研究集合”，因此“仅仅存在模型论不足以削弱大家默认的观点”。(参见Koellner，2013，p.13)同理，使用公理-系统-差异这种模型，可能与数学家默认的观点不相符。但是让我们暂时撇开这个社会学问题，也许集合论和算术原则上都可以还原为代数性数学，这样就可能存在一种代数解释下的数学多元论。根据这种多元论，数学家研究的仅仅是那些为特殊公理所刻画的数学结构，而非意向中的数学对象。我们将这种多元论表述如下：

代数性多元论：对任意的结构S[,1]与S[,2]，它们分别由公理A与B所刻画。如果A与B都一致，那么S[,1]与S[,2]都是合法的数学结构。

根据代数性多元论，集合论不再是对集合本体(ontic)的研究，即不再是对数学对象指称问题的研究，因为本体和指称对于代数性数学是陌生的概念。因此追问一个集合是否存在是没有意义的，“指称的问题由此消解了：我们甚至不能作出合适的断定用来评价指称”(Barton，p.28)。但如果数学研究的不再是指称问题，且一元论者或单宇宙论者也选择这种数学基础，那么在何种意义上贝纳塞拉夫问题对他们构成挑战呢?

让我们首先从贝纳塞拉夫原初的表述开始，根据这个表述，柏拉图主义者需要解释我们关于数学对象的知识是如何可能的。这个表述预设了指称概念。现在让我们假设单宇宙论者也选择代数性数学，将集合论处理为一种代数，因为指称问题由此被取消，对他们而言，贝纳塞拉夫问题也将会自行消失。

其次，让我们考察代数性的一元论者如何面对菲尔德表述的贝纳塞拉夫问题。根据第一节的论述，一元论者需要解释如下可靠性断定：

可靠性断定：如果数学家A相信p，那么p是真的。

现在假设一元论者也采取代数性数学，命题p不指称任何具体的(柏拉图)世界，它的真仅仅由某些公理所刻画。正如数学家只要知道群的公理，就知道群代表什么。对代数性一元论者而言，他们只需要知道这些公理，就知道这些数学句子的真，因此可靠性断定的解释对一元论者来说是平凡的(trivial)。值得注意的是，菲尔德也承认，如果一元论者可以解释如下可靠性断定[.＠]，那么他们就成功地回应了贝纳塞拉夫的挑战。

可靠性断定[.＠]：如果数学家A相信公理p，那么p是真的。

因此贝纳塞拉夫问题(无论是贝纳塞拉夫原初的表述还是菲尔德改善的表述)对所有柏拉图主义者都将不再构成挑战，他们可以平凡地解释任何数学信念的可靠性。但是这种平凡性也取消了多元论之于一元论，或多宇宙论之于单宇宙论的任何优势，它们不仅不能在认识论上优于后者，而且很可能在数学结论上也会导致相同的结果。当然，要论证代数性一元论和代数性多元论在数学结论上没有差异，是个复杂的问题，我们不在本文考察这个问题。

这里需要注意的是，在可靠性断定[.＠]中的公理很可能是无穷的，而有些含有无穷公理的系统(比如皮亚诺算数系统)原则上如果不上升到二阶逻辑，就很难还原为有穷的公理系统。而在认知上有穷的我们很可能无法知道无穷多的公理。在这种意义上，虽然代数性的多元论者和一元论者不再面临贝纳塞拉夫问题，他们可能面临新的认识论挑战。当然，如果大家都选择有穷公理化的路径，这个方法很可能对多元论是不利的。比如像我们前一节论述的，在二阶的ZFC系统中，很多独立性问题会得到解决，而这对多元论是不利的。但要详细考察这个问题需要讨论更多的问题，限于篇幅，我们将停在这里。(参见Burgess and Rosen；Linnebo)

结语

本文考察了两种数学多元论对贝纳塞拉夫问题的解决。我们观察到极端多元论是个不稳定的立场，其一致性[,R]概念不能确定地使数学信念p与内容p相对应，因此可靠性断定*是错误的。相对多元论诉诸一致性[,p]，虽然表面上可以防止一致性[,R]概念无穷后退的情况，但是最终会滑落到一致性[,R]。多元论者可以选择代数性多元论，放弃传统集合论关于数学本体的研究，但是这个选择也相应地放弃了她在认识论上的优势，因为一元论者也可以选择代数性数学来避免贝纳塞拉夫问题。如果撇开将代数性数学扩展到算术、集合论这一有争议且数学上复杂的情况，我们的结论是，多元论的实在论不像其主张者所认为的那样可以解决贝纳塞拉夫问题。贝纳塞拉夫问题依然是所有数学实在论者无法逾越的难题。

就这一结论，我们有必要简单比较一下本文的论证和克拉克-多恩最近在认识论上对数学多元论的攻讦。(参见Clarke-Doane，2020b)正如我们在第一节的脚注中强调过的，克拉克-多恩认为我们需要细化贝纳塞拉夫问题的表述：虽然贝纳塞拉夫原初的表述和其依赖的因果知识观是错误的，但这并不自然地说明菲尔德的表述是完善的；相反，在他看来，在上述各种可靠性断定中的可靠性本身需要细化。鉴于此，克拉克-多恩提出了如下分析可靠性的指导原则：

模态安全性(modal security)：对任何信念可靠性的质疑是对其敏感性(sensitivity)和安全性(safety)的质疑。(12)

对应于“模态安全性”，贝纳塞拉夫问题可以表述如下：

敏感性断定：固定形成信念的各种方法，对于任何数学命题p，如果命题p是假的，那么A的信念p是假的。

安全性断定：固定形成信念的各种方法，对于任何数学命题p，A对p的信念很容易会是假的。

据此，克拉克-多恩进一步论证道，数学多元论只能够完整地解释“安全性断定”，但不能解释“敏感性断定”。原因如下：对多元论而言，一致性概念是个(元)逻辑概念，或者至少很容易转变为一个初始的逻辑或模态概念。(参见Field，1989)p相对于某一理论T的(逻辑)一致性信念是安全的——我们的逻辑信念至少不容易发生错误，虽然这个假设本身需要进一步的经验证据。但根据数学多元论，数学命题不是必然的，信念p的变化很可能对应不到命题p的变化，因此信念p很可能不是敏感的。

克拉克-多恩的结论和本文的结论存在明显的冲突：克拉克-多恩认为，一致性信念是安全的，如果数学正如多元论者强调的那样不是必然的，那么多元论可以成功地避免(各种表述的)贝纳塞拉夫问题。而本文的论证表明，即使一致性信念确实如克拉克-多恩论证的那样是安全的，多元论视角下的一致性概念本身是不稳定的。换言之，克拉克-多恩的论证预设了数学多元论立场是稳定的，我们获知逻辑一致性概念的途径也是毋庸置疑的。本文对这两个预设提出了挑战，认为数学多元论并不是一个稳定的立场：因为多元论解决贝纳塞拉夫问题的一致性概念严重地依赖这个不稳定的立场，所以多元论实际上没有解决贝纳塞拉夫问题。暂时撇开这一结论的冲突，本文在两方面推进了克拉克-多恩等人的研究：(1)本文讨论了克拉克-多恩等人未经讨论就信以为然的假设，将数学多元论或集合论多宇宙论及其一致性概念的复杂性展示出来；(2)本文的讨论避免了上述“模态安全性”这一有争议的认识论假设，让论证更具可信度。

注释：

①实在论意义上的集合论多宇宙论者主要有巴拉格尔(M.Balaguer)和汉米肯斯(J.D.Hamkins)。虽然二人关注的问题不同，巴拉格尔更加关注传统的认识论问题，主张多宇宙说可以消解数学真的神秘性，而汉米肯斯认为多宇宙论可以有效地解释集合论学家的数学实践、经验和结果。但他们都认为存在多个数学世界，它们具有相同的本体论地位。

根据纯正的柏拉图主义者(Full-blooded Platonism，简称“FBP”)，不存在一个集合宇宙。存在很多宇宙。但一个集合论句子是真的，当且仅当，它对现实的集合是真的。FBP强调的是，存在如此多不同种类的集合，每一个一致的集合论对现实的集合宇宙而言都是真的。(Balaguer，1995，p.315)

多宇宙论主张存在多个不同的集合概念，每个概念都在不同的集合论宇宙中得到例示，它们展示了不同的集合论的真。正如主张单宇宙的人认为他们的宇宙在柏拉图的意义上是独立存在的，每个这样的宇宙也在相同的意义上是独立存在的。(Hamkins，pp.416-417)

需要注意的是，并非所有的集合论多宇宙论者都是实在论者，比如斯蒂尔(J.Steel)主张方法论意义上的多宇宙论(参见Steel)。我们不讨论这种复杂的情况，详细请参考安托斯(C.Antos)等人的区分。(参见Antos，et.al.)

②这里需要说明三点。第一，虽然菲尔德的表述是目前学界公认的最具挑战性的表述，但这不排除其他可能的修改。最近有些哲学家如克拉克-多恩和瓦伦等人将对可靠性断定的解释区分为对信念敏感性(sensitivity)和安全性(safety)的解释。(参见Clarke-Done，2020b；Warren，2017)这些区分可以澄清信念可靠性的所指，丰富可靠性断定的内涵，但并不影响菲尔德表述对传统柏拉图主义数学知识的挑战。第二，柏拉图主义者如路易斯(D.Lewis)也许可以通过数学必然性平凡地(trivially)解释数学信念的可靠性，但“数学是必然的”这一主张是有争议的。(参见Lewis；Field，1989；Berry)本文不想进入这一争论，我们将预设通过数学必然性不能避免贝纳塞拉夫问题。需要注意的是，这一预设也是多宇宙论者解决贝纳塞拉夫问题的出发点，他们也不承认数学是必然的，因此不影响下文的讨论。第三，多宇宙论者(如巴拉格尔以及林斯基与扎尔塔)意向中的贝纳塞拉夫问题是菲尔德表述的贝纳塞拉夫问题。因此即使菲尔德的表述不是大家公认的最好的表述，我们的论证也没有偏离正道。换言之，如果我们得到多宇宙论者不能解决菲尔德表述的贝纳塞拉夫问题，这至少说明多元论者并不像他们宣称的那样，解决了其意向中的贝纳塞拉夫问题。

③需要注意的是，对大多数支持多元论的柏拉图主义者而言，他们似乎同时主张极端多元论和相对多元论。比如，巴拉格尔在有些地方论述道，数学句子的真是相对于模型而言的：一个句子简单为真(true simpliciter)是指它相对于标准模型是真的，而一个模型是标准的仅仅是指它是某个说话者意向中的模型，因此他似乎主张极端多元论。(参见Balaguer，2016，p.389)但在另一些地方，巴拉格尔又认为对生活在地球上的我们而言，自然数概念和部分的集合论概念是确定的。(参见同上，pp.387-388)其确定性是由我们对某个数学分支中对象的全部观念(full conception)所决定的。比如我们关于自然数的全部观念决定了“1+1=2”是确定的；同理，我们关于集合的全部观念至少包含ZFC，ZFC刻画了我们的集合概念。仅就地球人而言，ZFC是确定的或一致的，能够作为其他集合概念的背景。以上这些论述显示他支持相对多元论。同样，对汉米肯斯来说，在有些地方他认为现行的集合论都存在真值不确定的情况，他甚至认为自然数有可能是不确定的(参见Hamkins，pp.427-428)；而在另一些地方，他认为力迫法只能在ZFC的模型上进行，因此他似乎也预设ZFC的确定性或一致性是初始的、不需要解释(参见同上，pp.421-424)。为了论证需要，我们(同意科尔纳)认为区分二者是十分关键的。本文的论证也依据了这两种划分。

④在非特别强调的情况下，下文所说的贝纳塞拉夫问题都是指菲尔德表述的贝纳塞拉夫问题。

⑤汉米肯斯已经注意到了极端多元论的这一困境，他指出，“多宇宙观是一种高阶的实在论，即关于宇宙的高阶的柏拉图主义”(Hamkins，p.417)。具体而言，“存在多个集合概念是一个元数学断定，而非一个数学断定。我们不期望在一个宇宙内从事内部的构造时，就知道多宇宙的性质。也就是说，我们不期望从某个宇宙出发一览全部的多宇宙”(同上，p.417)。虽然这种表述可能固定极端多元论的立场，但不能固定一致性[,R]本身，因此并不能有效解决贝纳塞拉夫问题。

⑥对林斯基与扎尔塔主张的多元论而言，他们不需要一致性[,p]，因为他们认为数学对象是由任何一致或不一致的概括性原则(comprehension principle)所刻画的。因为他们允许不一致的对象(比如圆的方)存在。在第二节，我们设定不一致的理论是不可欲的。因此下文的讨论中我们不再考虑林斯基与扎尔塔的多元论。

⑦笔者在其他地方回应了问题(1)，指出了逻辑信念的可靠性(即关于理论T的一致性[,p]信念的可靠性)并不比数学信念的可靠性更容易解释，唯名论者也面临着类似的贝纳塞拉夫问题。关于数学唯名论特别是虚构主义，罗广龙有相关介绍。(参见罗广龙)

⑧许多哲学家已经注意到类似的问题，比如科尔纳以此论证相对多元论和极端多元论同样都是不稳定的立场；克拉克-多恩则认为相对多元论者必须选择∏[.0][,1]-算术理论的确定性，否则它就是个不稳定的立场。(参见 Koellner，2013；Clarke-Doane，2020b；Berry)

⑨事实上，相对多元论者还可以选择(3)：主张

主张

相对于地球人是一致的(或标准的)，相对于火星人是一致的，因此“一致性”在不同的群体中具有不同的指称，比如“一致性”本身是一个约定的概念。“‘一致性’是否是约定的”是当今数学哲学中的一个重要问题。(参见Putnam；Koellner，2009；Warren，2015)我们在这里不深入这个问题。这个脚注的主要目的是论证，即使“一致性”概念是约定的，它也不能解决贝纳塞拉夫问题。

具体而言，如果CON[,ZFC]与CON[,ZFC]是相对的，则下述可靠性断定[.#]是正确的：

可靠性断定[.#]：如果数学家A相信是一致[,p]的，那么是真的。

因为是一致的”是火星人的句子，因此在火星上，“是真的”总会以某种我们地球人不理解的方式指称着某个对象。根据哥德尔不完全性定理，地球人不仅相信而且知道是一致的，问题是作为地球上的数学家A是如何将这个信念或知识与火星上的事实〈是真的〉可靠地联系在一起的。我们认为这是贝纳塞拉夫问题的关键。约定主义的相对多元论者无法回答这个问题。

⑩这里的“可靠性[,s]”不同于上文中的“可靠性p”，后者是个认识论概念。

(11)汉米肯斯甚至认为集合论中的独立性问题和几何学中的独立性问题(如非欧几何的出现证明了平行线公理相对于欧式几何是独立的)是同一类问题。克拉克-多恩和巴拉格尔也认为它们具有类比性，但是这个类比是否成立很受争议。(参见Clarke-Doane，2020a；Balaguer，2016；Koellner，2013)

(12)请注意“安全性”此处的两个英文翻译可能引起误会，我们下文主要使用safety意义上的“安全性”。(参见 Clarke-Doane，2020b)

参考文献：

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