中美同年级数学课本实际对比：从理念到方法，差异还蛮大！
下周一，我们将推出美国幼儿园到小学全套原版数学课本。来自美国 Houghton Mifflin Harcourt（HMH，哈考特）的美国主流数学教材Go Math （约70%的学校在用）。本周，小花生和大家分享了一系列关于中美数学对比的文章。中美数学课本各有特色，这篇来自大学教授爸爸的分析，很不错 ...
前段时间，我们收到一批美国的小学数学教材。翻看了这些教材，有一些启发，我们发现，中美小学数学的学习思路还是很不一样的。
两者思路有什么不同？这个问题，武汉理工大学计算机系的张能立教授在带女儿学数学的过程中做过一些专门的研究，今天和大家分享他的一些发现。前面提到的这个问题（学得很好但发明应用很少），也许能在张教授的对比分析里找到一些答案。
一个理工科教授爸爸眼里的
中美小学数学课本对比
笔者（张能立）的女儿正在读小学。作为她的父亲，也出于长期从事科学研究的职业本身，有一种直觉：小学数学学习不应该是眼下这样大习题量的这种铁杵磨成针式训练，而更应该着重训练孩子的数学思维 ...
面对这个问题，有一天有萌发了一个念头：美国人的数学教材是什么样子的呢？于是，笔者在网上找到了《美国加州小学数学》教材。
不看不知道，一看吓一跳。可以说，加州小学数学教材和中国当下的小学数学课本对比，真的区别不小。以三年级为例，有三个地方的区别，我感觉特别明显，和大家说一说：
1、更加注重透彻理解基本概念
先来说说德国伟大哲学家康德的认知观：
“人的认识是从感觉开始，再从感觉上升到概念，最后形成思想。”
人的思维分三个层次：经验思维、概念思维和思想思维。否认概念重要性的人，显然其思维停留在经验层面。即使某个学生天赋超群，但是没有自觉的概念思维，或概念思维能力差，那么，成人后其智力水平也会沦为平庸。
笔者大学本科有一个同学，1988年去芝加哥的美国西北大学读书。去年回武汉同学聚会的时候，他向同学们介绍：
“当年在西北大学读书的时候，与同期的美国学生比，我的学业分数往往是最高的。统计物理这门功课，他考分是90多分，是修这门功课的成绩最高者。有的老外只考20多分。但是，到了后来的科研阶段，才体会到自己与美国学生的差距，就是概念思维水平比美国学生差的很远，因此，科研搞不赢美国学生。”
我这位老同学后来从科研领域转行，去从事应用层面的计算机网络工作，现在是硅谷一家网络公司的架构师。
这里的意思是，概念思维，对于一个人想成为极有智性的人来说是极其重要的。下面我就多边形（Polygon）来说，看看加州小学数学教材是如何教小孩子数学概念的 ...
这是加州数学三年级课本的一页，你会注意到左边的 Main Idea and New Vocabulary，这个部分明确告诉学生这一章节学习下来，需要达到什么目标，以及需要学习的新词汇 New Vocabulary；新的词汇也就是新的概念，用黄亮色标注，采用视觉手段，加强孩子对关键概念的意识。
为了帮助学生理解概念，讲解一般都是从学生所熟悉的日常生活场景开始。例如，Polygon（多边形）这个概念，就是从交通标志引入的。
首先，对概念的定义非常严谨。为了定义 Polygon，会先引入 Plane figure（平面图形）这个概念，让孩子知道多边形首先是一种平面图形，什么叫平面图形，然后才是什么叫多边形 ... 逻辑比较严密。
然后，开始培养学生集合思维，让学生看到 Polygon 其实是一个聚合概念，包括 triangle（三角形）, quadrilateral（四边形）, pentagon（五边形）, hexagon（六边形）和octagon（八边形）等。
这里顺便提一句，从英语对多边形（Polygon）的表述和定义来看，可以清晰地看出，在数学表述上，汉语的“一词一义”是有些缺陷的：
比如，quadrilateral 的含义有两层：
four sides”（4条边）
four angles（4个角）
可是，当“quadrilateral”被翻译成为“四边形”的时候，就失去了“four angles”那层含义。如果想避免词义的“衰减”，那么，“quadrilateral” 就应该翻译为“四边四角形”，又会很拗口。
再来看看中国三年级数学教材有关四边形这个章节的编写 ...
对比之下，你会看到，我们的教材，对于概念的解释相对稀少，而且不太重视用文字语言去阐述数学概念、数学思考过程。
相比之下，加州数学教材练习里经常有一个Talk About 部分，让孩子学着用语言去描述、表达数学问题，比如这里：
Describe how a rectangle is like a square. Describe how they are different.
请用语言描述长方形和正方形的异同 ...
其实，言语表述能力在数学学习中非常重要，通过这个环节，可以让孩子加深对概念的理解，促进他的智性发展。
Talk About It: Describe how a rectangle is like a square. Describe how they are different.
2、训练孩子抽象思维，方式严谨而巧妙
对很多小孩来说，数学的一大难点就是充满抽象思维。
而要想领略数学的抽象之美，必须先从数学与客观世界的联系这个地方起步。加州小学数学教材每引入一个新的数学概念，都是从实际生活例子开始的。这样孩子学习起来，会减少陌生感。
从这里，也可以体会到怀特海强调的教育浪漫阶段的重要性。有了浪漫阶段积累的原粗经验，就有了从经验发展到概念的基础。
比如，平面图形的面积这个概念，对于三年级的学生而言，是一个较为抽象的概念。
加州数学是这样把孩子带入“面积计算”这个概念的 ...
首先，引入，概念定义，例子 ...
然后，真实生活例子，练一练 ...
然后，练习，解决问题，高阶思考 ...
从这个例子可以看出，加州数学帮孩子理解“面积”这个抽象概念的方式是：
1、先对 Area（面积）做一个非常清晰和严谨的 definition（定义）：
Area is the number of square units needed to cover a plane figure without overlapping.
2、用 Grid Paper（格子纸）来度量各种平面图形的面积：把“面积”这个抽象概念变成看得见摸得着的"格子" ...
3、用 Real World Example （实际生活例子）让孩子在“解决问题”中理解概念，比如计算瓷砖中马赛克图案面积 ...
4、用 H.O.T Problems（高阶思维问题）引导学生更加深入地领悟面积的含义 ...
H.O.T是 Higher Order Thinking（高阶思维）的缩写，这部分亮点有两个：Open-ended（开放式思考） 和 Writing In（数学写作）。开放式思维训练鼓励学生展开联想，有效防止著名英国数学家怀特海所言的“呆滞思想”（inert ideas）的出现。而Write-in强调学生用自己的语言阐述问题和解决思路，也是很厉害的锻炼。
再来看看我们的数学教材是如何教孩子理解“面积计算”这类抽象概念的 ...
可以看到，我们的做法还是有一些需要改进的，比如：
1、定义形式不严谨
物体表面或封闭图形的大小，就是它们的面积。这种语言形式，作为数学概念定义，是不符合要求的。
2、定义费解
“物体表面或封闭图形的大小”中的“大小”这个概念，对于三年级的小学生而言，很难得准确理解。加州数学教材，这里的“大小”这个概念，换成了单位面积正方形的数量。学生很容易理解这里所言的“大小”这个概念是什么内涵。
3、没有提供发散性思考和创新解决问题（H.O.T）的机会
3、注重解题步骤和策略的训练
加州小学数学教材每一章都包括解决问题的一般策略训练。这个解决问题的一般策略，就是美国著名数学家波利亚在其名著《怎样解题》中提出的4大步骤： Understand, Plan, Solve, Check （理解、计划、解决、检测）
4大步骤下，还有更具体的策略，常见的有这些：
Act it out（角色扮演）
Draw a picture（画一个图形）
Look for a pattern（寻找一个模式）
Make a table（画一张表格）
Work backward（倒着干）
Guess and Check（猜测和检验）
Work a sample problem（化繁为简）
Make an organizated list（有序化已知信息）
Use logical reasoning（运用逻辑理由）
等等 ...
波利亚解决问题的一般策略与上述这些具体策略是什么关系的呢？用大树类比的话，就是树干与树枝的关系。Understand, Plan, Solve, Check 是树干，具体的方法是树枝。
比如，Act it out, Draw a picture 两个策略看似最简单，但是对于低龄段孩子而言，是非常重要的。
像进货和卖出，最后剩下多少货物这类数学问题，非常适合采用Act it out（角色扮演）这个策略来解决。孩子扮演老板，家长、老师或同学扮演顾客，在这种互动过程中，孩子最终将生活中的问题运用数学策略解决了。
这样的经历，一方面可以极大地提高孩子学习数学的兴趣，另外一方面可以培养孩子的自信心，因为孩子享受到了成功解决实际问题的乐趣和自信。
Draw a picture to represent the situation（用图形表达遇到的问题和场景） ，非常简单，不值一提，殊不知这是潜移默化地培养孩子的抽象思维和建模的能力。
这样的学习，有一个非常显著的特点，就是小学阶段学习到的思维策略，到了中学、大学仍然用得上。
结论：一个是算术，一个是数学 ...
仔细比较加州小学数学教材和咱们的小学数学教材，不难发现前者是具有“数学脑袋”特征的人编写的，后者是具有“算术脑袋”特征的人编写的。
数学脑袋，看重数学对象之间的关系。其思维特征是：结构性、关联性、集合性和抽象性；也就是能够以系统、整体性思维分析数学问题和非数学问题，不会把主要精力花在求人工计算速度和准确度方面。因为这个问题已经被计算机很好地解决。
而算术脑袋不懂数学的本质是数学对象之间的关系，他们认为这些关系是可有可无的。他们看重的是人工计算速度和准确度。
中国的数学教育，绝大多数时候是具有“算术脑袋”特征的人当家。下面，一个是民国的课本封面，一个是改革开放前一段时期的课本封面，都叫“算术” ...
小学数学教材的名称从“算术”两个字改成“数学”两个字，是1978年改革开放后的事情。
现在虽然小学数学教材的封面写着“数学”两个字，但是，到底多少老师在教学中能让孩子去理解“数学”与“算术”的差异呢？
看来，中国从“算术大国”迈向“数学大国”，还有极其漫长的路要走。
* 以上文字引用自张能立教授的科学网博客，由作者授权、经小花生编辑整理而成，转载须获得作者和小花生授权。
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