回忆与江泽培导师相处的往事（上）

尊敬的研究生导师江泽培教授离开我们十年多了。每当脑海中浮现起与他相处的一幕幕往事。我都心潮澎湃，思绪万千。他是我国有名的概率统计学家。他那严谨的治学态度，广博的专业知识，深厚的学术功底，正直的为人品格，真诚的师生友谊，始终是我们的学习楷模。

报考研究生

我是1959年9月从江南水乡考入北京大学数学力学系数学专业学习。大四下学期分专门化，我选择应用性强的概率统计，从五年级开始学习专门化课程和撰写毕业论文。

该专门化的同学耳濡目染，都知道北大概率统计教研室有两位重量级人物。一位是教研室主任许宝录教授，他是我国概率统计学科的鼻祖，著名数学家，在统计学领域取得了诸多开创性成果。尽管当时他重病缠身，仍坚持带研究生和主持各类讨论班。

许宝录教授

另一位是江泽培，当时是副教授，他曾赴苏联莫斯科大学进修，师从著名数学家柯尔莫哥洛夫的团队，研习随机过程理论，对随机场的预测问题做出了开创性工作。当时他被借调到科工委，不在北大任课。

1964年下学期，北大正在搞四清，推行极左路线，像我这样出身不好的所谓只专不红的学生一律不批准报考研究生。但到1965年毕业分配时，政策有所调整，竟分配我到军队科研单位，这是我做梦也不敢企求的。我去系里办理离校手续时，系党总支书记韩启成拉住我说：“倪忠仁，你是我们系有名的好学生，不批你考研，别说你想不通，系里也有人为你抱不平；现在分配你参军，到解放军的大熔炉里好好锻炼，过几年再考回北大读研。”我听了觉得这简直是天方夜谭！毕业教育刚结束，一个个灰溜溜的，只想赶快离开这个是非之地，到工作岗位上报效社会，哪里还敢想再回来深造！

谁能想到，文革后的1978年春，国家恢复招收培养研究生，我欣然报考了北大数学系概率统计方向，指导老师为江泽培、陈家鼎等。从报名到考试仅一个多月时间，来不及系统复习，就匆匆赶赴考场。考试结束，自觉考得不好，没戏，扫兴而归，第二天早上就得了严重的美尼尔综合症，住院半月有余，病症才慢慢缓解。出院后过了一些时间，收到程士宏老师来信，说是我的考试成绩在当年北大数学系的考生中“尚属前列，问题不大”。此后，又收到北大寄来的成绩单和复试通知，证实了程老师的来信内容。不过，当时我处于两难境地：身体不好，能胜任读研吗？但考研是自己申请的，经领导正式批准，如半途而废，岂不惹人笑话！怎么办？唯有随既定程序走，听其自然。

原北京大学数学系楼

复试那天，我来到北大静园一院数学系办公楼，陈家鼎老师招呼我进办公室，并向江先生作了引荐。接着他给我出了笔试题，解答完毕，当场进行了评阅。然后，接受江先生面试。江说：我没有教过你们的课，这是初次见面。我说：以前见过你。于是讲了一小插曲：大约70年前后，为发表大学毕业论文之事张尧庭老师约我来北大，他领我到29楼数学系办公室看材料，刚坐下，“你就推门进来，张老师作了介绍，你对我说数学所图书馆展出一本新翻译出版的书《军事技术运筹学基础》，对你们可能有用，说完转身就走了”。我这一提醒，他回想起此事。

静园旧貌

江首先询问大学专门化的学习课程，我作了简要介绍。59级概率专门化开设五门课，年轻老师主讲：测度论（陈家鼎），分析概率论（胡迪鹤），数理统计（卢崇飞），平稳过程（龚光鲁），马氏过程（陈家鼎主讲，程士宏辅导）。我的毕业论文，开始是信息论方向，马希文指导，后改为试验设计，张尧庭指导。这时，陈老师插话，他对江说：“这就是许先生设计的专门化培养计划，五门课的讲义除平稳过程是你撰写的外，其余四门都是他整理的笔记。”江点头说“是”。

接着，江问起我所从事的科研工作。我重点阐述了我单位科研工作的性质、特点和列项，详细汇报了在侦查效率分析、射击效率分析中运用概率统计方法的实例，他听得很仔细。面试结束，我返回单位。

复试后过了两周多时间，我收到了北大寄来的录取通知书。这样，我就成了北大数学系概率统计方向文革后首批研究生。我着手对承担的科研项目打结、移交，为入学就读准备。

暑假来临，我夫人从家乡来探亲。一个周末，我同她去北海公园，中午时分，我们转到白塔附近，远见有两人坐在台阶上，走到近处，一看竟是江先生，他们 正在吃点心，我急忙前去打招呼。江起身指着身旁儿子江明说：“我们住西郊，离市内远，他都十六岁了，还没来过北海，今天抽空陪他来看看。”我告诉他已收到录取通知书。他说，这些年耽误了，我们都有“恢复”的问题，要抓紧恢复专业知识。他建议我利用入学前的一段时间，翻翻当年的专门化课程，为继续深造打好基础。

学习专业课

1978年10月，北大文革后招收的首批研究生开学。我再次来到燕园报道，住29楼312房间。数学系首批近五十名研究生中，有近十名是文革前毕业的58、59、60级的本科生。听说其中有的同学的导师允诺不安排专业课，直接做毕业论文，这样有望提前毕业。得知这一消息，喜不自胜。我年龄偏大，身体欠佳，家庭分居，如学制能从三年缩短为两年，那真是太好了！

29号宿舍楼拆除过程

第二天上午，我赶往住在后湖的陈家鼎老师家。他招呼我进门后慎重其事地说：“今年概率统计方向招了你和黄大威两名研究生，我们教研室已研究决定，你们两人均由江先生带，你有事就直接去找他。”说完他要给我江先生家的住址，我说已经有了。离开陈老师家，返回一院，见江先生下楼，就迎上去招呼。他说现在回家，下午去数学所有事。于是，我就跟随他，边走边聊。我说：听说有的同学不学专业课，直接做论文，可提前毕业。并讲了我的处境和想法。他一听就生气了，大声说：“你刚报道，怎么有这样的想法！我没有接到学校关于提前毕业的指示，我是按学制三年安排培养计划的。”他这一生气，我十分紧张，不知所措，低下头赶紧表态：“江先生，一切听从你的安排。”说完又认真重复了一遍。江说：“你既然来了，就要安下心来，克服困难，排除干扰，全力完成学习任务。至于你说年纪大，那我比你大多了，不是也在努力做学问吗！”我一个劲的点头说是。出了北大东北偏门，踏上城府街，他让我返回，并说晚上去他家。

晚饭后，我约上黄大威带路，前往江先生家。当时江先生住在清华礼堂北侧一排简陋平房的东头。我们进屋后，到最里面的一小间坐下。江向我布置了第一学年的专业课，三门：泛函分析，教材是匈牙利数学家黎斯-纳吉的著作，英文版；随机过程论，教材是王梓坤的著作；高斯过程，参考美国统计学家杜普（Doob）的著作。同时给我出示了这三本参考书。我粗粗翻阅了一下，记下作者和书名，以便自备教材。江说：前两门明年暑假前考核，后一门交读书笔记。这样，我第一学年，除这三门专业课，还有英语和自然辩证法两门基础课。

我们大学本科阶段虽未开泛函分析的课，但在专门化课测度论和平稳过程中讲述了有关内容，我还自学了关肇直的《泛函分析讲义》；至于随机过程，我们的专门化课学得比较深入、系统 。所以，这两门课大部分内容我是熟悉的，自学并不费力，也从未找江先生质疑。但江先生偶尔还是提及书中有关内容。例如，在谈及泛函分析中算子谱分析时，他说，非负定矩阵做正交变换转化为对角形矩阵，其实就是一种谱分解。他在稿纸上写了一个n阶非负定矩阵表述为n个矩阵的线性和，系数是n个特征值，n个矩阵分别是n个特征列向量与其转置行向量之积。至于随机过程，他谈了平稳过程中Wold分解的含义，平稳随机序列可表示为白噪声序列的单边滑动和 ，这为预测分析带来极大方便。

高斯过程一书读起来颇感新意，作者思路开阔、灵活。但书中有些结论没有证明，或证明欠严谨，对此，我都在笔记上写出详细严密的证明，对有些结论，我还做了推广、改进，也都一一写在笔记上，分四、五次交给江先生。他审阅很仔细，每次都在最后用红笔批注日期，对有些段落还用红笔加了重点。他充分肯定我写的内容和所做的改进，并说：读书、看文献，就应当这样。

第一学年末了，江先生安排对两门专业课进行考试，一周考一门，闭卷笔试，一次考半天，在他家答卷。每门都出了八道题，有一定难度。这两次考试，暴露了我自学过程的破绽。主要是：面对这厚厚的两部专著，我关注的是总体结构、理论体系、主要内容，满足于理解、会用，没有在扣概念、背公式上下功夫，也没有做题练基本功，因此与考题有些脱节。

第二学年开学，听说江先生搬家了，搬到清华西门附近刚建的西43楼。

我来到江先生新家，江师母汪掬芳老师打开门，笑容可掬的招呼我进门坐下。我感到纳闷，以往她总是一开门就转身走开，从不露面，今天怎么一反常态？只听汪老师大声说：“倪忠仁，你知道我是右派吗？听说你是解放军，军人立场坚定，恨右派，所以，以前你来我家，我从不与你照面，免得你尴尬。”“汪老师，你说那里去了！我不是那样的人。再说，我也出身不好，属黑五类。”我插话。这时，她感慨地说：“现在平反了，摘掉右派帽子，恢复了党籍，还分到新房。”接着，她讲了当年反右的经过。她说：“当得知被划为右派时，我就赶往邮局给江泽培打电话，提出离婚，他正在莫斯科大学进修，一再回答不考虑这个问题。无奈，只好等他回来再说。他回国后，不嫌弃这个右派妻子，不怕受牵连，一直随我住在清华园。”听到这里，我对江先生高贵的为人品格深深感动。

根据江先生的安排，第二学年我的学习任务除准备写论文外，还有：一是听程乾生老师主讲“多维平稳过程”，每周二次，每次半天，持续一学期。二是听他主讲“解析函数的边界性质”，这是比较深奥的一个数学分支，是平稳过程预测理论的基础，定理的证明很繁琐，技巧性强，江先生不厌其烦的推导了每个定理的证明，详细、严谨，一丝不苟。这两门课用俄文参考书，三是听数学所龙瑞麟主讲鞅论，这是程民德老师为函数论研究生安排的，我没有坚持听下去。四是教学实习，担任董自励老师的助教，辅导物理系77级本科生概率统计，批改作业。

程乾生 北京大学数学科学学院教授

写毕业论文

从第二学年开始，我除听课与教学实习，主要精力转移到写论文上。首要任务是找准题目。我经常跑校、系和科学院图书馆，查找、翻阅各种文献，终于在一本数学刊物上发现一个未解决的课题。于是，我就尝试着去攻克它。折腾了近半个月，虽取得一些进展，但关键环节过不去，只能作罢。

因江先生新家离北大近，他要求我每一、二周去他家一次。我到江先生家中，向他讲了上述经过。他说：文中不是写着“Open”嘛，悬案。原来，他也看过这篇文章。我说：这个问题难度大，无从下手。他沉默了一会，对我说：“我这里有一篇论文，你拿去看看。”说着，就从书桌的抽屉里取出厚厚一叠资料，我恭敬的接过，返回北大。

这是美国麻省理工学院的两名学者Levinson和Mckean于1964年发表在国际著名数学刊物Acta Math.上的一篇长篇论文，有40余页。该文得到并证明了一个重要结论：一正则平稳过程具有马氏性的充要条件是它的谱密度的倒数是一整函数在直线上的收缩（Contract）。这是一个杰出的成果，证明过程用到很多深奥的数学知识。阅读该文，查找文中所引用的每个结论的出处，很是费时费力。我全力以赴，夜以继日，埋头钻研，下定决心啃下这块硬骨头。

一个初冬上午，我来到江先生家，汇报我阅读论文的情况。江先生详细谈了论文开头关于马氏性的表述。该论文就宽平稳过程，对直线上任一区间所对应的随机变量全体形成的希氏空间，记为该区间所张的信息空间。现在时刻0的各邻域所张的信息空间的交集当邻域长度趋于0的极限称为胚（Germ）空间。未来时刻所张的空间在过去时刻所张的空间中的投影称为分割空间，显然包含胚空间。论文按照勒维（Levy）的定义，如分割空间等于胚空间，则称该平稳过程具有马氏性。江先生强调，该定义是通常马氏性的自然推广。关于随机场，如移植勒维的定义，就要用带“毛刺”的曲线替代光滑曲线。说着，江先生在稿纸上画了一光滑曲线，在曲线两边划了许多三角毛刺。他说，就是用这带毛刺的曲线所张空间的极限，去定义随机场的马氏性，考察谱密度的特性。这次谈话，江先生谈了很多很长，给我留下深刻印象，至今难以忘怀。他关于马氏性的独到见解，使我深受启迪。 

经过四、五个月的奋战，我终于读完了江先生给我的论文。我向他谈了该文的关键环节。文中将一个正则平稳过程的谱密度表述为一复函数模的平方，该复函数与其共轭的比值定义为相位因子。以此为出发点，经过冗长推导，终于完成了证明的定理。他肯定我的说法。当时我刚听完程乾生老师多维平稳过程的课，所以我提出将该定理推广到多维情形。他听了未明确表示赞同或反对，沉默片刻，说“试试看吧”。我提出原论文的证明还存在一些疑点。他告诉我：现在又有了一篇关于这一问题的论文，郑忠国老师即将赴美访学，他让他复印该论文尽快寄回。果然，没过多久，江先生将那篇论文给了我。该文发表于1971年的多元分析杂志，作者Pitt，是将1964年那篇论文的证明做了简化与完善，篇幅压缩了一半，只有20多页。该论文思路清晰，推理严谨。读原论文，有些章节如入云里雾里，若明若暗；但看了该文，豁然开朗。文中引用了复平面的有限覆盖定理，是我陌生的。江先生说：一位法国函数论学家写了一本书，里面有这方面内容。我在校图书馆终于借到这本书，当翻开这部厚厚的著作、找到隐藏其中的有关该定理的论述时，我对江先生广博的专业知识深表佩服！

我终于发现，对给定的多维正则平稳过程的谱密度矩阵，存在正、负最大矩阵因子，使谱密度矩阵分别表示为这两个矩阵因子与其转置共轭的乘积。这是关键的突破。为此，我证明了一个长长的引理，后来 还将这一成果发表在《应用数学学报》。接着，对这两矩阵因子，分别定义两个矩阵相位因子，对满秩情形，借助这两个相位因子，经过漫长推证，终于得到多维正则满秩平稳过程具有马氏性的充要条件，是正、负最大矩阵因子的逆矩阵为整函数矩阵在直线上的收缩。这个结论虽是一维的自然推广，但证明过程却有诸多实质差异。我不时将论文进展向江先生作汇报，关键环节还写成文字材料交给他审阅。

1980年初冬季节，我在一院遇见程士宏老师。他告许我：他陪江先生去天津南开大学主持中日统计科学研讨会，刚回。其间，江先生与他谈起我的毕业论文。江说我的论文工作不错，得到一项理论成果，他相当满意。江还说，在平稳过程领域，国内多年来还没有出现像样的理论成果。我说：这全亏江先生给我的那两篇论文；否则，我也凭空想不出来。寒假前，我将论文整理出完整文本，有一百余页，冠以题目《多维平稳过程的胚空间》，交给了江先生。

春季开学不久，我来到江先生家。他告诉我，他已经看完了我的论文，并谈了他的结论意见：第一，结果是新的；第二，论证是正确的、严谨的。江说：三、四年前，一位苏联概率统计学者宣称，他将1964年那篇论文的结果推广到了任意维空间，“你是有限维，他是有限维或无限维”。我一听就紧张了，这下我的论文岂不白做？他接着说：但直到昨天，还没有看到那位学者的证明发表。这时，他大概看出我的心思，又说：“即便他现在发表，那你们也是各自独立完成的，不会影响你的论文。”江先生要求我尽快用制式稿纸、按规定格式将论文复写三份交给他。我又化了半月时间，将论文仔细推敲、修改，按要求复写三份，装订成册，送到江先生家中。这样，我的毕业论文交卷了。

“

 倪忠仁  1959级北京大学数学力学系本科生，1978级北京大学数学力学系研究生

（未完待续）

编辑：施林青