张宏伟：数学思维的全景式重建｜课程周专家说
以下文章来源于星教师 ，作者张宏伟
课程周峰会
昨天是2019星教师年度小学课程周主题峰会召开的第五天。数学四位名师重磅亮相，带来精彩的课程实践分享。星宝先为你呈现张宏伟老师的讲座精华内容，赶紧一睹为快！
全国著名特级教师张宏伟，“全景式数学”首创者
一
刚才老师已经谈到，目前我们小学培养孩子的思维，更多的是局部精致化的分析思维。
比如，老师执教单元例题时，往往都是教完例一教例二，教完例二再教例三，等到所有例题都学会了，老师便开始整理复习，连成网、织成片。
这时，你会发现学生只有一个选择，就是跟着老师一个例题一个例题地学，例一就是例一，例二就是例二，学完后也不知道看向哪里。因此，这一定是短视的、局部的片面化思维，不是整体的。
而全景式数学就是要改变这种思维模式，从整体到部分，再到整体，建立完整的CPFS结构，建立系统的思维框架和解决模型，学生一旦学会一个例题，剩余的各个例题完全可以自学，而且势如破竹。
所以，在我看来，全景式重建的一点，就是把目前的教学，从局部、点状、封闭的分析性思维，变为整体、系统、开放的结构化思维。在整座原始森林中思考一棵树，通过一棵树思考整座原始森林。
二
2017年5月，在吉大附中力旺实验学校，我调查了296名初一的学生。其中一题是这样的：
请判断：只有等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积才是圆柱的1/3。
结果有196 名学生做错，出错率高达66.22%。在我看来，这么多学生出错，一定不是学生的问题，一定是教育的问题。
我们扪心自问：用等底等高的圆柱和圆锥做实验去推导的策略是学生自己独立“想”到的吗？这个发现是学生自己的真发现吗？学生独立思考的权利、意识和习惯被我们更快、更好、更高效地理解和掌握公式的“善意”剥夺了。
我们编排的很多所谓的发现和思考过程，其思考是被动的思考，不是学生主动的思考，不是学生独立的思考，不是学生原真的思考。学生虽然学会了知识，却长不了智慧。他以后再碰到这种从未见过的全新问题，还是依然无从下手，不会独立解决。
美国信息加工心理学创始人A.纽厄尔和H.A.西蒙认为：所有的思维的时序过程都包括：开始状态——中间状态——目的状态。
开始状态包括触发和定向两个思考模块。思维的触发和定向是思维的启动阶段，它直接决定了学生的每一次的思考的方向和选择的路线是不是正确。
因此，全景式数学教育另一个重建就是：在每项内容的编排和教学中，补上触发和定向课程，让学生学会自己找到那扇门。
那么，到底如何编排，如何教学，才能让学生自己找到思维的触发点，明确思维触发的机制，并实现自主、正确的定向呢？
教材上是直接让学生拿等底等高的圆柱和圆锥去比，我教的这一部分恰恰是课本上缺的那一段。这一段经历是让学生悟到“如何建立联系，如何转化新问题”的最为关键的过程。
学生在这样的过程中，能明确地建立起这样的思考意识：要在相似点更多、联系最密切的相关事物中，寻求问题转化和突破的方法与路径。
我认为：这是比学会计算圆锥体积更上位、更重的思考逻辑和思考策略。
它具有方法论的意义！
三
数学思考的过程，包含两个大的维度：一是思考时序；二是思考空间。
“思考空间”是指，学生面对问题独立从不同的点触发，向不同的方向、不同的维度、不同的状态，进行发散、链接、转换，从而创生和选择不同的思考路径和方法。思考空间的大小、开放和自由程度，直接决定着学生思维的个性和批判精神的养成。
现行教材和教学对“数学思考的空间”还没有足够地重视和关注，相应的设计贫乏、甚至缺失。这是造成学生思维空间狭隘，思维缺乏个性，创造性解决问题的能力严重不足的重要原因。
鉴于此，全景式数学教育团队的另一项重建工作就是：补充、完整 数学思考空间。
以圆锥为例：关于圆锥的体积公式推导，课本上只安排了一个方案：准备等底等高的圆柱形容器和圆锥形容器，将圆锥形容器装满沙子，再倒入圆柱形容器，看几次能倒满。这种设计，很明显是希望在我们的“指导”下，学生能以最简单的方式、用最少的时间，理解和掌握计算公式。
我们太急了！
在日常教学中，面对考试，我们心底根深蒂固地隐藏着这样的想法：无论运用什么方法，不都是为了让学生学会圆锥的体积怎么算吗？只要学生能理解公式，会做各种体积计算的题目就行了。
因此，我们不想、也不舍得拿出更多的时间和精力，让学生独立、自主、多样、深入地思考和研究。长此以往，学生便逐步丧失了思维本该有的自由、开放、独立和多元，而没有这些，哪里来的批判思维？
不仅课程编排有这些现象，我们日常课堂上的评语也隐含着这样的导向。我们的教学口头禅是：明白了吗？懂了吗？会了吗？听着这样的要求，学生就会满足于：我理解了某某知识、我会做这样的题……习得的是共性的知识和技能。
那么，圆锥的体积教学，我们到底该怎样营造思考空间，培养思维的个性呢？
我们利用长线浸润的思路，打破课堂空间、时间的限制，除了书上的学具，还提供了另外8种研究材料：诸多的圆锥形铅锤、机场饮水杯、锥形冰淇淋、圆锥形橡皮泥、大型量杯、尺子、三角板、电子秤。
学生可以从中任选一样或几样计算圆锥体积，并尝试发现计算公式。当然，他也可以自己找其他的圆锥体，我只要求他们：必须独立思考研究、必须是自己的真发现。
于是，学生自己利用各种学具，创生了多种不同的思考路径，都属于实证式的不完全归纳推理。我们又给孩子提供了迥异的演绎推理，在丰富、完整思考空间的同时，也完善了推理的类型。
学生发现的第1种，是和书上一样的实验建模；
第2种，学生自己发现的变形建模：有两个一样的圆锥橡皮泥，把其中一个变成一样“粗”的圆柱，只有原来的三分之一高，说明圆锥的体积是底面积乘高，再乘三分之一。
第3种，数据分析建模A：学生用量杯、尺子等量出圆锥的体积、底、高，填入下表，然后计算发现数据之间的关系（如下图），继而发现圆锥的体积公式。
第4种，数据分析建模B，学生刚学完圆柱，知道了钢每立方厘米7.8 克，孩子称重后，直接用质量除以7.8 算出圆锥的体积，然后测量底、高填入统计表，继而利用数据分析发现计算公式。
后两种都是利用数据分析的方式，推导出体积计算公式。到这里，我杀了个回马枪，要求学生从下图中选用等底不等高的⑤号圆柱和⑥号圆柱做实验，进行第5种和第6种推导：
再推广到其他高和底均不等的圆柱，学生通过自己的计算，惊讶地认识了“不一样”的1/3Sh：
通过这些活动，学生彻底突破了等底等高的限制，再面对“只有等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积才是圆柱的三分之一”这道判断题时，几乎没有出错的！
在学生充分独立思考和研究了6种方案的基础上，我们印发了无限切割的推导思路给孩子选读。有不少孩子看懂了这种建模方法，看不懂的孩子也能浪漫地知道，还有切割成无数个近似的圆柱体的推导方法。
再呈现第8种微分建模，孩子不一定懂，也绝不要求他们学！我们只是想给他们埋下一颗未来学习的种子，使他们进一步认识到：解决同一个问题，永远会有，而且可能有很多种你暂时还没想到的思考方法！
在这个探索过程中，我尽了最大的努力、提供尽可能多样的学具，最大限度地还回研究的空间和时间，最大限度地给予信任和耐心等待。
由此，学生的思考空间也是完全敞开的、自由的、丰富的、广角的、完整的！
长此以往，就能让数学在实现趋同（求得现象背后共性的本质和客观规律）的同时，又最大化地求异，让不同的孩子可以从不同的路径去理解数学、看待数学，继而从不同的角度去认识这个世界，找到他自己，最终成长为有思想的人。
作为一名老师，我们一定要珍惜自己在课堂上“微不足道”的权力 ，发挥自己“微不足道”的力量，努力让每个孩子在我们的课堂上真正成为有尊严的人。我们自己，也成为：一位真正有尊严的老师！
在这个探索过程中，我尽了最大的努力、提供尽可能多样的学具，最大限度地还回研究的空间和时间，最大限度地给予信任和耐心等待。由此，学生的思考空间也是完全敞开的、自由的、丰富的、广角的、完整的！
长此以往，就能让数学在实现趋同（求得现象背后共性的本质和客观规律）的同时，又最大化地求异，让不同的孩子可以从不同的路径去理解数学、看待数学，继而从不同的角度去认识这个世界，找到他自己，最终成长为有思想的人。
◎以上内容根据2019星教师年度小学课程周主题峰会张宏伟《数学思维的重建（2）》讲座整理，未经作者审核，请勿转载。
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小学数学专场明天精彩继续！
End
正文作者丨张宏伟
编辑丨胡雪莲 田佩
星教师投稿邮箱
xingjiaoshi@dett.cn
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