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首师大数学教授：中小学生怎样才算数学学得好？| 头条
◇ 数学应该怎么教怎么学
◇ 为什么减负后数学教材很有问题
◇ 怎么选择好的数学读物
◇ 数学竞赛要不要参加
◇ 小学和中学阶段孩子该具备哪些数学素质等等
“如何学数学”这个题目不好讲，因为每个人应该根据自己的情况找到最适合自己的学习方法，即使只是要给某一个同学提建议，也得先对这个同学有充分的了解。
但反过来看，常见很多人对于数学采取的不适当学习方法，倒是有很多共同之处。我们就从这个角度开始讨论。
很多人以为数学教育属于教育学的范围，其实不对。
1.数学根本上来自自然界，因此学习数学要拥抱自然，特别是要避免脱离自然。
2.学习数学的最强动力是兴趣，因此培养兴趣对于学好数学至关重要。
3.学习数学需要实验，实验的质量对于数学学习的质量有重要影响。
4.数学的内容极为广阔，因此学习的内容 （包括教科书）的选择极为重要。
5.数学竞赛对于激励数学兴趣和提高数学水平有重要的作用，但要避免一些误区。
6.数学是科学，所以学习数学应该用学习科学的方法，而不是用例如学习技术或法规的方法。
7.学习数学的过程不仅有知识的积累，而且有理念的提升，为了培养数学素质尤其需要因材施教。
我们下面针对每个特点讲得具体些，能否讲完并不要紧，只希望同学们能看到一些要点。
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学习数学要拥抱自然
首先问大家一个问题：
数学是自然界的客观规律，还是人脑子中的纯粹主观的东西？
然而一种非常普遍的观点是：数学是“理论科学”，只是动动脑子的事，“数学对很多人来说是枯燥的、深奥的、抽象的”（参看参考文献 [3]），甚至是乏味的、无用的、无聊的。
更有些极端的看法，否认数学是科学，否认数学所研究的是自然规律，认为自然数纯粹是人脑子里的东西，或者是“存在于天上的纯粹理性”，或者纯粹是文字和符号的游戏，等等。抱着这样的态度学习数学，难免脱离实际，甚至完全没有“数觉”。
学习数学不是只要认识数字，会写会算就行。
首先要理解自然数的“自然”意义，没有“数觉”却只管练习记数、计算等，是学不懂数学的。
小学生做很多数学应用题，中学生却很少做甚至不做，其实中学生更应该做，这是回归自然的一个重要途径。
什么样的习题是“自然”的呢？这不太容易说清楚，但“自然”的反义词是“人工”，那些在自然界中不存在的现象，人为编造的条件，牵强附会的假设，与数学无关的语言障碍或陷阱等都属于这一类。
华罗庚先生当年做数学普及报告，经常举日常生活中应用数学的生动例子，比如：
◇ 蜂巢为什么最省材料？
◇ 什么样的茶叶桶盖掉不下去？
◇ 街口的红绿灯应该怎样设计？
◇ 苏联导弹试验场的奇怪形状说明了什么？
这些报告都给了听众们非常深刻的印象，一个重要的原因就是其中有很多自然的例子。
为了让同学们自己有所体会，这里留一个小学水平的习题。
某商店举办返券销售活动，小萌和妈妈听说后一起去逛商店，希望能“淘”到几件平时舍不得买的东西。到店里看到这样的规则： 购买服装类每付现金 100 元返回礼券 80 元，鞋类每付 100 元返券 60 元，用具类每付 100 元返券 40 元，所付现金不足 100 元的部分不返券，所返的券可在返券销售活动期间在店里买任何商品。
妈妈看中一套衣服，标价为 498 元；小萌看中一双运动鞋，价格为 320 元；妈妈还想买一套炊具，价格为 245 元。怎样买才能尽可能省钱呢？
陈省身先生说过：“数学是一切科学的基础，数学的训练普遍的有用”。
但对于数学有严重偏见的人（包括缺乏数觉的人）来说，是不可能理解这两句话的。
数学揭示自然界的规律，而人本来就属于自然界，了解自然界的欲望是人类的本能，因此对数学的兴趣是可以自然地形成的。
但是，如果学的或做的是不自然的数学，则无助于培养数学兴趣，甚至会伤害数学兴趣。
作为科学，数学产生于实验，在这一点上与物理、化学等都是一致的。
离开自然界，数学根本不可能存在——不可能产生。最早的数学研究对象—— 自然数的客观存在，是一个物理事实，人类只是“发现”而不是“发明”了自然数。
一个班的学生中一般总有几个学得不好的，很多人将此简单地归因于这些学生“笨”或者“懒”，还有归因于“智商”的（而且有些人将智商说成是先天因素）。
另一方面，经常也总有几个学生学得很好，这也使一些人认为他们“聪明”“勤奋”或“智商高”，由此往往会得出一个错误的判断，就是在数学教学中不需要实验，没有实验他们不是也学得很好吗？
为让学生理解“全等”的概念，现在最好的中学数学教师所采用的实验仍是用两张透明胶片滑移使图形重合，还没有比这更好的手段；
为了理解长方体，可以用叠纸盒的方法做实验，这实验用电脑应是可以虚拟化的（在电脑显示屏上看到），但至今还没有人做出相应的程序，而做这样一个程序，工程不小、成本也不低；
为了理解用平面切割圆锥得到圆锥曲线，一个简单而粗糙的实验是用手电筒照墙面，现在还没有比这更方便更精确的手段，等等。
现在很多小学建立了数学实验室，例如怀德苑小学（见下图）。
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“教什么”的问题，在其他学科中一般不很尖锐，但数学却不然，一般人学的最新也是几百年前的数学，即使两千多年前欧几里德写的《几何原本》，现在也仍然可用。
在数千年甚至更长的历史时期中，数学有丰富的积累，其中有很多是永远不会过时的。这么多的内容，任何人都不可能读完。那么一般人应该学哪些内容，就是一个非常不平凡的问题了。
现在经常听到的一个口号是“减负”，然而很多人觉得越减越重。其实看看统编教科书确实内容的量没减小，在减掉一些内容的同时又悄悄加入了另一些内容。
遗憾的是，减掉的多为精华，也是统编教科书越来越令人觉得无聊的一个原因。当然，内容的选择只是一个方面，写作质量也很重要。现在常见统编教科书中出现数学错误，这当然要误人子弟的。
1960 年代，在华罗庚先生的倡导下，很多数学家为中学生写课外读物，出版了一套 ，有十余本。
华罗庚先生身先士卒写了两本：第 1 号《从杨辉三角谈起》和第 3 号《从祖冲之的圆周率谈起》，后来又写了《从孙子的“神奇妙算”谈起》，此外还写了一些别的小册子，其中《数学归纳法》和《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》后来也收入《数学小丛书》中。
这些书的质量都是非常高的，是真正的精品，即使在今天也仍是极好的中学生读物。遗憾的是现在读这些书的人很少，连中学教师都很少有读过的。
我曾经对一个同学说：“你选读的那本书质量很差，不值得读。”那同学反问道：“我不读怎么知道它很差呢？”
你们觉得这个同学的话有道理吗？我觉得很有道理，因为听别人的评价不能代替自己的评价，自己判断错， 吃了亏，得到教训，是成长的不可缺少的环节。
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数学竞赛是一种非常好的教育方法，它能激励学生的数学兴趣，发现人才，提高学生的素质，开阔学生的眼界。此外，它能建立数学界与青少年沟通的桥梁，吸引数学家对青少年人才培养的投入，吸引学术界和社会对于数学发展的关注等。
“华罗庚金杯”少年数学邀请赛的命题标准尤其高。为了一个题目，教授们要开讨论班讨论多次，而且绝大多数题目都不能通过。
简言之，数学竞赛题的内容既要基于学生的课程内容，又不能落入俗套；既要有难度，又要简单；既考验智慧，又启发新的智慧；既不能超出学生知识基础的范围，又要有高的深刻的观点。
很多人跟我谈“奥数”我都拒绝回应。
什么是“奥数”？其本来的意思是国际数学奥林匹克竞赛（IMO），但现在很多人所说的“奥数”与 IMO 毫无关系，只是打着“奥数”的牌子开培训班和搞竞赛。其中有些讲究质量，但大多数只是将以往的数学竞赛题用作培训题或稍加改动用于竞赛。我就经常看到以往的华杯赛题被反复使用，甚至盗版。
在座的同学们有很多参加过数学竞赛。你们可以回顾一下，在竞赛中做过的一个题目对你是不是新鲜的？是不是自然的？是不是有趣的？做了是不是有长进？做了以后是不是又曾用到？
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例1. 勾股定理。直角三角形的两直角边长 a，b 与斜边长 c满足a²+b²=c²。
例2. 圆的面积。直径为 r 的圆的面积为 πr²。
例3. 加法定理。
例4. 代数基本定理。任何非常数复系数多项式必有一个复零点。
例5. “费尔马大定理”。设 n 为大于 2 的整数，则方程 xⁿ+yⁿ=zⁿ没有非平凡的整数解。
就以识数而言，岂是认识 1, 2, 3, 4, 5, ... 那样简单。
首先，需要通过上面所说的“拥抱自然”，物理地理解数字符号的意义，这种理解还要通过以后所做的应用题进一步深化。
进而要了解数的简单性质，从而对于自然数有更深入的理解，并且从中培养计算和应用等方面的能力。直到完成“我什么数都会数了”这一飞跃的时候，才算完成了识数的过程。
遗憾的是，很多数学教育几乎就是用技术教育或法规教育的方法，甚至将数学当作教条。
这样的教育尽管可以使一个孩子学完所有的教程，如记数规定、运算法则、多种应用题型等等，而且通过达标考试，却仍然没有使他“学懂”数学。
难免有人会反问：为什么一定要“学懂”数学呢？只要“会做”就可以通过考试了，达标了，将来也就可以工作了。然而，现在人工智能发展得很快，不管多聪明的人，与人工智能比速算，做选择题，甚至做套路题，都将完全不是对手。
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实际上，幼儿一般在很小的时候就开始接受数学教育。
按我国现行的义务教育法，每个少年至少要上完初中，而接受数学教育也就要直到上完初中；很多地区已开始普及高中教育；而对于很多方面工作的需要，即使高中数学达标都还不够，至少需要用到微积分。
中学阶段对于数学素质有更多的要求，包括代数运算能力、空间想象力、逻辑性等，更高的要求是独立探索解决问题的能力。
数学素质的提升主要是通过理念的提升来实现的。理念的提升，远比技巧的提高重要。
在理念的提升过程中，概念越来越抽象。抽象概念常常是具体概念的推广或提升。
在教学中一个常见的误区是，先讲抽象概念，再应用到具体情况，这样符合逻辑次序，但对于学习可能并不合适，因为人的认识过程是从特殊到一般，从低到高，经常是从具体到抽象，就是说抽象的概念需要通过大量具体的例子才能理解。
最后再指出一点：数学的教育特别需要“因材施教”，对于同一个问题，不同的人很可能需要大不相同的学习过程。例如很多数学习题是没有“标准答案”的，特别是证明题，在好的情况下甚至可能没有两个学生的答案完全相同，需要教师分别读懂和判断。就这一方面看，数学教育是很不容易也很辛苦的。
97岁高龄获诺奖引发的联想：中美基础教育，哪种教育基础打得更好？
作者 | 李克正，首都师范大学特聘教授。曾任中科院研究生院数学系主任，中科院数学委员会委员，中科院重要方向项目首席科学家，《 中学生数学》杂志主编，《小学生数学报》等报刊编委，北京市高考命题委员。来源 | 公众号“返朴”，一群科学家领航的好科普。美国科学院院士、物理学家文小刚教授与生物学家颜宁教授共同担任总编辑。关注《返朴》可参与讨论。禁止任何媒体未经授权转载本文。授权或合作请联系fanpusci@163.com。参考文献：
[1] 姜树生：谈数学教育的特殊性 —— 兼谈如何处理数学与教育学的关系. 数学通报 2008 年第 4 期
[2] 姜树生：可怕的幼儿数学教育（2011）
[3] 姜树生：李克强总理关于数学的发言与社会反响（2015.4.）
[4] 姜树生：现行统编中学数学教科书有多烂（2016.11.）
[5] 李克正：缅怀和发扬华罗庚先生对中国青少年数学人才培养的贡献（2010.9.）
[6] 李克正：《数学的哲学意义》（首都师范大学讲义 2011-2013）
[7] 李克正：关于初等几何习题（2018.5.）
[8] 莲溪：是谁夺走了美国人的数学能力？——美国百年数学战争演义
[9] 彭志祥等：《玩数学：小学数学课程整体转型的研究》
[10] 其故：得数学者得天下（返朴公众号 2019）
[11] 单墫：《数学竞赛史话》. 广西教育出版社（1990）
[12] 《数学小丛书》 1-18. 科学出版社（2002）
[13] 咸道：致家长
[14] 严士健主编：《面向 21 世纪的中国数学教育》. 江苏教育出版社（1994）
[15] 尹裕：寻回美好的中学时代. 数学通报 2006 年第 1 期
[16] 尹裕：数学启蒙教育之我见（2013）
[17] 张景中、王鹏远：《小学数学实验》
[18] 中国少年报社编：《华罗庚金杯少年数学邀请赛专辑》. 海燕出版社（1991）
责编 | 张光
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