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初三 | 初中数学九年级上册第二十一章一元二次方程知识详解

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【知识网络】

【知识解读】

1.一元二次方程的定义

2.一元二次方程的解法

注意事项:

解一元二次方程常见的思维误区是忽略几个关键:用因式分解法解方程的关键是先使方程的右边为0;用公式法解方程的关键是先把一元二次方程化为一般形式,正确写出a、b、c的值;用直接开平方法解方程的关键是先把方程化为(mx-n) 2=h的形式;用配方法解方程的关键是先把二次项系数化为1,再把方程的两边都加上一次项系数一半的平方.

解具体的一元二次方程时,要分析方程的特征,灵活选择方法.公式法是解一元二次方程的通法,而配方法又是公式法的基础(公式法是直接利用了配方法的结论).分解因式法可解某些特殊形式的一元二次方程.掌握各种方法的基本思想是正确解方程的根本.一般说来,先特殊后一般,即先考虑分解因式法,后考虑公式法.没有特别说明,一般不用配方法.

3.一元二次方程的实际应用

方程是解决实际问题的有效模型和工具,解方程的技能训练要与实际问题相联系,在解决问题的过程中体会解方程的技巧,理解方程的解的含义.

利用方程解决实际问题的关键是找出问题中的等量关系,找出题目中的已知量与未知量,分析已知量与未知量的关系,再通过等量关系,列出方程,求解方程,并能根据方程的解和具体问题的实际意义,检验解的合理性.

列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答.

审:读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的等量关系;

设:设元,也就是设未知数;

列:列方程,这是非常重要的关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系,然后列代数式表示相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程;

解:解方程,求出未知数的值;

验:检验方程的解能否保证实际问题有意义;

答:写出答语.

相等关系的寻找应从以下几方面入手:

①分清本题属于哪一类型的应用题,如行程问题,则其基本数量关系应明确(vt=s).

②注意总结各类应用题中常用的等量关系.如工作量(工程)问题.常常是以工作量为基础得到相等关系(如各部分工作量之和等于整体1等).

③注意语言与代数式之间的转化.题目中多数条件是通过语言给出的,我们要善于将这些语言转化为我们列方程所需要的代数式.

④从语言叙述中寻找相等关系.如甲比乙大5应理解为 “甲=乙+5”等.

⑤在寻找相等关系时,还应从基本的生活常识中得出相等关系.

总之,找出相等关系的关键是审题,审题是列方程的基础,找相等关系是列方程解应用题的关键.

【易错点】

一、忽视一元二次方程定义中的条件

二、用公式法解方程,忽视化方程为一般形式

三、忽视等式性质中的条件

四、概念模糊致错

五、忽视方程有根的具体含义


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