初二 | 初中数学八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解知识详解

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整式的乘法与因式分解

知识结构图：

一、整式的有关概念

1．整式

整式是单项式与多项式的统称．

2．单项式

单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．

3．多项式

几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．

二、整数指数幂的运算

1、同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2、同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

3、幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

4、积的乘方：积的乘方等于各因式乘方的积。

注：（1）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；

（2）任何一个不等于零的数的-p（p为正整数）指数幂，

等于这个数的p指数幂的倒数。

（3）科学记数法：或

 绝对值小于1的数可记成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）。

三、同类项与合并同类项

1．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．

2．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．

四、求代数式的值

1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．

2．求代数式的值的基本步骤：

(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；

(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．

五、整式的运算

1．整式的加减

(1)整式的加减实质就是合并同类项；

(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．

2．整式的乘除

(1)整式的乘法

①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

②单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc．

③多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．

(2)整式的除法

①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

②多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.

3．乘法公式

(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；

(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.

六、因式分解

1．因式分解的概念

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．

2．因式分解的方法

(1)提公因式法

公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．

(2)运用公式法

①运用平方差公式：．

②运用完全平方公式：.

(3)十字相乘: .

3.分解因式的技巧：

(1) 因式分解时，有公因式要先提公因式，然后考虑其他方法；

(2）因式分解时，有时项数较多时，看看分组分解法是否更简洁.

典例1：计算的结果是(　B　)

A．x　　　B．　　　C．　　　D．

典例2：下列算式中：①；②；③；④

，其中正确的有②③．

练习：已知3x＋5y＝8，求的值．

解：.

典例3：计算：

(1) ；

解：原式＝；

(2) ．

解：原式＝.

典例4：化简求值：，其中a＝2，b＝－1.

解：原式＝－(8a＋5b)(4a＋b)＝－77.

练习：1.计算：(1)；

解：原式＝；

(2)(x＋7)(x－3)．

解：原式＝＝.

2．先化简，再求值：(a＋2)(a－2)＋a(1－a)，其中a＝5.

解：原式＝；

当a＝5时，原式＝5－4＝1.

典例5：分解因式：

(1) ；

解：原式＝＝(3x＋3y－2)(3x－3y＋2)；

(2) ；

解：原式＝；

(3) .

解：原式＝

练习：分解因式：

(1) ；

解：原式＝

(2) .

解：原式＝

典例6：若△ABC的三边长为a、b、c，且满足＝2a＋2b＋2c，试判断△ABC的形状．

解：∵＝2a＋2b＋2c，∴，即，∴a＝1，b＝1，c＝1，故a＝b＝c，则△ABC为等边三角形．

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