物理学咬文嚼字之九十五：紧绷的世界
作者：曹则贤 (中国科学院物理研究所)
君子引而不发，跃如也。
——《孟子·尽心上》
In the beginning, God said that the four dimensional divergence of an antisymmetric second rank tensor equals zero and there was light.
——Michio Kaku1)
上世纪八十年代在中学、大学学物理那会儿，笔者遇到的一个特别有挫折感的问题是滑轮的受力问题。一根绳子搭在滑轮上，绳子一端挂个重物，受重力 F 向下，重物还受上边绳子给的一个张力 T(很久以后我知道了 T 是 tension 的首字母)。这张力 T可怪异了，在绳子的任一点上都有，还一对一对的方向相反。而且吧，有的书上会让计算滑轮如果有摩擦时，滑轮两端张力T1和 T2 (方向都画的是顺着绳子向外)之间的关系，答案是 T2 = T1eμθ ，其中θ是绳子在滑轮上的缠绕角度。2) 我就纳闷了，这绳子上的张力是个咋回事呢，它咋一对一对的方向相反跟歪曲版的牛顿第三定律描述的情形似的？人家重力就不这样！这纳闷儿，因为我在我能有的书里找不到，又因为怕显得自己蠢也不敢问老师，就一直憋在我心里。张力，唉，张力。
初等物理里面有很多令人困惑处。先说压力，不，压强，吧。用手按压一个有些刚性的表面，比如木桌面，能看到按压的效果，手也会有费力、不能随心所欲的感觉。压 力 ， 或 者 压 强 ， pressure( 德 语Druck，法语 pression)，就是来自动词 press(drücken，presser)的抽象名词，英法语的词源都是拉丁语的premere，to press。压强的量纲是单位体积的能量，这在热力学主方程dU=TdS－pdV+…中明显可见，或单位面积上的受力。压强的国际单位为 Pascal(汉译帕斯卡)，符号为Pa，源自研究大气压的法国哲学家Blaise Pascal。 标 准 大 气 压 就 是101325 Pa。物理上的压力不是力，但我们日常生活中会把压力、压强混着说，西语科学文献也有这种混淆，不足为奇。但今天，尤其是明白了物理学无须力的概念之后，压力、压强应该不会再带给我们困扰了。
初等物理课本里常会有这样的描述，对桌面施加一个压力 F(确实指的是力)，受力面积为 S，则压强为 F/S，好麻利、好简单的物理，当年我也以为我学得会。我们会看到，事情比这个要复杂。面积是个有方向的量，力也是有方向的量，那除法 F/S 得到的压强有什么样的性质呢？没有方向？你用手按压一个光滑的刚性球，或者按压一块豆腐，估计会注意到一些让你深思的现象，下面我们会详细讨论。若是两手紧握一个物体，那是 compress，to press together，压缩的意思(动词精简，名词止血绷带、打包机，都是其引申义)。 一个物体如果被compressed，它的体积会减小，即物质有可压缩性 (compressibility)。如果处理流体问题时，可不考虑其受力状态下的体积变化，则称其为不可压缩流体，incompressible fluid。衡量物体compressibility的物理量既可以称为 compressibility，也可以进一步具体一点称为 the coefficient ofcompressibility(压缩率)。压缩率的定义为 β = - 1/V·∂V/∂p 。对于描述物质的抗压能力，人们还是习惯用压缩率的倒数，称为体弹性模量(bulk modulus)。
提到弹性，就会想到弹 簧(spring)3)上挂一质量m的体系。将弹簧拉长一段长度，放松，若弹簧能恢复其原状，它就是弹性的。弹簧振动的物理，从简单的胡克定律 F=－kx，到简谐振动及其能量二次型 E = 1/2 mẋ2 + 1/2 kx2 ，到量子化的 谐 振 子 模 型 H = (â+â + 1/2)ℏω ，[â，â+] = 1，再到以其为基础的量子场论，据说这足已构成物理 75%的内容了。我纳闷的是关于弹簧的行为。弹簧就算能回复原状，它在平衡状态两侧的行为也不一样。一根金属丝，微小拉伸和微小压缩，就算是弹性近似，应该也是不一样的。
一个物体被拉、压、拧，外观上会变形(deformed)，内里面也会非常拧巴、不自在(strained)。这就引入了两个非常重要的关于材料的概念， strain 和 stress。 Strain 作为动词，来自拉丁语动词 stringere，拉紧、绞拧的意思，比如to strain everynerve(绷紧每一根神经)。Stress作为动 词 来 自 strictiare， 其 形 容 词 为strictus， 但 strictus 就 是 来 自 动 词stringere，也是紧绷的意思。动词strictiare 应该有施压的意思，可参校由其而来的名词 constriction 来理解，见于 a constriction in the chest(胸部压迫感)。Stress作为一般英文动词，有加作用力、强调的意思。Stress 和 strain 在材料力学、连续介质力学(continuum mechanics)中分别被译为应力和应变(形变)，形变是无量纲量，应力和压强的量纲相同，且它们之间有千丝万缕的关系。考虑一个三维物体，其中的应力是由一个 3×3 的对称矩阵表示的，被称为 Cauchy stress tensor(柯西应力张量)，
最后一种表述中另引入了字母 τij ，是强调非对角项是剪切应力(shear stress)。在静水压情形下， σij = pδij 。应力和压强的关系由此可见一斑。
一个物体被 strained 了，各处都会错位，描述这错位的物理量叫strain。定义如下：考察任一点 x=(x1，x2，x3) ，位移到 x+ u ，则 εij =1/2 (∂ui/∂xj+∂uj/∂xi)即 是 strain tensor，wij =1/2(∂ui/∂xj-∂uj/∂xi)是 rotation tensor。应力张量和应变张量之间的关系由广义胡克定律给出， σij = -Cijklεkl 或者 εij = -Sijklσkl ，其中 Cijkl 是 elastic constant，elastic stiffness，弹性刚度(劲度)， Sijkl 是elastic compliance tensor(柔度、顺度)4)。以后我们会看到，刚度张量和顺度张量的当前写法是不太恰当的，它们都是(2，2)-type 的张量。Strain 和 stress 之间的关系，是一个共轭的关系。常见有apply a stress(施加一个应力)的说法，恐不易实现。恰当的说法也许应该是subject to an action or external stimulus(置之于一个作用或者外部刺激)。三维情形下应力—形变关系不好理解，那看一维情形下拉伸一个物体(tensile test)所获得的普适性的应力—应变关系：开始时应力和应变成正比，将载荷去除后材料会恢复到原来状态；当形变超过一定程度，材料不再能恢复原状，这时对 应 的 应 力 为 屈 服 应 力 (yield stress)；过了这个点材料进入塑性状态，应力在随形变增加而增加到 一 个 最 大 值 (ultimate tensile strength，极限强度)后会变小；材料形变再继续增大到某个值时就会发生断裂，断裂时材料的应力为 rupture stress(断裂应力)，见图1。
图1 延展性材料的普适应变—应力关系
补充一句。Strain 有用尽某种资源的意思，a strain on the imagination，那是耗尽了想象力。此外，strain 可能还可表示紧绷状态的后果，故 muscle strain 是肌肉紧张，也可译为肌肉劳损。筋肉劳损加继发性感染炎症，这大概是网球肘一类疾 病 的 机 理 了 。 Strained state，难免会遭遇放松过程。放松过程，relaxation process，物理学给译成了弛豫过程。弛豫过程是动力学的过程，涉及一大类物理现象，对它的研究也是物理学的一个重点。此处不论。一个strained体系，让其放松后，一般不会恢复到整体均匀、平衡状态。一个经历过 straining 过程的塑料板，弛豫后也会留下损伤或者不均性，会在某个物理性质上，比如对光的散射，表现出来(图2)。
图 2 一块抻过或者扭过的塑料板表现出光学性质的不均匀
拉伸，英文为 to stretch，从对应的拉丁语动词 tendere，引申出了一批科学概念，其中一些甚至是数学和物理学灵魂级的概念。法语是拉丁语系的语言，tendere 以动词tendre 的形式出现，如 tendre un arc(拉一张弓)，tendre le esprit(打起精神)，等。动词的过去分词作形容词，有style tendue(僵硬、不自然的文笔)的说法。 Tendre un arc，拉弓，那难怪用 tension(英法语，张力)来描述 a tense rope(一条绷紧的绳子)的状态了(图3)。
图 3 张弓
英语中 tense 作动词和形容词用，词组 tense up 有绷紧、警觉的意思。Tense作为形容词的意思是绷紧的、拉紧的、紧张的。语音学上，发音时要求舌头和上下颚紧张的元音是 tense vowel，口腔松弛的是lax vowel。语法书里还会出现另一个意思的 tense，汉译时态。注意，此处的名词 tense 来自拉丁语 tempus，就是时间的意思，请勿混淆。
英文中词干为 tendere的词汇很多，如 pretend， before + to stretch，假装，在人前端着；subtend，under+to stretch，撑开，见于 subtends anangle(张开一个角)，the space subtended by the eigenfunctions of aself-adjoint operator(自伴随算符的本征 函 数 张 成 的 空 间)； contend, tostretch together， 竞 争 ； attend, tostretch forward，注意、警觉；extend,to stretch out，延展、扩展；intend，to stretch for，打算、为……做准备，等等。Tendere的其它形容词形式有tensile(tensible)和tensive，前者见于 tensile test(拉伸试验)、tensileproperty， 后 者 见 于 tensive rivalry(紧张的竞争)，似乎前者更多体现的是其本义。Tensile用于stress，是tensile stress(张应力)，老年人表皮比其下的真皮面积大很多，其皮肤上积聚的应力就是张应力。与此相反，婴幼儿表皮比真皮面积甚至会显不足，其皮肤上积聚的应力就是compressive stress，压应力。不管是tensile stress 还 是 compressive stress，stress 太大了就能把体系给stress out，让体系发生变形甚至断裂。当然，变形或者断裂不是无规的。图 4 是南极的方糖冰山，重力在浮在水面的积雪中造成的应力使得积雪体发生断裂，断裂几乎呈二维正方格子的花样，俗称方糖冰山。这说明积雪在与大地垂直的二维平面内是各项同性的。巧妙、仔细地引入恰到好处的应力，可以得到自组织的图案，这就是所谓的stress engineering(应力工程)。图 5为通过应力工程在微米大小的核—壳体系上获得的应力点阵，精确地再现了相应的汤姆森问题的数学解。
图 4 南极的方糖冰山
图 5 核—壳体系上的应力点阵与相应的汤姆森问题的数学解(李超荣、曹则贤，2005)
Intend 和 extend 的形容词分别为 intensive 和 extensive。热力学把其关切的物理量分成 intensive quantity(强度量)和 extensive quantity(广延量)。设想有一个处于平衡态的体系，将之数学地分成两个子体系 1和 2，则满足关系 Q1+Q2=Q 的量是广延量，而满足关系 q1 = q2 = q 的量是强度量。热力学中的强度量和广延量是以成对的方式出现的，是共轭的。具体地说，在热力学主方程dU = TdS - pdV + σdA + μidNi + E∙dP+H:dM + ⋯ 中，熵 S，体积 V，表面积 A，粒子数N，电极矩P和磁矩M 是广延量，而相应共轭的温度T，压强 p，表面能σ，化学势μ，电场强度 E 和磁场 H 则是强度量。
在描述一个 strained物体时引入了 stress tensor 的概念。Tensor，张量，可以说是物理学的一个灵魂级概念。在普通物理课上，另一个我们熟悉的张量是转动惯量，momentof inertia，它还有一个名字叫 inertia binor，愚以为可译成惯性二阶矩，这与其字面意义和定义都符合。这个转动惯量是个二阶张量，因为它的任意一个分量都是构建在两个基矢量上的， I = Iijei⊗ej ， Iij = ∫Ωrirjdm 。由于这个张量是对称的，所以作为其表示的 3×3 矩阵是可对角化的，故有所谓三个惯量主轴和主转动惯量的说法(就是线性代数语境中的本征矢量和本征值的具象)。
张量T关于它的所有元素都是线性的，一个张量就是一个多线性的映射(a tensor is amultilinear map)。表示张量所需的指标的数目称为张量的阶 (degree or rank)5)，标量是 0-阶张量，矢量是 1-阶张量，象前述的转动惯量是2-阶张量。考察一个曲线坐标系，将某点的坐标表示为xμ，临近的一点为 xμ+dxμ；在另一个曲线坐标系下，这两点可分别表示为 xμ'和 xμ'+dxμ'，则有 dx μ′ = ∂x μ′/∂xvdxv = x μ′,vdxv 。则若一个量在坐标变换时按照如下方式变换，
那就是一个(p，q)-张量，其中 p 是上标数目(指示逆变部分)，q是下标数目(协变部分)。对于一个矢量空间 ， 两 个 矢 量 的 内 积 定 义 为<v，w> = gijviwj，其中的 2-阶逆变张量 gij 就是著名的度规张量(metric tensor)，空间弯曲的性质都着落在它身上了。用张量的好处是，它在不同曲线坐标下形式是一样的。若一个守恒定律的形式是一个张量表达式等于零，则在坐标变换下其形式不变，仍能被一眼认出来。与张量对应的是 nontensor。Tensor 的形容词形式是 tensorial，关于 tensor的数学是 tensorial calculus 或者 tensor analysis(张量分析)。
电磁学有张量表示形式。电磁学的协变张量形式，依然是 Euler—Lagrangian 形式。 保持麦克斯韦波动 方 程 形 式 不 变 的 时 空 变 换 为xμ′= Λ μ′v xv，其中 Λαβ 就是洛伦兹变换张量，是个(1，1)-张量。把相对论从电磁学推广到能包括引力，最后会着落到一个二阶协变张量形式的方程上，主角是那个度规张量和(电磁学已有的)能量—动量张量 Tμv上。1915年底，爱因斯坦得到了如下形式的引力场方程
其中， Rμv 是可由度规张量 gμv 导出的里奇曲率张量，描述空间的弯曲。这个方程告诉我们能量—动量张量决定空间如何弯曲。引力场中的测地线方程为 dvσ/ds + Γσμvvμvv = 0 ，这个方程告诉我们粒子在弯曲的引力场中如何自由下落。有趣的是，这个方程中的量Γσμv，第二类 Christoffel symbol，是个 nontensor。经典电磁学和它的协变形式，才是狭义、广义相对论的基础！
仔细地回顾了 stress—strain 关系，tension的概念，以及如何借助张量的概念从协变的经典电磁学形式走到广义相对论，似乎正应了笔者的一个观点，量子力学和相对论之所以难学，那只是因为我们没学会经典物理的缘故。
1) 加来道雄：“起初，上帝说反对称二阶张量的四维散度为零，于是就有了光。”不明白？学学协变形式的电磁学，一切都会明亮起来的，连广义相对论也算上。
2) 懂了这一题，那么只要见到一根桩子，你就能勒住一头牛。
3) Spring，来自德语动词spingen，突然冒出来、跳跃。Plants begin to spring from the seeds，植物从种子中萌发，所以在英语中 spring作名词还是春天的意思。不过，德语的春天是 Frühling，对应中文早春二月的“早”字。
4) 偏偏用S代表compliance，用C代表stiffness，奇了怪了。
5) 关于张量的order or degree or rank or type or valence，西文文献也是很乱的。
本文选自《物理》2018年第2期
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