纳维-斯托克斯方程：行到水穷处，坐看云起时

“清风徐来，水波不兴”、“惊涛拍岸、卷起千堆雪”。苏轼当年泛舟赤壁留下了这千古传诵的名句。

在古人的眼里，风水是美与丑、福与祸的象征。风水宝地的区别就代表了古人朴素的世界观。然而，面对来去无影、幻化无形的风，和柔弱无骨、利物不争的水，人们赋予它们高尚的品格，却也忌惮它们黑暗的力量。

风与水的力量

古时河水泛滥往往造成巨大的天灾人祸，历朝历代为驯服水患而劳心劳力，却成效甚微。在和水灾斗争的年月，人们罕有成功的经验。历史上最著名的当属李冰父子的都江堰水利工程。自它诞生始就造福后世，泽被苍生，时隔两千多年仍然守护着一方百姓的福祉。

每年雨季来临，沿海百姓就会遭受飓风的袭击。白浪滔天的台风和摧枯拉朽的龙卷风接踵而至，以巨大的力量破坏着人们辛勤劳作的成果。从古自今，毁灭性的飓风时常出其不意地光临，人们只能默默承担灾难的后果。

图1 2017年13号强台风“天鸽”在广东珠海登陆时的卫星图像（图片来源：中国气象局）

今天的人们，依然可以享受湖面泛舟、水波微恙的惬意，偶尔也会经历云上翱翔、湍流不息的惊扰。我们生活在一个无时无刻不与风水交融的时代。

风和水里的秘密

风水对古人就是一个无法破解的自然之谜。《六祖坛经》里记载了慧能的故事，以“风动、幡动还是心动”的故事传颂着慧能的禅宗智慧，却无法触及风水的科学本质。直到西方文艺复兴之后，科学的种子已经播下，经过数百年的悉心栽培，人们终于有能力去揭示这大自然中最寻常却也最难捉摸的事物——风与水中隐匿的秘密。

1821年，在法国享有盛名的桥梁工程师纳维（Navier）在教授工程学和应用数学时，开始思考与流体有关的数学。不久之后，他在纸上写下了一个方程。不幸的是，纳维的数学推导很快被发现有缺陷。但是基于工程师的直觉，纳维最后的结论却依然正确。几年后，爱尔兰数学家斯托克斯（Stokes）做出了正确的推导。这个方程，连同它的两个发明人，就被合称为纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程。

图2 纳维（左，1785-1836）和斯托克斯（右，1819-1903）（图片来源：维基百科）

没人了解这个方程的重大意义，直到一百多年后，人们才意识到：这个方程从诞生起，就将开启一个新的时代，从而赋予后世驾驭风和水的力量。

图3 纳维-斯托克斯方程(图片来源：slideplayer.com)

站在巨人的肩膀上

从那时起，风与水都被视为流体的一种形式。纳维和斯托克斯的工作则全面开启了研究流体运动理论的大门，一举进入曾经让古人爱恨交加的风和水的世界。然而，他们的工作并非石破天惊、横空出世，而是深深地植根于此前200年自然科学的光辉成就。

文艺复兴过后，出于制定日历和航海历的需要，欧洲各国皇室加大了对星空的观测。在这股观测星象的热潮下，16世纪和17世纪的科学家热衷于研究行星的运动。为了研究连续运动的物体，数学家必须找到一种方式，把静态的工具用于研究动态的模式。英国科学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz）取得了关键性突破——他们各自独立地发明了微积分，随后开启了人类认识微观和宏观物体的新纪元。

图5 牛顿（左，1643-1727）和莱布尼茨（右，1646-1716 （图片来源：bbc.co.uk）

微积分提供了一种描述和分析运动和变化的方法，牛顿将此类方法结合他的三大定律十分精确地预言了星体运转的规律，特别是为太阳系内行星运动轨道呈椭圆的周期现象，提供了令人信服的证明。牛顿的理论预言和开普勒毕生观测星空的数据相当吻合。从那一刻起，牛顿和开普勒就为天地星辰立法。微积分也因为在星空运动中取得的巨大成功而广为人知。

对于牛顿和莱布尼茨而言，星体的连续运动是孤立和离散的个体的运动。然而，对于流体，不仅它整体运动，而且物质本身也是连续的。这就带来了巨大的困难。为了区分运动的时间无穷小和流体粒子本身的空间无穷小，瑞士数学家伯努利（Bernoulli）经过坚苦卓绝的努力，终于在1738年找到了问题的突破口。他在《流体动力学》中写下的方程奠定了现代航空理论的基础。

随后，大数学家欧拉（Euler）在伯努利的基础上，建立了描述无摩擦力流体运动状况的方程组。也正因为如此，纳维和斯托克斯改进了欧拉的方程组，终于使之能够适用于一般的粘性流体方程。

在纳维和斯托克斯的工作基础上，到了19世纪末，关于流体运动的完整理论呼之欲出。在这一理论丰碑的奠基下，人们终于开始触及流体运动最核心的本质。物理世界的任何分子运动规律被高度统一了起来。从此之后，人们不仅能准确地做出天气预报，还能设计出船舶和飞机，在火箭发射、航空航天、国防军工、石油勘探、水利工程、电气工程，甚至医疗器械等等方面发挥着中流砥柱的作用。

尽管纳维-斯托克斯方程已经被提出来近两百年，但是数学上却一直无法找到它的精确解。目前取得的重大科技突破都源自于计算机的近似模拟计算。因此，破译纳维—斯托克斯方程解的密码将带来对流体运动本身最深刻的认知，从而推动科技文明跨入新的时代。

作者单位：中国科学院数学与系统科学研究院

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