何处不关联？

关 联

落叶雨中垂，轻舟静处离

春秋间隔夏，冷暖错连熙

想是关联入，吟知日月移

与君曾别过，未料又逢时

1. 引子

自从王恩哥老师 1996 年首提“量子材料”这一名词，如笔者这样的似老将老之辈都知晓，这一名词的意义早期一直处于形核前的孕育状态，直到 2010 年前后才稳定成核生长。现在看，凝聚态物理学似乎正在张开双臂欢迎“量子材料”这一新的领域，诸多新的学科拓展与深化都与这一新的领域有关联。也因为如此，笔者有幸谋得一兼职饭碗、以果酸腹，或者说得好听一点是“老骥伏枥、志在这里”。

其实，正如物理人熟知，“量子材料”原本最原始的涵义就是“电子强关联材料”、或者称之为“Mott 物理” / “Mott 材料”。笔者 Ising 曾经用笔到处“走亲访友”，遇到陌生高人，总是趋前仰望、请益求教。对什么是电子关联、或什么是量子材料，笔者曾经写过不严谨的科普文字，如《量子材料遍地生》。看君可 mouse 点击御览一二，以了解大概什么是量子材料、什么是电子关联。

如果您没兴趣或时间去阅读这种低级的科普，Ising 就在此妄言几句对电子关联材料最直观的初级认识。这些认识只具有粗略科普的意义，不适合进行严格的质疑和辩证。最常见的认识来自过渡金属磁性化合物、特别是氧化物中。众所周知，每个过渡金属磁性离子的外层 d 轨道上一般有多余一个的电子。因为多个 d 电子在同一个轨道组中，相距很近，库伦相互作用 U 就比周期晶格中单电子波函数理论中的势能 V 要大很多 (U >> V，大一个量级？)。由此，很容易理解，这种库伦相互作用 U 背后的物理将可能在整个物理中占据重要地位、甚至是核心地位。此 U，即所谓电子或量子关联强度，而 U 背后的物理叫关联物理。

在量子凝聚态这一宽广领域中，过去差不多三十年时间内有若干主角，电子关联材料就占据了其中一隅高地、长盛不衰。诸如铜基 / 铁基高温超导、庞磁电阻 CMR 和重费米子材料，都是强关联材料，都一直在这一高地上扮演主要角色。用所谓“风骚数十年”去形容高温超导、过渡金属氧化物和重费米子系统在凝聚态物理中的作为和表现，不算过分。

当然，讲到风骚，永远不变和永恒的风景反而是“各领风骚数十年”。可能是时间太长了，那些电子关联的风骚在变化和展示上成长稍有乏力；抑或是审美疲劳，量子凝聚态也许需要一些新的方向提振精神。所以，大约二十年前开始，量子凝聚态开始有了一些新动向，好像是在向电子关联物理告知：俺能不能不需要关联、不需要强关联，却依然可以很前沿、很量子？！

现在回头去看那个时代的学术风尚和脉络，还真是如此：各领风骚二十年。

(1)  二维材料：以石墨烯为代表的二维材料及其背后的能带物理，特别是诸如 Dirac 半金属这一类具有应用背景的体系，来到我们的眼前。到如今，二维材料已经覆盖从金属、半导体到绝缘体的宽广领地。早在 2004 年，单层石墨烯被制造出来时，物理人就一直认为简单能带理论足够刻划之。即便是那迷人的 Dirac 锥及其附近的线性色散，现有的能带理论也能够对其进行挺好的描述和预测，并不需要多少电子关联物理的帮衬。何况，这些体系大部分不含 d 轨道元素，引起电子关联的联想并不多见。

(2)  拓扑材料：以那些拓扑绝缘体、外尔半金属、非磁性二维和三维拓扑材料为主体。它们与电子关联物理之间的联系并不密切，最经典的几类拓扑绝缘体都是无磁性的热电类材料。虽然这些体系可能包括重元素，虽然能带计算可能因为原胞较大而复杂一些，但关联效应依然不显著。

客观而言，即便就只是这两大新家族出现，也已经足以预示关联物理的春秋时光似乎要过去了，似乎要代之以低维、拓扑等新生代体系。它们登堂入室、成就事业。这种发展态势当然很正常：自古以来，推陈出新、迭代古今，都同此理。因此，关联物理人并未感到失落和夕阳西下。既然低维和拓扑重要，那大家就去赶海低维、赶场拓扑、亦或进入小一些的诸如自旋-轨道 (SOC) 和能谷物理等时髦领域，也挺好的。

诚然，那些在关联物理领域浸淫多年的人们，其心里并非没有自己的判断与展望。就经典能带理论而言，如果完全没有电子关联，其中甘味并不那么鲜美丰厚。至少，有两味佐料，一料基础、一料应用，似乎不能缺少、不该缺少：

(1) 经典能带理论就在那里，不难由此得出金属、半导体和绝缘体的基本图像。但自然界中的各种物质，虽然都可以归于此类，但每一类之间各成员的表现却大相径庭，以至于每一类别里面的万家灯火和兴衰悲欢能够用经典能带理论描绘的很少。如果用关联物理，就可以绘声绘色讲出很多、甚至极多的新东西。

(2) 文明生活对科技发展和提升的需求，使得这些新的效应和功能潜在应用场景正在变成可能和现实。我们只需要提一下高温超导和自旋电子学，就足够佐证这一说辞，无需多言。

因为这两味佐料，关联物理似乎总是一个不能穷尽的领地。不但不能穷尽，而似乎是越做越多，因此就有了姜太公钓鱼⸺愿者上钩的景象。也就是说，不管是“低维”、还是“拓扑”，抑或是其它非关联体系，虽然它们似乎主观上要另辟他处、开张挂匾、远离关联，但实际上，很可能还是如孙悟空较量西天如来，终究绕不开电子关联这道关口、跑不出电子关联这只大手。到头来，还可能是“为伊消得人憔悴”般地进入关联物理当中。

2. 二维也关联

事实真是如此，不禁令人唏嘘。

首先，指出一点：关联电子大家族中的成员并非都是与生俱来的。仔细度量，就能明白，有很多新成员原本都是风牛马不相及者。经过物理人捯饬一番、打扮一番，它们换了面貌。虽然主体上依然是原来的东西，但内在物理一下子就丰富起来，变得有些面目全非，成为新的潮流。

最典型的例子就是石墨烯和双层石墨烯。这个现在满满地归属于“量子材料”的网红电子关联成员，自从 2004 年被制造出来，就一直被认为不需要关联，一般能带理论就足够刻划之。即便是有那个迷人的 Dirac 锥及其附近的线性色散关系，除了迁移率高和打开一些能隙、折腾一些自旋相关的手性之外，并没有多少电子关联的物理在其中串联。

归功于那些天马行空一般将单原子层石墨烯玩得转的科学人，后来者接过那一片一片形状不规则、“似有还无”的单层石墨烯 (monolayer graphene、石墨烯的原本意涵)，尝试将它们叠加起来。由此，整个石墨烯物理的人都被激发了。

其中，引人注目的便是所谓魔角石墨烯：对两层单层石墨烯，如果将它们叠堆成双层，但堆砌时将两个单层平面相对旋转一个角度，就可能在一些特定转角时 (俗称魔角、magic angle) 形成 Moire 超晶格。其结果是，Moire 超晶格体系在靠近费米面的价带被明显拉平 (即所谓的平带效应 band flattening，当然，费米面附近的导带也可能被拉平)。这一平带化特征使得电子运动的动能 (P) 被削弱，使得原本那一丝丝几可忽略的电子关联 U 被放大，甚至可形成超导电性。随后，有一些结果似乎展示这里的超导电性和库珀对配对可能来自电子关联效应，正如对铜基、铁电高温超导电性所作的猜测那般。一个被艺术化了的图片展示于图 1。

果若如此，魔角石墨烯就名正言顺地成为“量子材料”家族成员。

图 1. 上图：魔角石墨烯中的量子材料物理：磁性、超导和能谷电子学。下图：美国普林斯顿大学发布的新闻稿图片，展示了两层石墨烯叠加形成魔角双层结构。这一工作提供了魔角石墨烯电子关联的谱学证据，文章以“Spectroscopic signatures of many - body correlations in magic - angle twisted bilayer graphene”为题，发布于 Xie et al, Nature 572, 101 (2019) (https://www.nature.com/articles/s41586-019-1422-x)。这一插图，艺术化地插入了一对一对的电子，它们组成库珀对，实现超导电性。

上图：https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/adfm.202002672

下图：https://www.princeton.edu/news/2019/07/31/experiments-explore-mysteries-magic-angle-superconductors

这是一个重要的时期，标志着那些原本远离了电子关联的二维材料，可能重新回到电子关联的大家庭。而“量子材料”人，终于可以顺理成章地将二维材料收归麾下，并且还可能有那么点自鸣得意的感觉：您看，二维唱戏亦关联！^_^

这种魔角制造，当然会吸引物理人趋之若鹜。很快，各种二维材料，不管是不是已经有或者根本就没有电子关联的踪影，现在都可以通过制造魔角 Moire 条纹结构，获得显著的能带平带化效应，从而给电子关联以“山中无老虎，猴子称霸王”的机会。这么说的原因，在笔者最近撰写的一篇同样不严谨的科普文章《平带呼唤电极化》前半部分有所涉及。看君可 mouse 点击御览一二，以了解大概是个什么物理。

这里，需要说明，魔角导致的关联，并非经典意义上 Mott 绝缘体那种在位库伦关联，也不是绝对大小上将 U 值提升到多大。这里，更多地是通过压制电子动能 P 来体现 U 是一只庞然大物。物理说起来并不复杂：也许我们总可以将一个系统的能量派分为动能 P 和势能 V。魔角效应显著破坏了晶格周期结构，导致电子输运局域化，动能 P 被压制、能带平带化。此时，势能 V 就可能凸显出来其优势和主导，特别是在晶格周期结构破坏后，V 中那些非晶格周期的那部分也许就包含了电子库伦作用势能的贡献，虽然其绝对大小可能变化不大。“山中无老虎，猴子称霸王”即是这个意境。因此，这里的“关联”与那些真实的“关联”应该有所不同，虽然目前还不清楚这种不同到底有多大的后果！

当然，那些二维磁性或铁电材料，它们本身就是电子关联材料，魔角制造会进一步强化电子关联的强度。由此，魔角磁性或铁电材料很可能是“非常”关联的材料。不过，考虑到问题十分复杂，在此就不再展开什么是“强”和“弱”了，哎、哎！

3. 拓扑也关联

过去二十年，出现向电子关联物理回归的可不仅仅是二维材料。量子拓扑材料最近也展示了类似趋势，成为本文拿来佐证相关工作的一个不那么恰当的例子。

回顾一番，最开始阶段的那些拓扑绝缘体、外尔半金属、很多二维和三维拓扑材料，它们都是与电子关联物理并不密切的材料，例如就没有包含磁性。经典的几类拓扑绝缘体，都是无磁性的热电类材料，其中电子关联几可忽略。可是，反常量子霍尔效应在薛其坤老师他们手里能生出花来，则是因为掺入了磁性。这是一个信号，昭示关联是拓扑材料不可或缺的物理。现在来看，磁性半导体、半金属、拓扑表面态等，都是应用前景广阔的自旋电子学的功能。因此，磁性拓扑材料，既是物理人的追求，更是根植于自旋电子学和未来物理的可能之所！

凝聚态物理各分支学科中，拓扑物理与材料当前的发展太过兴旺，势头盖过一切，也吸引了很多关联物理人下到拓扑之海，参与开疆破土、一泻千里！这种参与度的回弹，必然对领域本身施加影响，将这一领域向关联物理方向拉扯。最近，量子拓扑研究的确有种回归的苗头，预示量子拓扑材料正在努力回归电子强关联的大家庭。

这同样是一个重要的时刻，标志那些原本与量子材料若即若离的拓扑材料，正在将电子关联作为其长远发展的推手。“量子材料”终于也可以将拓扑材料收归麾下。

正因如此，笔者就妄为一次，将本文题目取为“到处都是关联”。

在拓扑量子材料发展的那些历程中，有几个里程碑其实已经体现了电子关联不可或缺，甚至是强关联不可或缺：

(1) 首先，反常量子霍尔效应的实验验证，乃是在传统非磁性拓扑材料中掺杂磁性离子后实现的。因为磁性，电子关联有不可忽视的作用。不过，此时的磁性掺杂浓度较低，在位电子关联强度可能并不大？

(2) 其次，过去两年，量子拓扑材料的数据库建设，主要是针对非磁性体系而言的。相关介绍可参见科普文章《拓扑量子材料的万水千山》。最近的发展趋势之一，便是直接从磁性化合物中寻找量子拓扑材料，据说收获颇丰，给人以遍地都是磁性拓扑的感觉。因为磁性，这些体系自然也可以归属于关联家族。

(3) 再次，外尔半金属体拓扑态的概念，最早就是在 227 稀土磁性化合物中揭示出来的。这一事实预示，外尔半金属拓扑材料估计也要添加电子关联作为其物理要素。

其实，早在 2014 年，就有一些高瞻远瞩者总结了量子凝聚态物理的一些前沿和高地。图 2 所示即为在电子关联 U 和 SOC 组成的平面地图。其中，图 2(A) 清晰展示出拓扑物理中电子关联 U 的不可或缺性：那些亮色区域，如雪峰高地，矗立在那里，分外醒目。更重要的是，电子关联正在催生出更多新领域，即便最底层 U ~ 0 处的确对应于拓扑绝缘体或半金属。图 2(B) 所示的局部区域，也让我们感受到“叠嶂群峰覆白雪”、“不识庐山真面目”的意义：正在受到关注的量子自旋液体和 Kitaev Materials，的确是一座原先隐藏起来的山峰，而且也是白雪皑皑。

图 2. 凝聚态物理知名学者 Witczak - Krempa 等 (香港大学的陈钢教授也是作者之一) 撰写的综述文章中展示的一幅相图：在电子关联 U 和自旋轨道耦合 SOC 组成的平面地图中蕴含的各种关联和拓扑量子相。这些年活跃的那些研究领域用白色衬度显示，似乎是地图中一座座覆雪高山。这些雪峰，既是拓扑、也是关联，从而给了我们登峰踏雪的兴致和动力。感兴趣的读者，能够读懂地图中“叠嶂群峰覆白雪”和“不识庐山真面目”的意涵。阿门！

图 B：https://www.researchgate.net/publication/312914837_Kitaev_Materials

4. 经典之外

行文至此，我们能够认识到科学发展历程所展现的萦绕回环特征。事实上，针对各种拓扑非平庸物理而开展的、走向电子关联物理的研究工作还只刚刚开始。物理人不仅对其中的各种效应感兴趣，更因为电荷有序、磁性、铁电和应变等固体电子自由度基本关联属性特征的介入，正展现应用潜力。基于笔者是这一领域的门外汉，可能连看热闹都谈不上，姑且将话题在此打住，不做展开。

不过，如果故事总是给那些冲浪在前的物理，则曾经的英雄和历史也会有所不甘。其实，在关联物理大规模研究时期，关联强度 U 也并非是独舞者。世间的事物，也并非都是关联唱主角。如果去看看占据关联物理主体的过渡金属化合物，特别是氧化物，下面的这一段话可能是对那段历程的某种低端概括：

包含有库伦相互作用 U 的那些过渡金属化合物材料，电子关联强度 U 并非常数、并非都很强，个体之间也有很大差别。与轨道区域较为狭窄的 3d 过渡金属化合物、特别是氧化物比较，那些 4d / 5d 体系就有所不同。因为 4d / 5d 轨道比 3d 轨道在空间上要宽扩得多，这些体系的关联强度 (U, 与空间尺度成反比^_^) 就要小很多，大约在 U ~ 1.0 eV，与一般晶格周期势函数 V 差不多。

关联强度 U 的下降，立即就给了很多新的物理喧嚣尘上之机会，例如自旋 - 轨道耦合 SOC、费米面附近的带宽 W、晶体场效应等等。它们能量尺度可能依然比 U 稍小，但已经在量级上不相伯仲。考虑到 (U,  V,  SOC, W) 这一帮兄弟 + 对手各自都有自己的江湖和山峰，鉴于我们的经验，如果赋予 U ~ V ~ SOC ~ W 的关系，它们就会相互内讧、相互倾扎，以角逐谁将成为主导和“盟主”。由此，量子材料的地图上，那还不是要什么物理就有什么物理？！

的确，过去多年，4d / 5d 物理之所以受到凝聚态和功能材料的关注，其原因亦在如此。只是因为 3d 强关联风头太盛，这些关注乃属小众而已。像现任职于科罗拉多大学的曹钢老师等物理人，其实在其中已浸淫多年。4d / 5d 研究的一个成果，大概可以用图 3 所示的物理地图展示。这一地图，在二维和拓扑物理诞生和发展之前就有了很好的模样：同样是在关联 U 和 SOC 组成的平面中，有从 3d、4d、4f  到 5d 的完整元素信息。与此对应的，当然是那些体现强关联物理意志的高温超导、庞磁电阻、Mott 物理、多铁性和轨道物理的新效应和新功能。但到了 4d / 5d 这一块区域，关联不再那么强，其角色和作用已经淡化或弱化。

在笔者绘制图 3 这幅地图时，4d / 5d 体系已经展现了与关联物理“无关”的一些拓扑特征。例如，在这之前，万贤纲等人对稀土磁性氧化物的能带结构开展过细致研究，提出了外尔半金属的概念。这里，关联其实不强，U 大概在 ~ 1.0 eV 之下。再例如，对这些体系的研究，深刻强化了 SOC 的重要性、特别是在拓扑物理中的重要作用，也反过来说明 U 的作用正江河日下。

图 3 所示的地图中，之所以于 5d 附近添加了 Topological matters 一名词，其驱动力即在于此：电子关联效应可能变弱，SOC 作用可能很强。

图 3. 在电子关联 Hubbard U 和自旋 - 轨道耦合 SOC 组成的相空间中表述过渡金属化合物 (主要是氧化物) 物理。在电子关联比较强的区域，高温超导、庞磁电阻 CMR 和 Mott 体系 metal - insulator transition (MIT) 是最常见的物理效应。当 SOC 不断增强、电子关联 U 相对减小，例如走向 4d / 5d 等过渡金属体系或者通过界面耦合，则拓扑态逐渐出现。注意到，这里提到了 4d / 5d 体系，因为其外层 d 电子轨道在空间中更加扩展，使得即便是一个轨道内有多个电子，它们之间的电荷库伦相互作用也相对 3d 体系小一些。反过来，因为轨道扩展和多层轨道，SOC 等会更强。

5. 关联与 SOC 之 trade-off

总而言之，图 2 和图 3 作为体现 U 和 SOC 平面中的全局地图，展示了当前对科学问题的某种“粗暴”凝练：

(1)  纯粹的电子关联效应，即图 2 和图 3 所示的关联 U 坐标附近的物理，虽然未必被完整解构，但也得到了充分的认识。现在的物理人，为此付出的时间和才华已经不是那么多了。

(2)  纯粹的 SOC 效应，即图 2 和图 3 所示的自旋 - 轨道耦合 SOC 坐标附近的物理，在固体中的表现并不那么复杂。经典的拓扑绝缘体已经对此进行了深入的刻画。

(3)  图 2 和图 3 都清晰展示了关联与 SOC 之间的妥协 (trade-off) 关系。这不难理解，因为 SOC 强度与原子序数有很强的正依赖关系，而关联则一般在 3d 体系中最强。因此，如果 U 与 SOC 之间相互竞争、也惺惺相惜，那就会有很多新的物理。而如果一方太强、另一方被掩盖，则所能呈现的物理就只是经典、终归是碧水微澜。

基于以上三点，图2 和图 3 所示的地图中那山山水水，大概都能被领略到。它们也已映入多数凝聚态物理人的脑海里，信手拈来。图 3 那粗大的绿色箭头，展示了 U 与 SOC 两大物理大致意义上的 trade-off。遵从这种 trade-off 是幸福的事情，打破这种 trade-off 是痛苦的事情。物理人的品质一向都是：以遵从之而立身、以打破之而立命！

的确，那些在量子凝聚态领域中跋涉多年的“驴友”们，其实内心深处还是有一丝不安和保留的：这些体系实在是太复杂了！当我们说“江山如此多娇”时，不是说眼前的风景有多么壮美，可能更多的是在说“俱往矣，还看今朝”？！

这似乎就是说：有没有那么一些体系，其 SOC 很大，蕴含了拓扑物理的诸多特征，却也能表现出很强的电子关联 U？！有这样的体系吗？有既是强关联、也是拓扑非平庸的新物理吗？

有的，这里就是一个例子，只要我们不是简单地将 U 等同于 Hubbard 模型和 Mott 物态中的在位库伦作用，只要我们不是将 SOC 简单地归结为元素本身的本征自旋 - 轨道耦合。这里的物理，落脚于那些现象、那些 emergent phenomena，即可获得无尽的释放。

来自荷兰莱梅根(Nijmegen) 的 Radboud University 强磁场实验室的知名学者 Nigel E. Hussey 课题组，联合俄罗斯乌拉尔联合大学、克罗地亚物理研究所、英国爱丁堡大学、德国斯图加特马普研究所、英国布里斯托尔大学、伦敦学院大学 (University College London) 和英国卢瑟福实验室等团队，对著名的 Dirac 半金属 SrIrO₃ 的电子关联行为开展了系统性的量子输运实验表征和能带结构计算。他们的主要结论便是：

这个迷人的 SrIrO₃ 狄拉克半金属体系，其实也是一个强关联的体系！！

相关工作最近以“Evidence for strong electron correlations in a nonsymmorphic Dirac semimetal”为题发表在《npj Quantum Materials》上 (npj Quantum Materials 6, 92 (2021); https://www.nature.com/articles/s41535-021-00396-5)。看君有意，可移步文尾，点击“阅读原文”以御览一二。

插图来自http://ann.phys.sci.osaka-u.ac.jp/english/about.html

备注：

(1) 笔者供职于南京大学物理学院，任职《npj Quantum Materials》执行编辑，“业余时间”指导几位研究生做一点凝聚态物理的研究工作。主要研究兴趣为磁电耦合材料。

(2) 文首处的小诗表达了关联无处不在，也是对电子关联人的敬意。

(3) 封面插图来自日本大阪大学物理系的 Theory of Electrons in Solids Group 网站，表达了量子材料中的 Keyword cloud for Keith Slevin. 图片地址 http://ann.phys.sci.osaka-u.ac.jp/english/about.html

本文转载自《量子材料QuantumMaterials》微信公众号

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