平带呼唤电极化
平带出征
电子关联一万层
惹来平带定衰兴
何须魔角难工巧
极化丝毫胜远征
1. 引子
我们小时候，学好数理化，特别是物理，是我们的理想和追求。其中一个动机是物理很重要、很简洁、很美妙：区区几条公理、几个简单公式、几项基本定律，似乎就能上至天文、下至原子，将万千世界一网打尽。于是乎，我们那几代人中很多都有志于学物理，以理解和拯救无尽苍穹！到了大学，虽然已感受到物理正在越来越复杂和艰难，但还是挡不住杨振宁先生“物理学是美的”、“狄拉克干净到秋水文章不染尘”的鼓动，继续相信“物理是美、是简洁”的信条，甚至于出现诸如 Ising 这般非物理出身却转行来做物理的“异类”。随便在网上浏览，都能找到一些让人激动的意象，如图 1 所示。
当然，比起我们那个时候，现在的年轻人要成熟得多、也深思熟虑得多。在他们脑海里，学学物理也许还行，将来要从事物理职业？那脑海里就有了“艰、难、苦、涩”的标签。
好在，地球人口还行，从之者依然众也，可见其魅力不假！
图 1. 物理学锤炼出来的意象：物理中构造美的元素 (A) 和想象中的物理链条之梦 (B)。一门偌大的科学，竟然能够如此言简意赅，是为独一份。
https://www.quora.com/What-makes-physics-so-beautiful
https://www.physicsforums.com/threads/neil-turoks-all-known-physics-equation.417177/
好吧，物理学到底有什么魅力还能吸引一批批优秀之人浸淫其中？Ising 不可能有什么见解，但网络上有很多真知灼见以解惑其中要义。例如，前几天，微信公众号《返朴》就整理了杨振宁先生于 2008 年在东南大学、2009 年在复旦大学的两次学术演讲，刊发出《物理学的诱惑》一文，影响很大。文首说：“电磁感应、电磁波、宇称不守恒，“诱惑”着一代代物理学家去探索和发现。他们因对物理的好奇心而执着探索，创造了深刻影响世界的伟大发现。法拉第说：物理学工作使弱者陶醉、强者振奋”。
在 Ising 看来，物理学吸引人，可能还是因为它看起来简洁、准确。
首先说简洁。现在的物理学教科书，展示给我们的物理规律简洁、数学化。比之化学键的描述、比之生物学的功能视觉、比之大地构造板块滑移，物理学表述更直接、简洁。像麦克斯韦方程组、狭义相对论，哪怕是再复杂一些的薛定谔方程，都直观清晰。很显然，自然科学没有比物理学更简单、明晰的科学理论了。
其次是准确。且不说万有引力和牛顿力学经常是不差分毫，就是广义相对论这复杂理论描述的引力红移，就像量子力学这天书一般的理论给出的氢原子轨道半径，那都是小数点后很多位与实验测量吻合无缝的范例。即便是大统一理论那样复杂到不能再复杂的理论体系，给出的定量计算都很准确。这样的理论，其吸引力几乎是无与伦比的！
以上，都是物理学留给我们的光辉印记，从而吸引很多物理人前赴后继。图 2 用一种简洁、对称、意象上近似的几何视觉呈现这种光辉印记，无需更多解释和说明。
图 2. 物理学留给我们的光辉印记，每一个印记都是无与伦比的。
https://www.facebook.com/AstrophysicsAwesome/photos/a.1427327690853369/2564310667155060/
2. 简洁之问
事实上，在物理学世界里生活多年的我们知道：
(1) 物理的确很难，那些新生代的高中生和他们的家长们没有误解和搞错！所以，他们开始逃离，在很多地方教育管理部门的默许中。
(2) 大多数自然现象，不，绝大多数，并不能由简洁或准确的物理规律来描述。那些纯净的逻辑、简洁的符号、对称的图像，正在成为物理人历史的记忆。
(3) 现代物理学，似乎已放弃了对简洁、精确描绘所观测世界的不懈追求。对一个效应，大凡能够描述个大概就很好了。如果偶尔碰到一个效应，能很精确地描述，那就自豪得一塌糊涂，说不定有机会飞去斯德哥尔摩。如果再偶尔一回，得出一个简洁又准确的理论来，还能改善我们的生活或认识，那就更了不得！
举个例子：据说，物理人公认的、最复杂、最难的物理现象，是图 3 所示的流体湍流。预测这一时空行为让诸多物理人陷入悲伤，而那个包含有五项势能的斯托克斯方程据说难倒了几乎所有物理人！
图 3. 被认为是物理学最复杂的方程和最难描述的效应：湍流！
https://www.quantamagazine.org/what-makes-the-hardest-equations-in-physics-so-difficult-20180116/
明白后面这两点和图 3 的意象，对我们这些一般的、平凡的物理人而言，放下“一览众山小”的自负和“只求简洁精确”的执念，就显得弥足珍贵。我们可以将更多精力和资源放去解决实际问题、追求实际效益，从而更多地为社会服务、为黎民造福。
但是，物理研究在大模样上，似乎并不该丢掉那“简洁和美”的灵魂！虽然所观测的效应和现象越来越复杂，我们不得不放弃精确，但物理赖以生存的高贵品质不就是“简洁与美”么？我们能不能不将我们的会议报告搞得那么复杂丰满？能不能不将我们的故事讲得那么小众？能不能不将我们的图表画得那么挤着一团而云里雾中？
如果都不能，那物理学就成了一门工程学？要知道，人家那些工程学也还提倡简洁和直观的物理图像呢！也就是说，物理研究做不到精确，但至少应该做到简洁和谐。这不是严格的论证结论，而是秉承学科性格的一种执念！
Ising 自己和平常合作者们的学问做得不怎么样，做出的结果也不重要、不新奇，但我很羡慕那种简洁地展示一项工作的 style，就像看图 4 所示的“量子材料”风景一般。秉持“简洁与美”的理念，我们来看一个最近的有关“量子材料”的故事。阿门！
图 4. 这是应用量子材料公司的广告图片，展示了量子材料中关联物理演生的千面观，虽然复杂但显示了简洁明快的美观和色彩。
https://ve.linkedin.com/company/applied-quantum-materials-inc
图 5. 量子材料中关联物理面面观。
D. N. Basov, R. D. Averitt, and D. Hsieh, Towards properties on demand in quantum materials, Nature Materials 16, 1077 – 1088 (2017); https://www.nature.com/articles/nmat5017
3. 关联之难
物理学中从者最多的是凝聚态物理，凝聚态物理中从者最多的是关联物理 (只要是稍强一些的量子关联都统计在内)，对此看君大概没有什么异议。从之者众，一方面在于凝聚态物理接地气，与我们的生活密切相关，工作需求大。另一方面，从之者众也是因为关联物理的复杂性、广泛性，牵扯最多的研究个体于其中。
所谓关联物理，所关注的凝聚态物质或材料现在也称之为“量子材料”。微信公众号《量子材料QuantumMaterials》刊发过好几篇文章来科普什么是关联物理和量子材料，如《量子材料遍地生》一文，对此细节感兴趣的读者可前去御览一二。对关联物理进行严谨精确讨论，需要很大篇幅与主题拓展，在这里不合适。但，在牺牲了严谨与精确之后，简洁而直观的描述，也并非就不可能。例如，哥伦比亚大学的 Basov 他们，就将关联物理及当前使用的先进制备表征技术浓缩到图 5 所示的简洁表达之中。实话说，与图 2 比较，这里的图像已经有些复杂了、甚至太复杂了。但这种总结与归纳，是对复杂性进行简洁与美的抽象后之体现，也是功力之所及！
所谓关联，是相对固体能带理论中单电子近似而言，简略显示于图 6 中。对一个周期晶体结构，假定离子实之外不存在电子 - 电子间库伦作用，则电子的运动方程就包括一个电子动能项 T 和一个周期势能项 V0。特别注意，这里的所谓“动能 T”，并非真正意义上薛定谔方程中的动能算符项，只是粗略对应固体中电子在格点之间迁移的运动能力！求解方程，得到电子在周期性势能 V0 中的运动行为，成就布洛赫定理。推而广之，可从能带结构特征定义金属、绝缘体和介于其中的半导体。这些是固体物理基本知识，在此不再啰嗦。
以此为参考体系，考虑复杂一点的情况：对原来周期性的势函数 V0 施加扰动，破坏其空间周期性。熟悉薛定谔方程的读者马上就明白两个后果：其一，物理上，薛定谔方程求解变得困难，布洛赫定理的那个周期性条件不再满足。原来基于周期势能的、单电子近似的色散关系和能带结构需要再检讨考虑。其二，后果上，电子作为波的运动在非周期势结构中就变得不那么 harmonic、散射变大，描绘电子动能 T 大小的能带带宽 w 明显压缩，称为电子局域化！
图 6. 固体能带论的粗略表述。(A) 单个电子在周期平移的离子实点阵中输运。(B) 势能 V 的空间形态 (这里画成周期结构)。(C) 薛定谔方程的简单表达，如果假定 U = 0，则为经典能带理论的框架。如果施加扰动，例如叠加关联能 U，得到新的势能函数 V = V0 + U，这势函数 V 未必就具有空间平移周期性，电子局域化不可避免。(D) 布里渊区中能带结构示意图，其中一条能带带宽用红色区域标识，带宽为动能 T 或用字母w 表示。特别注意，这里的所谓动能 T，并非真正意义上薛定谔方程中的动能算符项，只是粗略对应固体中电子在格点之间迁移的运动能力！
https://sites.google.com/site/puenggphysics/home/unit-5/kronig-penny-model
实际物理系统中，该如何对这种周期势函数进行干扰呢？最直接、简单的方法有两种：
(1) 破坏离子实晶格平移对称性，例如形成非周期甚至是无序离子实点阵。此时，势能不再是 V0，姑且用 V 表示。它不再具有平移周期性，安德森大人提出的无序导致电子局域化 (安德森局域化) 就成为一个选项，虽然未必是唯一选项。
(2) 保持离子实晶格周期性，但离子实外电子轨道上不再只有一个电子，而是多个电子。说得更粗鲁一些就是离子实外面有聚集的负电荷！此时，原来的晶格平移周期性似乎依然满足，但局域电子受到近邻电子的库伦作用 U，实际上破坏了原来晶格势能 V 的周期性，电子运动也会局域化。粗糙地说，这种库伦作用归属电子关联，关联不能忽略的体系就叫量子材料。
从物理图像角度理解，电子输运可以大约示意如图 6 和图 7。这两种情况，求解电子波函数时，势能函数 V 都可以表示为具有平移周期性的势能函数 V0 与电子库伦能 U 之和：V = V0+ U。
回去看薛定谔方程，具有非周期甚至无序分布的 V = V0 + U，就成为严格求解方程的噩梦。物理人都说关联难，现在就有点“难”的感觉了。不仅如此，还有更多“难”：
首先，V = V0 + U 没有了平移周期性，对电子结构和能带的处理就得借用近似，那个纵横天下的第一性原理计算就是这种近似的产物，其中库伦能 U 的选取还有一定的随意性。物理学什么时候能够容忍随意性了？是可忍熟不可忍吧！
其次，固体中电子这个量子还有更复杂的性质，包括电荷、自旋和轨道三个自由度。它们分别与离子实晶格有作用，各自又与近邻的三个自由度有作用。当出现这么多自由度时，物理人基本上就会放弃去具体处理每一个自由度的努力，代之以平均场、准粒子、微扰等手法加以简化，使得物理回到简洁和美的特征上来。
再次，关联的程度也强弱有别，对应的物理也有很大不同。初步划分，当 U << V0 时，系统属于弱关联。当 U ~ V0 时，体系属于强关联。如果要给一个大概的能量尺度，强关联量子材料的 U 可达到 ~ 10.0 eV，使得 U 成为主导物理的角色和核心之一。当然，关联强弱也看 U 与体系动能 T 或带宽 w 的比较，但大意依然如此。此时，就更不要说解析薛定谔方程了，能带结构的数值计算也变得颇为艰难、缺乏准确性。
既然如此，又为何物理人对研究关联物理和量子材料无怨无悔？其实也简单：因为单电子在周期势中运动的问题已显得太过平庸，严格而言这种理想化体系也不多见。实际应用所遇到的、让我们感兴趣的对象基本都是量子材料，其中关联无非强弱有别而已。更进一步，量子材料中的关联物理蕴含取之不尽、用之不竭的新现象和新效应。
图 7. 无序或者关联导致能带结构的变化。(a) 理想周期晶格中单电子波函数的形态；(b) 具有无序 (晶格无序或电子关联) 的体系中电子波函数的形态，形成电子局域化。
https://doi.org/10.1080/10408436.2012.719131
4. 关联之泛
为了佐证 Ising 并非胡言乱语，这一节举一些量子材料的类别，以显示其疆域之广博无垠。这里的列举很简略，稍微详细一些的描述可见诸《量子材料遍地生》一文。
(1) 磁性体系：磁性离子的 d、f 轨道有价电子占据，所有磁性材料自然归属量子材料。这个类别实在是太广博了，囊括所有金属、合金和其它 d / f 电子化合物 (氧化物、卤化物、其它化合物等等)。
(2) 高温超导：无论是铜基、铁基，还是最近的镍基非常规超导体，都含过渡金属及自旋作用，关联于其中的重要作用耳熟能详。
(3) 二维体系：电子在二维体系中输运比三维体系更受约束，动能项 T 较小，周期势能 V 与维度关系不大。因此，比较三维体系，二维体系等价于关联更强的体系，归属量子材料合理。
(4) 拓扑体系：无论是拓扑绝缘体或体态拓扑体系，考虑到量子霍尔效应和自旋电子学应用，能带特征也具有关联特征。
(5) 铁电体系：铁电态对应晶格横声学模波长趋于无穷大，有效晶格质量很大，等效于声子模关联，因此铁电材料归属量子材料并非牵强附会，多铁性归属更无异议。
(6) 先进能源材料：热电、催化、光伏、电池、发光材料等，许多先进的功能特性都与电子关联密不可分。
具有关联特征的量子材料到处都是。如上列举的几类，每一类都可另行作文多篇，以阐述“关联”在其中的角色、行为和导致的后果。显然，“关联物理”或“量子材料”家族已太过庞大，它们汹涌而来的一个负面作用就是让我们有些不知所措。原本我们还能从能带理论和库伦相互作用的概念中明白些许什么是关联，但这里所涉及的体系一广博，我们就迷失在“关联”到底在哪里的疑问之中。如此起落反复，皆是因为体系太多、效应太丰，让物理人眼花缭乱，反而丢失了对原本“简洁”的物理特征有所把握！
好吧，那“关联”最简明直观的图像是什么呢？对学过能带理论的我们来说，其实关联就是能带结构中的带宽 (bandwidth, w ) 小，即“平带”特征，具体而言就是费米面附近的能带是“平带”！
5. 平带之简
学习固体物理时，总是会反复在波矢空间看能带结构，如图 6(D) 所示。看多了，最简单、初步、也最粗暴的认识就是：布里渊区中，那些能带所占据的能量范围大约就是势能函数 V 的幅值。而布里渊区中，一条能带的起伏幅度，也就是带宽 w，大致表示这一条带对应的电子动能 T 之幅值。一条能带带宽窄、形状平，则电子巡游能力差。因此，能带带宽衡量电子巡游运动能力，越平带、电子就越局域。
从能带结构上，平带就是关联的体现，能带越平、关联越强，体系就越“量子材料”。当然，平带并不就一定等价于库伦作用能 U 很大。考虑一量子材料，其能量简单写为 H = T + V = T + (V0 + U)，如图 6(C) 所示。对这一材料，有两条技术上可控的途径去实现平带：
(1) 在材料结构上进行设计，使得 T 显著减弱，例如 T → 0。如此，与 T 比较，V 就显得很大。这样一来，体系的能带可以看起来很平。
(2) 通过某种方案，调控库伦作用 U，使得 U >> T。如此，也能获得很平的能带。
凝聚态物理人，在过去数十年甚至更长时间，一直都在围绕这两条途径开展工作，寻找各种关联度不同的量子材料，从而将关联物理从弱到强过筛一遍，以求发现更多新的现象。例如，3d 过渡金属氧化物的 U 很强，而 5d 体系 U 则较弱，4d 体系居于中间。即便是这样的认识，已经给凝聚态物理带来了一波又一波的热潮，丰富其内涵、拓展其外延。
遗憾的是，这些研究工作显得有些费力、费时、费钱、更费脑细胞。这每一个体系，一旦组成和结构落定，其 T、V0 和 U 就确定了。而要在 (T, V0, U) 这三维坐标空间中实现各点历经，类似于统计物理中的遍历性 (ergodicity)，那估计要花费无数金钱和才智，并等到猴年马月，才能获取一个较为完整的 (T, V0, U) 三维空间图像！而且，目前得失相若的经验教训告诉我们，要在自然存在的各种三维量子材料中找到关联 U 很大而 T 很小的体系，难！其中道理显而易见。
从这个意义上，如能固定一个体系，只需要通过人工调控、加工手段，调控 (T, V0, U) 空间之位置，哪怕这个调控只能局限于一个很小的区域，那也是革命性的技术进步。
天公作美，这样的体系还真的横空出世，那就是双层石墨烯！由此，引出了一个可人工调控关联强弱的研究新领域。
图 8. 双层石墨烯莫尔超晶格 (moire pattern)。
https://everettyou.github.io/2018/05/21/Moire.html
https://zhuanlan.zhihu.com/p/361463871
6. 莫尔超晶格
自 2004 年开始的石墨烯研究，可能是迄今为止人类针对一种材料付出最多的研究，产生了无数结果。其中一项了不起的成就，应该就是对单层石墨烯一层一层精确堆砌操控的技术。考虑到石墨烯及其它二维材料层与层之间是很弱的范德瓦尔力成键，这种操控技术的确很值得称赞，虽然未必到了神奇而不可思议的地步。
问题是，就是有那么一些人，能够将石墨烯玩出新的花样：据说是 MIT 的一帮人，包括一个来自中国的帅小子曹原，尝试将两层石墨烯堆砌起来。不过，这种堆砌不是一般的复制型堆砌，而是上下两层相对旋转一个角度。对双层六角平面点阵进行平面相对转动，会形成所谓的莫尔条纹 (也有称呼摩尔条纹，或 moire pattern)。这个转角叫莫尔角 (moire-angle or twist-angle, θ)，对应的材料不妨称为莫尔超晶格。从几何学角度，这不算什么新鲜事，数学对此有一些研究。但材料制备上能够手工做出来莫尔超晶格，很了不起！如图 8 所示即为一双层石墨烯在很小的莫尔角情况下形成的莫尔超晶格 (moire pattern)。
物理上，石墨烯本身就是碳原子组成的平面六角排列点阵，碳本身也没有磁性，因此石墨烯看起来跟关联物理好像扯不上关系。石墨烯具有 Dirac 半金属的能带结构，Dirac 点附近的电子动能 T 可以很大、迁移率很高。由此，看起来出现了 T >> V 的情形，的确没关联物理什么事。
不过，Dirac 态本来就有丰富的物理，引起物理人广泛兴趣。双层石墨烯两个单层相对转动后，原本的六角晶格对称性被破坏，形成了超周期的莫尔超晶格。在莫尔角 θ 很小的情况下，莫尔超晶格的周期可以数十倍乃至数百倍于原本的六角晶格周期，从而对电子运动形成巨大压制：动能 T 会随着莫尔晶格周期增大而不断减弱，及至几近消失。图 9 所示乃石墨烯莫尔超晶格物理之简洁表示，详见图题。
这种情况对应什么呢？很直观，一旦形成莫尔超晶格，或许在 Dirac 点处就有可能断开、形成能隙 (或许不会断开)，靠近费米面处的能带带宽缩小、能带变平，即是平带！也就是说，莫尔超晶格实际上使得本来没有关联物理的石墨烯变成很关联，且关联强度随莫尔角变化而变化。因此，莫尔超晶格就是量子材料，而这个莫尔角又可以先被 MIT 那帮人、后被无数后来者随意人工调整！
我们看到了，终于有了一个固定的量子材料体系，其中的关联强弱可以人工调控！正因为如此，莫尔超晶格就成为物理人疯狂追逐的领域，从石墨烯到其它二维材料、从自然二维材料到人工二维材料，不一而足！
图 9. 双层石墨烯旋转不同莫尔角情况下的莫尔超晶格物理。(A) 双层石墨烯旋转形成的莫尔超晶格 (moire pattern)；(B) 莫尔角 (twist angle) 为 θ 时对应的布里渊空间结构；(C) 莫尔超晶格周期 (moire periodicity) 与莫尔角 (twist angle) 的倒易依赖关系；(D) 费米面附近形成的平带 (红色，其带宽很小，使得能带看起来像一条水平线)；(E) 双层石墨烯莫尔超晶格可以展现迷人的超导电性。
https://www.alexkruchkov.com/single-post/2020/06/15/researchers-solve-magic-angle-mystery
不过，兴奋之余，物理人也慢慢冷静下来，开始审视这些个莫尔超晶格存在的问题：
(1) 莫尔角 θ 太小。目前所研究二维体系，为得到足够平的平带，例如带宽减小到 10 meV 以下，所需要的莫尔超晶格周期必须足够大，也就是莫尔角 θ 足够小。多小呢？θ ~ 1o 甚至更小。技术上，要堆砌出来这么小莫尔角的材料，是个难活。
(2) 准确度控制技术难。在莫尔角很小时，莫尔超晶格周期 λ ~ 1 / θ，技术上如果引起莫尔角误差 Δθ，则莫尔超晶格的周期误差 Δλ ~ Δθ / θ。因为 θ 很小，制备出来的超晶格结构误差自然很大。降低误差是技术上的巨大挑战。
(3) 尺寸效应。实际应用的电子集成器件终究是要趋于 nm 尺寸，如此大的莫尔超晶格也不是一个好的应用目标。如果周期 λ 能够减小到 10 nm 及更小，则计算和实验揭示这些二维体系的关联已经很弱，不足以实现平带。
OK，那有没有什么办法能够在很大莫尔角情况下也能实现很强关联和很平能带？
图 10. 二维铁电材料 In2Se3 的晶体结构及物理。(a) 单层铁电 α - In2Se3 和对应的单层顺电 β - In2Se3 的晶体结构，其中 SP (symmetry position) 表示对称线、AP (asymmetry position) 表示非对称线。(b) & (d) 两层 α - In2Se3 组成两种反铁电双层结构 AFE – 1 – α 和 AFE – 2 – α，它们的稳定结构是电极化 Pop 尾对尾排列和头对头排列。很显然，它们在层间引入负的束缚电荷和正的束缚电荷，相当于增强 on – site 库伦作用能和削弱 on – site 库伦作用能。(c) 两层顺电 β - In2Se3 堆砌成双层顺电相 PE - β。这些双层体系的原子结构显示出清晰的局域电极化，其中 In3+ 和 Se2- 为稳定离子价态。
7. 呼唤电极化
问题已经提出，踌躇之下，似乎铁电物理人的机会来了！
这几年，在二维材料勃发的大潮中，也有一点点铁电的浪花。关注这一问题背后的动机原本与铁电尺寸效应这一铁电物理的重要科学问题有关。按照传统认识，二维材料不大可能有铁电性，因为铁电长程序难以稳定存在，特别是垂直方向的铁电极化不应该存在。但事实胜于雄辩，过去几年陆续在一些单层和双层二维材料中看到了铁电性。好几种很有应用潜力的二维铁电体被观测到。其中之一便是单层 α - In2Se3，被证明存在面外方向的铁电极化，如图 10(a) 所示。
后来，细致的一些计算与实验工作表明，双层 α - In2Se3 就是个层间反铁电，即上下两层存在相对而居的面外电极化，极化或头对头、或尾对尾。嗯嗯，注意到，电极化总是携带局域化的束缚电荷，这种层间反铁电，实际上就是在两层之间引入正的束缚电荷聚集 (头对头极化) 或者负的束缚电荷聚集 (尾对尾极化)，如图 10(b) 和 10(d) 所示。
注意了，这尾对尾电极化排列，在层间引入束缚负电荷，即局域化的电子，那自然就等价于引入了额外的库伦势能 U，即引入了强关联。电极化引入了强关联 U，自然使得体系能带平带化。若此，是不是在制造莫尔超晶格时，就不需要那么小的莫尔角了？是不是所面临的莫尔角太小的技术和工艺问题就迎刃而解了？。
行文至此，本文标题兜售的“平带呼唤电极化”的噱头已经很清晰明了。从物理的简洁性而言，这算是得来全不费工夫，整个物理内涵极其简单和通俗易懂。从学科拓展角度，原来铁电物理这个羞涩地流连于关联物理边缘的东西，似乎偶尔也在这个关联物理的主题上展示出独特而简洁的物理图像？
图 11. 双层 α - In2Se3 的相对旋转形成的莫尔超晶格 (上图) 及其动画 (下图)。
接下来，即是一些具体的计算工作，展示层间反铁电的双层 α - In2Se3 的确可以显著调控体系关联，特定情况下在莫尔角为 θ = 13.17o 时依然能够得到很好的平带，费米面之下第一级低能能带的带宽只有 w = 2.66 meV！
我们将主要结果 highlight 如下：
(1) 单层 In2Se3 有两种典型的结构：低对称的铁电结构 α 相和高对称的顺电结构 β 相，如图 10(a) 所示。
(2) 两层 α 相单层堆砌成 α 相双层体系后，就形成双层反铁电 α – 1 相和 α – 2 相，这两种反铁电相的差别在于双层堆砌时所选择的对称中心不同。双层反铁电 α – 1 相倾向于层间尾对尾的电极化排列，而双层反铁电 α – 2 相倾向于层间头对头的电极化排列，如图 10(b) 和 10(d) 所示。两层单层顺电结构 β 相堆砌形成的双层结构依然只有一个对称中心，形成双层顺电 β 相，如图 10(c) 所示。
(3) 对双层反铁电 α – 1 相和 α – 2 相，两层相对旋转的转轴也有两种：一种对应的莫尔超晶格归属极性点群，一种对应的莫尔超晶格则具有非极性点群。对应的莫尔超晶格如图 11 的动画所示。
(4) 点群的极性非极性差别对关联物理的影响并不是很突出，两者都可以展示很强的关联特征：平带化！图 12 所示为带宽平带化的主要结果，图题有详细说明。可以看到，即便是莫尔角大到 θ > 10o，平带化效应依然十分显著。
图 12. 几类双层 In2Se3 莫尔超晶格对应的能带结构。
(a) ~ (b)：电极化尾对尾排列反铁电 α - In2Se3 莫尔超晶格的能带结构，(a) θ = 0，(b) θ = 13.17o。旋转13.17o 使得带宽 w 由 200 meV 被平带化为 2.66 meV，带宽压缩近 100 倍，压缩效果显著。这是 (莫尔超晶格本身平带化) 与 (尾对尾电极化引入局域关联) 的叠加效果。
(c) ~ (d)：无极化顺电 β - In2Se3 莫尔超晶格的能带结构：(c) θ = 0，(d) θ = 13.17o。旋转 13.17o 使得带宽 w 由 380 meV 被平带化为 33.65 meV，带宽压缩近 10 倍，压缩效果一般。这是莫尔超晶格本身平带化的结果，没有电极化引入的关联效应。
(e) ~ (f)：电极化头对头排列反铁电 α - In2Se3 莫尔超晶格的能带结构：(a) θ = 0，(b) θ = 13.17o。旋转 13.17o 使得带宽 w 由 450 meV 被平带化为 98.88 meV，带宽压缩近 4.5 倍，压缩效果已经很小了。这是 (莫尔超晶格本身平带化) 与 (头对头电极化削弱局域关联) 的相消效果。
8. 待续的话
在终结本文之前，最后将铁电极化引入关联、导致平带的结果总结展示在图 13 中，其效果一目了然、其物理简洁清晰。图 13(A) 展示了电极化增强的局域电荷密度分布，而图 13(B) 则比较了几种典型二维材料的莫尔超晶格平带化效果：铁电极化引入的平带化效果显著！
这一工作的物理思路和图像简单、直接，无需复杂的推理和分析。虽然这样的结果不代表本身有多大科学意义，但对于关联和量子材料这样复杂的凝聚态系统，其中的简洁与直观还是令人惊奇的。当然，具体的研究本身依然比较繁琐，牵涉到一些具体的结构和对称性问题。感兴趣的读者可移步论文原文：C. F. Li et al, Extremely flat band in antiferroelectric bilayer α-In2Se3 with large twist - angle, New Journal of Physics 23, 083019 (2021) [https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/ac17b9]。也可以点击文尾的“阅读原文”免费下载原文。
图 13. 电极化引入局域束缚电荷，增强关联，显著强化平带化效果的展示。(A) 双层 α - In2Se3 的层间电荷分布。与顺电相比较，局域电荷显著集中在双层界面附近，显示出电极化尾对尾排列的效果。(B) 选择几种典型的双层二维莫尔超晶格材料，展示其能带带宽 w 与莫尔角 θ 之间的依赖关系。可以看到，要使得带宽 w 小于 10 meV，双层石墨烯 (graphene)、黑磷 (black phosphorus)、氮化硼 (boron nitride) 的莫尔角 θ < 2o 是必要条件，而双层 α - In2Se3 的莫尔角 θ > 13o ，带宽依然很小。
在此基础上，还可以对这一物理的可能后果作一些展望：
(1) 这样的简单物理，实验上能不能实现还是一个问号，需要那些心灵手巧的二维材料研究者出手。我们相信，这样的实验工作是值得的。由于莫尔角可以达到十几度，人工调控关联的实验在这里的难度显著降低了。
(2) 关联不同所蕴含的物理，在这一铁电体系中付诸实验，是创新的课题。凝聚态物理中，铁电物理是小众，或者有点像个体户。如果能够将铁电与超导、铁电与拓扑、铁电与半导体和强关联输运等联系起来，将是令人期待的。
(3) 这样的模式，将促使物理人去探索如何铁电化更多二维材料，从而拓宽铁电极化调控关联的可能性。
(4) 铁电翻转的影响：本文关注的是反铁电的双层 α - In2Se3，施加电场可将反铁电翻转为铁电态。若此，电极化的效应就将消失，因此电场翻转极化实际上是一种“带宽”的“开关”效应。实际上，反铁电的电场翻转存在三个状态：零场下的反铁电、电极化翻转 90°的状态、全铁电态。这也意味着多态电场调控能带的带宽就成为可能。与此关联，所有与能带平带化相联系的物理效应，都可以借助电极化翻转而开关！
(5) 。。。。。。我相信还可以列举很多。但文章太长了，需要收住脚步！
谢谢御览！
备注：
(1) 笔者供职于南京大学物理学院，任职《npj Quantum Materials》执行编辑，“业余时间”指导几位研究生做一点凝聚态物理的研究工作。主要研究兴趣为磁电耦合材料。
(2) 本文绘图部分得到文章第一作者李川福同学的协助！感谢黄枭坤博士仔细审阅文稿和协助修订。
(3) 文首处的小诗表达了对固体中平带物理的期待和追求。
(4) 封面插图表达了三层石墨烯堆砌出来的莫尔条纹超晶格，显示双层之外要到三层和更多层的莫尔条纹材料了。图片来自 https://www.unibas.ch/en/News-Events/News/Uni-Research/Super-superlattices---The-moir--patterns-of-three-layers-change-the-electronic-properties-of-graphene.html。
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