数理世界的景行之旅——读曹老师《云端脚下》有感 | 周末读书
我是怀着十分好奇又崇敬的心情来读这本书的。
初次看到这个书名，心里泛起好奇的涟漪：从自以为很简单的一元二次方程到知之甚少的规范场论，这其中该是一条怎样的道路？如果透过本书可以学懂规范场论，岂不是收获甚大？在这样强大的驱动力下，我认真又艰难地读完了这本书，虽然很多地方没有懂。至少当我再看一元二次方程时，不敢再有丝毫的不以为然。从未读过像这样“垂直”的书，从脚下直到云端，气贯长虹，回过头来却发现原来这通往云端之路的根基就隐藏在脚下。
读书的过程是对以前所学数学知识重新审视、融合和升华的过程。沿着曹老师的目光，我们可以领略数学家们在求解代数方程过程中所闪耀的智慧光芒，可以清晰地目睹他们不得已从整数到有理数、实数、复数这个数系拓展的脉络，还可以深切感受大数学家看问题的角度和层次。在求解一元四次方程的过程中, 拉格朗日认识到方程的可解性取决于方程根的置换性质，“将解方程转变为关注方程根表达式的结构”，问题的着眼点和思考的层次更深入。这为后来数学天才伽罗华论证五次多项式方程何时有根式解的问题以及伽罗华理论的诞生奠定了基础。想来思想是一脉相承的，如果没有读懂先贤的著作思想，天才也很难凭空创造新的理论吧。
这本书里，曹老师让我们见识真正学问的同时，还不遗余力地教我们做学问的朴素道理。“这些扩展会把人们带到更高的层次上去审视原始的问题，会发现原来看似简单的问题，只有在更高的层面上才能看出它的微妙来”，“在更高的层面上，你才能享受理解复杂的快乐”。正因为如此，曹老师主张应该从难处学习，“站在更高处，可以一览群山清楚”，“学问的深浅，取决于学习者自身境界的深浅”。这些话语让人耳目一新，细细思量才能体会其中蕴含的道理。“对于任何一样学问，如果我们觉得简单，那一定是因为知道的少”。对于乘法的交换律这个我们深以为然的运算规则，它的存在也只有在“失去的时候才意识到”。哈密顿在研究四元数的时候选择放弃乘法的交换律，这需要“见识和勇气”，而四元数的引入“具有革命性的意义”。
书中在解一元三次方程的时候介绍了数学家迫不得已、不得不引入虚数的艰难的心理过程，称其为“压着牛头喝水的过程”，这其实是再自然不过的心理啊！（是不是曹老师说的？）我喜欢了解这样的历程，置身其中，跟随这些伟大数学家们的步伐去见识更广阔的天地，亲身体会柳暗花明的喜悦。相比课堂上轻易引入虚数的教法，这样的历程描述很有必要而且很重要。经历过这个艰辛的过程，一切都明朗起来，是那么地自然而然、水到渠成。如果对虚数有了这份知根知底的底气，那么面对由它带来“人类智识史上波澜壮阔的一幕”自然不会心生畏惧，而是亲切许多。书中提及数学物理教授薛定谔坚持使用的是
学物理亦是如此。学习杰出物理学家如何构建物理的过程、他们是怎样思考的，让我们不仅可以看清一个概念或领域发展的来龙去脉，还可以学着如何做学问。可惜我们的受教育过程中往往遗漏了这些，曹老师的书可以弥补这方面的缺憾。比如书中一再强调“薛定谔方程就是复系数的热传导方程”量子力学在薛定谔眼里“没有任何神奇的地方”。明白了这些，初学量子力学的时候便不会望而却步吧。通过认识四元数，知晓了三维世界的矢量其实是四元数的虚部，矢量的点乘和叉乘分别对应两个四元数乘积的实部和虚部，而“矢量分析是对严谨的四元数代数的实用主义裁剪”。这下算是明白当初电动力学学得不甚了了的原因了。用四元数描述三维空间的转动只是其威力展现的开始。关于群论和规范场论，我没有学懂，在此不敢发表评论。回想之前学习物理的过程，很多重要概念的引入多少显得生硬、突兀，甚至让人难以接受。因而愈发显得所学知识零散，内在联系性不强，难以建立完整的框架和体系。这样，对于问题的理解往往停留在比较浅的层次，难以深入，更遑论去拓展人类已有的认知边界，创立新的知识。书中还讲到“如维格纳所言，数学在物理中具有不可理喻的合理性”，难怪外尔这样厉害的数学家可以轻易站在物理学最前沿创建新的物理。很羡慕那些数学功底好的人，物理学起来也会容易许多吧。
最喜欢读“多余的话”，这是曹老师真诚地跟我们分享他多年读书过程中的感悟，从中可以看出他追求真正学问的赤子之心，想要指引少年学子见识浩瀚如大海的学问以及“每一门学问后的艰辛”的拳拳之心。有的感慨引发共鸣，有的俏皮令人莞尔，有的点评使人汗颜，感觉分明是在说自己。
学物理多年，发现我仍处于物理的门槛之外，愧疚之情溢于言表。籍由曹老师的目光才得以窥见物理学美妙之一二。在此，借用司马迁在《孔子世家》所写：“《诗》有之：‘高山仰止，景行行止。’虽不能至，然心向往之。”来表达我对这些人类精英—天才物理学家们的敬仰之情。希望有一天，我也能够“学会之、欣赏之”。
王文慧
西安交通大学物理学院
2021年12月7日
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