初中数学｜当角平分线与平行线相遇时......

今天带来的考点突破是对角平分线+平行线模型进行再次梳理与理解，面对不同的题目特征，应该如何去更好地思考，快来一起看看吧

本次专题主要针对初二年级，初一的小学霸们如果有兴趣的话，也可以一起来试试吧~

有一个男孩叫小角（角平分线），他对于住在他隔壁的小平（平行线）倾慕已久， 39 33033 39 12959 0 0 6661 0 0:00:04 0:00:01 0:00:03 6659最近都在想尽办法接近小平。忽然有一天，小角在上学路上偶遇到了小平，然后他们就开始了他们的第一次的相遇……

第一次相遇

我们第一次接触到平行线和角平分线是在我们初一的时候，我们了解到角平分线定义就是角平分线会平分该角，得到角度的等量关系，而我们在平行线的性质里面也会学到，两直线平行，我们会得到角度的数量关系，那么通过等量代换，我们能获得许多角度的等量关系。

如图，由AD∥BC得∠2=∠3；由BD平分∠ABC得，∠1=∠2，所以∠1=∠2=∠3.

对于角平分线+平行线的模型，它的基本题目形态就是题目中会给出平行或一眼看出平行线的判定条件，以及给出角平分线。它的基本解题思路就是将相等的角度都找出来之后进行等量代换，并且在进行角度的等量代换的过程中，就会为解题提供更多的“隐藏条件”。

例一

已知AB∥CD，直线EF分别交于直线AB，CD于点E，F，FG平分∠CFE且交AB于点G，若∠BEF=70°，则∠AGF=___________。

【考点】平行线的性质

【解答】证明：

∵AB∥CD，

∴∠EGF=∠CFG，∠EFC=∠BEF=70°，

∵FG平分∠CEF，

∴∠EFG=∠CFG=35°，

∴∠EFG=∠EGF，

∴∠EGF=∠EFG=35°，

∴∠AGF=145°．

小角和小平都渐渐长大，在成长的过程中，小平搬离了原本的小区，小角与小平就再也没有相遇过了。直到某一天，小角一如既往地在公交车站等车上班的时候，在车站遇到了一个和小平长得非常相似的姑娘，小角的内心忽然激动了起来，便走上去想确认一下是否曾经的小平。

第二次相遇

我们在初二，就会开始学习到平行线进阶的知识点——平行四边形，平行四边形本身就自带许多的性质，涉及到边、角、对角线。这时，在我们已经学习了三角形的基础上，我们就开始能够通过角度对边的长度进行数量关系的分析，而在我们角平分线+平行线的模型概念中，也开始引入了等腰三角形去对边长进行推理与分析。

如图，由AD∥BC得∠2=∠3；由BD平分∠ABC得，∠1=∠2，所以∠1=∠2=∠3，则△ABD是等腰三角形，AB=AD.

此时，我们除了需要进行角度数量关系的讨论，对于线段的数量关系也会进行讨论，进一步地我们可以对三角形周长或者面积去进行计算。并且对于角平分线、平行线、等腰三角形这三个条件，我们不难发现是可以知二推一，题目中给出其中任意两个条件，都能够通过角度等量代换推得第三个。

例二

如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD∥AB，OE∥AC，若BC=15cm，则△ODE的周长为___________.

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质

【解答】

解：∵OD∥AB

∴∠ABO=∠BOD

∵OB平分∠ABC

∴∠ABO=∠OBD

∴∠ABO=∠BOD

∴BD=OD

则同理可得CE=OE

∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC=15cm．

故答案为15cm．

果不其然，小角在巴士站遇到的就是小平，多年未见好友重逢，想聊的很多，但是因为时间关系，小角和小平只是互加了微信。在之后小角和小平经常进行联系，小角认为自己内心依旧倾慕着小平，找到一天终于向小平坦白了心声！小平给小角提了一个难题，表示如果小角解决了就答应他。

小角开始努力地解决这道难题，但是发现没有头绪，所以发出来进行了求助。

例三

如图，已知AD是△ABC的角平分线，四边形MBEF是平行四边形．求证：AF=BM

【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质

【解答】证明：

∵四边形MBEF是平行四边形，

∴BM∥EF，BM=EF，

∴∠1=∠AEF，

∵∠1=∠2，

∴∠2=∠AEF，

∴AF=FE，

∴AF=BM．

小角终于将这道难题解开，与小平获得了圆满的结局。

在很久以后的某一天，小平问起“那道难题你是怎么解开的呢？”，小角看着远方唱道，“I have 角平分线，I have平行线，Ah~等腰三角形！”

牛刀小试

练习一

如图，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F. 试说明BE+CF=EF．

练习二

如图，已知E是AB上的点，AD∥BC，AD平分∠EAC，试判定∠B与∠C的大小关系，并说明理由．

练习三

如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线BE交AD于E点，AB=3，ED=1，则平行四边形ABCD的周长是___________。

练习四

如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的角平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DE=___________cm

练习五

如图，A、B是圆O上的两点，且AB的长度小于圆O的直径，直线l与AB垂于点D且与圆O相切于点C．

求证：AC为∠OAD的角平分线.

作者：袁蕾   来源：新东方优能中学