为什么要借鉴新加坡数学学习法：孩子平常多用这种方法，大有裨益

文 | 区韵（Renee）

不知道各位家长在辅导孩子学习数学时，会不会遇到以下问题：

孩子升到小学高年级后，数学成绩一路下滑，刷题只会加重负担，孩子产生抗拒心理；

孩子听老师讲解立马恍然大悟，但自己做的时候永远找不到思路；

家长陪孩子做应用题，第一时间用X/Y方程求解，但孩子年龄小，讲解他又不明白；

孩子觉得数学都是公式数字，很枯燥，提不起兴趣。

在小学阶段会出现以上问题，往往是因为从具体事物到抽象思维这关过不好。没有办法理解为什么这些符号、数字就能够进行运算？它们是怎么来的？又为什么这么算？

其实孩子的思维认知发展有着基本的规律。孩子在小学一二年级的时候，首先出现的是非常具体的形象思维。你会看到学习内容上，语文就是认字、识词、造句，数学就是看着实物数数，加减乘除，都是认识具体事物的方法。

从三年级开始，孩子的思维要开始进入另一个阶段，完成从具体的事物到抽象概念、公式的转变。所以有一些家长会发现，3、4年级的孩子数学成绩会突然之间下降，学习进度变慢，而家长也多将此错误地归结为孩子学习态度出现了问题。

实际上是因为在具体思维阶段没有做足功课，就让孩子直接进入充满抽象的符号、公式的世界，数学就会变成一门看不见摸不着的学科了，他们会迷惑，会有挫败感，甚至产生厌学情绪，从而形成恶性循环。

因此，如何帮助孩子建立从具体思维到抽象思维过渡的桥梁，就是解决以上问题的关键。这就不得不提到新加坡数学的一大利器——「模型图」方法（Model Method），也就是通过画图，能顺利地帮助孩子从具体思维阶段过渡到抽象思维阶段，这也是新加坡在数学教育界称霸称王的秘密武器。

图像化的方式

对中等学生学数学很有帮助

自新加坡提出使用Model Method (模型图方法)后20年间，新加坡学生的数学成绩就经历了巨大的进步，在国际赛事上也频频夺冠。他们的数学教材也已经风靡全球40多个国家，被欧美多个国家大力推广。

究竟什么是模型图法呢？我们不妨举个简单的例子感受一下。

A包装比B包装多了150g的糖，问要从包装A中拿出多少到包装B才使得两个包装重量一样？

如模型所示，多出来的150g需要分一半给包装B才能使两个包装的重量相等。即，150÷2=75g。

这种题目看上去不难，是因为我们画了一个简单的模型图，将两个包装的重量关系以条形图全面呈现在孩子面前，他会很直观地知道，为什么不需要算出全部重量。

新加坡数学的「模型图」教学法，是基于著名的认知心理学家杰罗姆·布鲁纳的「Modes of Representation」（表征理论）认知学习理论发展而来的。

基于这个理论，新加坡发展出来一套适用于新加坡学生的数学CPA教学法。

C – Concrete 具象化

P – Pictorial 形象化

A – Abstract 抽象化

要如何理解CPA的这个过程呢？首先回忆一下我们小时候一开始接触数学，靠数数来计算不会是直接1、2、3…...或者直接就学习1+1=2。老师家长都会告诉我们前面有1个苹果、2个苹果；1只乌龟加上另一只乌龟等于两只乌龟，诸如此类。

总的来说就是通过非常具体的事物，让我们对数量的增加或者减少有最基础的认知，这就是C（具象化）。

紧接着，当我们再被问到这个问题的时候，我们脑海里就会想象出有两只乌龟放在一起，这就是P（形象化）。

在这之后，我们看到应用题文字的时候“有一只小狗，又来了另一只小狗，一共是多少只小狗“，这时我们在纸上写下「1+1=2」，这就是A（抽象化）。

实际上，这种从具象到形象再到抽象的学习过程（从C到P到A），我们国内也是有的，比如用线段图、表格图来使问题形象化，也就是新加坡解题路径中的P。

只是新加坡强调P（形象化）是解题的必然路径，而我们没有那么重视这一步骤。

这就会容易让学生形成两种极端，一种就是很多人口中说的“牛娃”，本来他的思维发展就比较快，即使不用通过中间的P，也能直接从C到A，我国的数学教育方式对他们来说完全没有难度，并且也凭着这样的强化将直接抽象的能力变得越来越熟练。

但另一种是大多数中等学生，从C到A需要一个媒介帮助他们顺利过渡。但因为不经常被训练如何有效利用P形象化问题，所以如何很好地从具体过渡到抽象这个问题一直得不到解决，也有可能导致成绩一蹶不振，从此对数学失去信心。

新加坡数学最大的特点，就是放大了「P形象化」这个过程，这个过程也被称作是「Model Drawing」。国内多数翻译成建模，但严格来说，这和高等数学建模并不太一样。我更愿意称为画「模型图」。那么这种Model Drawing 究竟是如何帮助孩子解决从具象到抽象的问题呢？

画模型图可以帮助孩子真正读懂题目

如何才能让孩子转变自己的思考方式，学会用图像化思维做数学题呢？下面我们来看一道题。

这道题对于刚刚学会分数的孩子可能会很头晕。搞不清究竟是什么数量关系，自然也无从下手，家长们也许比较习惯用X求解。但对于还没接触到方程的孩子来说，可能会无法理解，家长讲解起来也抓狂。

但从模型图上看，就能很好地理解到今天剩下的60页就占昨天剩下的2/3，因此就可以得出，60÷（1-1/3）=90页。这90页就是昨天剩下的页数，占到了全部的2/5，因此可得90÷（1-2/5-1/5）=225页。

可能有的家长会认为，只要等到孩子学会代数，引入方程就简单快捷多了，这样解题不是更复杂化了吗？完全没有必要呀。

实际上，画模型图可以帮助孩子真正读懂题目。在画图时，孩子心中必须一直要有数量的概念在的，数量间的关系是如何对比，是怎么增加怎么减少的，都要做到心中有数，这对培养孩子的数感很有帮助，对题目自然也会理解得很透彻。

同时这种方法更能培养孩子数学思维的系统性。随着高年级学习，往往一道应用题里面会藏着多个数学知识点，绘图的过程会变得非常复杂，需要在C-P-A的三个阶段中反复贯穿理解与确认，不能顾此失彼，无疑会很考验孩子对数学的整体概念，而非管中窥豹。

学好模型图

可以为以后更高级的数学奠定基础

有了模型图，也能将代数思想形象化，为之后学习并掌握高阶代数打好坚实的基础。例如下面这道题：

A包装比B包装多了150g的糖，如果两个包装的总重量是1kg 450g，问包装B有多少重量的糖？

先用模型图将题目中未知和已知数量关系画出来。我们就能基于模型图进行推导，因此得出结果。不需要假设、也不需要代数。

但是你会发现这道题的 1 Unit 就是我们引入了方程后的X。根据图示我们可得X+X+150=1450g。

以模型图来展示，你就更能清晰地知道X是如何和现实进行关联的，而非在空中楼阁里理解X，这样的思想在高年级更复杂的应用题里会体现得淋漓尽致。

中国孩子在数学的传统学习上，习惯通过“题海战术”提高做题的效率和正确率，这当然有一定的成效，但在高年级之后，大量的代数抽象练习并不利于培养孩子对数学的直接感受，从而导致无法将数学真正关联真实世界，他们才会觉得数学都是数字公式，很枯燥。而新加坡数学教育的理念是，将数学拉回到现实，真正地以数学为载体，解决真实问题。

事实上，在新加坡的教材中，开始引入X/Y方程的时候，也会用先用模型图作为理解辅助。

这会为孩子未来掌握更高级的代数思想，打下了坚实的基础。

平常学习多用模型图

更加便于理解与思考

那么，中国的孩子应该如何利用好新加坡数学的方法工具呢？

如果你的孩子出现了文章开篇的这些问题，他可能会更适合使用新加坡数学的「模型图」法。特别是经常需要辅助孩子解答数学应用题的家长。使用模型图，更直观具体，孩子也很容易理解。

更重要的是，家长也能从孩子画模型图的过程中观察到他所不理解的地方，从而才能针对性地进行讲解与训练。而不是你讲了好几遍，孩子还是不理解，你也找不到症结在哪里。

另外，在解答数学题的时候，尽可能让孩子坚持画模型图，当P「形象化」变成自然而然发生的时候，就能内化成一种思维模式，要熟练到甚至没有画图，脑海里也能出现这样的关系模型图，再面对高阶的抽象思维的时候，一切都了然于胸。