高考数学大题如何"保分"？清北学霸教你六大绝招！高一高二也适用
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来源 清北之灯 ID QBZDgo
清华北大学生对于自己过去的高中生活的追忆，对于大学生活的感受，对于内心世界的流露，对于自我舞台的思考。以此公众号搭建大学同路人的心灵圈子，也帮助在我们走过的路上行进的学弟学妹们，展望属于自己的明天。
高中里有句话，得数学者得高考，此言不虚，清北学生难见数学不足140的，反之，数学140多分的除非特别偏科，大学一般不会差。那么我们怎么“得数学”呢？
针对目前高三的学生：如果你的数学水平不高，那么，你需要保住一定的分才能提升；如果中游水平，你需要保住一定的分才能突破；如果你是数学优秀生，你需要保住一定的分才能不败。
保分大题，是数学学科的“腰”，你发力的轴承。保分大题的范围就是除去解析几何与导数的所有大题，这些题难度一般，是所有人都可以通过一定训练稳稳拿在手里的题。
数学满分150分，水平中等的同学，要争取把46分的保分大题拿到手，为自己的解析几何与导数留下“犯错”的余地。
而对于程度较差的同学，保分大题由于其“套路固定，思维简单，计算量较小”的特点，也是提升与得分的基础。
即使是对于数学能力强的同学，高手过招时，导数、解析几何不分伯仲，保分大题却是体现差距的关键所在。再次赘言，还希望引起大家重视。
本文主要讲述学习方法与高考常用思维方法与常见易错点，比较概括，也不可能面面俱到。特殊问题以及具体的思维方法还需要大家平日的积累与反复练习。
建议
首先一定要注意数列的离散性，在自然数集合里讨论数列，便多了许多有用的限制条件，如。其次也可以从函数的角度看数列，即每一项的数值为n的函数，这是于利用变量替换的方法求解通项公式的思维基础。数列中常见的递推关系，可以理解为数列某种变换形式的“导函数”，寻求通项公式时应用的方法也不过累加，累乘，迭代等。从习题中寻找规律，寻找易错点和考点，总结思路方法，熟悉基本定义与数列的常用性质。及时整理，及时反思，时刻警醒自己。
基础知识
其中，基于等差或等比数列的性质会考察第一问。一般利用的为数列递推表达式或者和的性质。这些内容老师会在上课时为大家详细说明，也是复习的重点，甚至辅导书上都会有比较全的总结，这里不一一赘述。题设中会给出的条件一般为：某几项数值，含和式的等式，含数列表达式的等式，数列递推表达式。
常见思路
经过总结，大致有以下一系列常见思路。
易错点
1.忽视等递推关系成立的条件，从而忽视检验前几项。
2.忽视n为正整数的默认条件，冒然求导，或利用不等式得到非整数的取等条件。也会因此心理忽视这一个很好用的条件。
3.裂项相消忘记留下了几项。可以先写几项验证。
4.通过方程求解的数列可能会漏下情况。
5.等比数列注意公比为1不等同于常数列（如0）。
6.下角标的不规范可能会使“-1”模棱两可，需要注意。
7.累加法或累乘法漏掉第一项。
等等，这些易错点大家各有不同，还需要的是及时整理与反思。
建议
以图形为基础，挖掘角与边的不等关系。善于利用边角互换，善于利用公共边与已知边。注意范围限制，注意多解与存在问题，不能忘记解三角形本身为几何问题（几何本意即为大地测量），要善用几何方法，利用高线、垂线等特殊辅助线。解三角形的基础是测量，问题多为求值或者求范围。解三角形一般也会结合辅助角公式或者函数最值来考察，思维灵活而套路固定。在学习过程中，依然要总结规律，引用沈文选教授的话“积累基本图，适时总结规律”。
基础知识
常见思路
1.利用已知边（长度已知）进行边角互化。
2.反复利用公共边。
3.挖掘角度条件，边长条件
4.若出现四边形，一般有两种思路。延长成为三角形或者寻求对角线，分隔为两个三角形。
5.若出现圆的内接四边形，利用好对角互补。
6.边角互化后若出现了求面积范围的问题，一般建议利用角。见例题。
注意锐角三角形的限制。我们的数学直觉告诉我们可以用图像找到极值（直角时与正三角形时），我们不妨计算一下与答案相比较。
之后大家再展开计算即可，其实最大值的取得有规律的，大家可以从下图看出来（即两个sin数值相等的时候有最大值，看图就很直观了，我取的是弧度为1的非特殊角）。
若换为边，则有4=b^2+c^2-bc，b和c是出现了，但是你发现利用不等式求最大值还好，最小值时既要利用“锐角”找出b与c范围，又由于多变量的牵扯，还要利用规划思想。心烦意乱的你利用三角换元（这个三角换元也很讲求技巧），却正好又导出了第一种方法的式子，真是费力不讨好。
易错点
1.忽视角的范围。任何函数必然有其定义域，三角形中最普遍的是三角和为一百八十度，有时会有“锐角三角形”等的限制。
2.忽视多解，正弦值为正说明的信息很少。一般与边综合判断。若改角对应的边不是最长边，则比为锐角。但是若是，其锐钝要再次判断，无法判断时则为多解。
3.忽视公共边，已知角，已知边等。条件利用不足。
4.面对大量计算怀疑自己的能力（一般情况下，你应该检查一下，解三角形的计算式一般是美观的)。
5.基本公式出错。我在这里不列举那和角公式了，可以自己用向量证明。
建议
高中要求的有两个事件（相互独立，互斥）、两大概型（古典概型与几何概型）、四种抽样与四类分布（两点分布，二项分布，超几何分布与正态分布）。其中都有一个很重要的关键词即“等可能”。有同学可能会在处理相同模型时采取的方法不同而得到不同的结果，此时就应该考虑“等可能”这一条件是否被满足。概率是与情况总数相联系的，因此必须打好排列组合的基础（对，基础就可以）。总体来讲，要积累与思考几类情况与模型的使用条件与计算方法。在答题时，分类不重不漏。积累自己犯下的错误，时刻警醒。概率统计需要大家回归课本，分析课本案例，熟稔课本上出现的一切概念（样本的重心值什么，回归系数R有什么意义，与k作用相似的w等），才可以自如应对高考的变化。
基础知识
1.分类的思想。
2.分步完成的思想。
3.上述几类事件、概型，抽样，分布的一切相关计算与应用都应烂熟于心。
4.样本数据的几大特征。
5.回归方程的相关知识。15年高考考察了一次，也是一个容易被忽视的方面。
6.分布列的写法。
7.善用对立事件。
8.排列数与组合数的计算。（有时会有最值问题）
9.掌握对频率分布直方图，茎叶图与正态曲线的处理。
常见思路
1.先设事件，便于表示。每种情况以事件的组合写出，便于依此列出计算式。
2.找到所适用的模型，套用公式，直接计算。注意是要找到，认真阅读条件，观察取样方法，列出相关计算式。
3.按照一定依据分类不重不漏地列举出所有可能情况。
4.线性规划问题，构造可行区域，寻求面积比。
5.区别对待特殊量（如“某人是xx的粉丝，投票时必投xx，其余两票随机”）。
6.分解问题，如“3:2赢”可以分解成“赢在第几局”，从而列出计算式。
7.利用对立事件求得难求的概率。
8.抓住“至少”“至多”“恰好”等关键词。
9.利用E(ax+b)与D(ax+b)的计算公式。而离散型随机变量的期望和均值一般相等（他们的定义式长的都一样）。有一个现象是一般最“混乱”的情况概率最大。
10.明白并记忆正态曲线的参数意义，记住表达式的样子（见课本）以及曲线的形状决定，以及原则。概率是以定积分的方式表示的。
易错点
1.情况有重复或遗漏，分类依据不好。
2.计算时盲目用公式，不检查。
3.答非所问。
4.对公式记忆不清，应该当应用时反而去利用原理式计算，耽误时间。
5.对抽样的特点分析不清就动手，注意区分“放回”与“拿出后不放回”。
6.分析无条理，心烦意乱。建议将条件列表表示。
7.将非等可能的事件应用到几何概型（最常见，如角与线段）或古典概型。
8.不会利用P(B|A)=P(AB)/P(A)来判断AB是否相互独立。
9.概型判断不清，误认为出现坐标系就是几何概型。
建议
将立体几何中的三公理熟记于心，并牢记证明所用的八条定理。将立体问题转化为平面问题是所有高中立体几何的核心思路。为了照顾一些同学初中知识的欠缺，立体几何中涉及的平面知识局限于特殊三角形，特殊四边形以及圆的直径所对圆周角为九十度等。甚至有了“出等腰就做高”等惯常而有效的做法。在学习过程中，主要是加强对公理、定理以及推论的证明及掌握，加强计算能力。在向量引入后，理科立体几何几乎成了“弱智”题，不需要大量思考，只需要仔细认真的计算就可以完成大部分习题。
基础知识
1.立体几何三公理（其中三个不共线的点确定一个平面在选择题立体几何与排列组合部分都有考察）。
2.证明 平行（线线，线面，面面），垂直（线线，线面，面面）的几何方法与向量方法。
3.求线段长度（几何方法与向量方法）。
4.求角度（线线，线面，面面）几何与向量方法。
5.基本形体的定义。
6.关于球的基本问题。
7.直四棱柱模型的灵活应用。
8.三视图（大题中出现较少，作用是提供投影长度）。
9.棱锥模型。
10.三垂模型。
11.三余弦模型。
12.向量基底方法与建系方法（建系是利用特殊基底）。
常见思路
建系，见直角就建系。但是可以灵活一些。
2.利用基底向量求解异面直线的夹角。（即用其他简单向量表示已知直线的一部分）
3.利用体积不变，改变顶点求高线。
4.利用平移，多数利用中位线。
5.利用三垂线定理。
6.将部分形体放入直四棱柱框架便于研究。
7.存在性问题一般设，作答时应说明点的位置（如：AC中点处）。
8.关于法向量：
a)一般是用于求二面角，就会面临判断锐钝的问题。一定要判断向量的方向！！！
b)利用法向量求高我就不说了，原理是利用点乘的几何意义。
c)利用其求线线夹角，证明线面平行或垂直等也很简单。
d)求线面角时不要忘记线面角与线与法线的成角是互余的。
易错点
1.公理定理等引用错误，条件不足。
2.建系不严谨，默认直角等行为应当注意。
3.计算失误。
4.判断二面角的锐钝错误。
5.线面角的正弦值与余弦值应当注意。
6.存在性问题一般都是存在的，不存在的情况一般可以从几何上直接找矛盾。
各种角的取值范围不清楚，如线面成角一定是大于0小于等于Pi/2的。
新考纲解读
近来听说学校大量练习了很多思路不是十分常规的题目，但实际上，2017年新考纲在解析几何方面并无变化，还在其他的地方弱化了几何的要求。
基本功
相当一部分的解析几何题目可以直接通过暴算的方法直接解出，可以说对基本功扎实的同学来说没有什么技术含量。
计算能力在数学物理化学等学科十分重要，不只是数学，包括理综都会出现这样的情况：在考试当中可能出现大量复杂的计算内容，并不是很难，却会拉开相当大的区分度。因此，计算速度和准确度都应该大量训练。
笔者曾是物理竞赛生，体会过被海量计算支配的恐惧，在此也提出一些提高计算能力的建议：
一 .先从心理上战胜：不要畏惧，而是要学着接受甚至热爱有大计算量的题目，因为如果从现在开始重视，你的计算能力就会提高，从而更容易在计算量大的题目中占得先机（因为计算量大意味着此题并不需要什么新奇的想法，出题的难度总是平衡的），从而更加重视计算、热爱计算，形成良性循环。
二. 从练习上突破：平时的题目一定要算到底，不要有了思路就跳过。不论是平时练习小测还是考试犯的计算错误，都一定要把这个题目重新计算，直到算出正确结果为止。（计算是一种跨越学科的基本能力，计算极弱的同学，在上面多花点时间，收益的会是共计450分学科的成绩腾飞）
建议积累几道典型的计算难题在积累本上（如2013山东卷理科圆锥曲线，话说逝去的山东卷大多以计算难而闻名），考前找个自习算一算题目，不求多，专门找计算相对困难的练，如果算对就会大幅提振信心，并起到热身的作用，临阵磨枪，不快也光。
三. 从细心上根治：据测算，算错的题目95%都是抄错的，所以一定要规范书写，尤其要规范草稿纸的用法。草稿纸一定要分题号分区域写清楚，不要太省纸，方便剩余时间回查低级失误。草稿纸建议折起来用，我推荐将A4纸较长的一段折成三部分，既有效利用空间，又避免了中间结果字母过多时一行写不下的尴尬情况。平时也要采取措施对自己的计算错误进行适当的总结和惩罚。
走正道
老师和同学总结过大量的圆锥曲线小题中间结论，看似十分简单有效，但根据实战经验，一定不要在考前突击这些中间结论还以为如获至宝。这些结论确实省时间，但一般的题目不会因为他们而简单太多，一旦记错结论还是致命的。所以，只需掌握所有的定义以及通用解题方法，然后完全交给自己的计算能力来解决。这些结论在能准确记忆住几个的情况下可以适当利用，（毕竟他们还是几何方法推出，而新考纲似乎有弱化几何的趋势）用一个算赚，不用也不亏。
当然，如果可能，可以在了解结论的情况下熟练它们的推出方法，然后考试会现推（这不强求）。
分类别
圆锥曲线小题基本只有三种方法：使用定义；暴算求解；特殊值排除（解决定值问题有奇效）。
大题一般有以下几种：
1、求特定的值（求某一条直线或者某个值），因为太简单所以一般不考，在考试中如果出现一定是比较难算的，那就耐心算
2、求定值：我们先取几种特殊情况确定定值，心中有数，然后写上必要的步骤（问老师什么必须写在卷面上），然后装作十分费力的消去一些值，整理出我们早已试验得到的正确答案。
3、求范围：一般会整理出一个含未知数的式子，大多可用基本不等式解决，较难的题目考虑求导。自己可以总结什么情况下设x还是设y会更简单一些。找到最值别忘了检验取等条件（也可以更为直观的得到最值在什么情况下取得）。
4、求轨迹：基本方法有几何法（都是初中几何知识+高中要求的定义）和消参法，没有什么特别之处，注意检查取值范围（某条曲线的一部分）
总之，圆锥曲线并不难，计算能力是关键。希望大家不要畏惧，而是努力把它化为自己保分题目中的一部分。
另外，如果有的题目一时想不到特别好算的办法，可以考虑直接解出点坐标（有一些题目是故意这么设计的）。
不等式选讲
建议
不等式向来是思维灵活的，选考部分的热门是不等式串，柯西不等式和绝对值三角不等式。又由于绝对值三角不等式思维简单（分类讨论），一般出现时就会让大家很开心。但是对于柯西不等式与不等式串，技巧性就更加强。学习时建议多积累方法，注意观察多种方法证明的可行性，不同的不等式有不同的适应范围，放缩能力也有“好坏之分”。所以要多多积累，多多思考。严抓条件，及时整理。
极坐标系与参数方程
建议
极坐标系与参数方程套路明确，思路简单，计算量小，是众多考生的最爱。但是极坐标方程与参数方程许多是基于几何意义产生的，如果只是知道形式不知内核。题型稍作变化就会出错，手忙脚乱。因此建议学习时仔细标注易错点，考试时留心参数的几何意义及范围，仔细读题，认真对待，才能做到不失分。
极坐标方程
1.注意极径r的几何意义（可以取到全体实数），极角φ的定义与必修四中类似，在写方程时一定要注意标注范围。
2.牢记几类特殊的极坐标方程，简单的方程可以自己画出图像。
3.注意极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及化后的参数取值范围。
4.极坐标下要注意画图，画图会给你许多思路与简便的方法，节省时间。
5.有必要掌握柱坐标系与球坐标系的坐标互化，同样画图可以帮助理解与记忆。
6.极坐标系中也会有余弦定理与正弦定理的应用，一定要灵活。
7.出现“扫过的面积”一定要画图，不要凭空想象以免漏掉某部分的面积。
8.其中的对称（如关于极轴，极点等）可以做适当了解，高考目前没有考察过。
参数方程与坐标变换
1.注意参数范围。参数可以没有直接的几何意义，但是一定有范围。养成良好习惯。
2.一般为直线的参数方程和圆的参数方程。直线的参数方程考察最多，引入了方向向量的概念，要熟知参数t的几何意义以及其应用。（结合韦达定理与其他曲线方程联立）
3.直线的参数方程要注意t的系数的平方和是否为1，若否，要标准化后再进行计算。
4.区分“一般方程”，“标准方程”和“参数方程”。三种方程的写法不同。
5.坐标变换注意的一点就是变量替换思想。比如圆到椭圆， x=x’,y’=2y再将x’与1/2 y’带入原来x,y满足的方程即可。
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