动听的数学——逻辑与艺术之歌

《命运交响曲》的宏大、《月光》的灵动、《梁祝》的深情，当在聆听和享受这些美妙的音乐时大多数人都无法将其与严肃的数学联系起来。

感性的音乐与理性的数学可谓是两个极端，音乐是作为我们抒发感情、表现感情的一种感性艺术，数学则是一种通过抽象的思辨、严谨的逻辑论证等思维方式构建起的“思维体操”，从表面看二者并没有明显的联系，其实音乐中到处都是数学。 

 Pythagoras of Samos，约公元前580年~~约前500（490）年

古希腊著名数学家、哲学家，在科学、美学等方面有着巨大贡献

最早揭开音乐与数学的关联这一神秘面纱的，当数2500年前古希腊的著名数学家毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯的琴弦实验

相传毕达哥拉斯路过一家铁匠铺时，在“铿铿锵锵”的打铁声音的启发之下进行了许多试验，试图寻找乐器发出更加协调、动听的声音的规律。经过多次地观察与反复地比较,他终于发现三弦琴发声的协调性与琴上三根弦的长度有着密切联系，三根弦的长度比例为 3: 4: 6 时最为适合。

根据这项发现，毕达哥拉斯探索并完善了音乐数，如 1: 2 产生八度，2: 3 产生五度，3: 4产生四度等等。他发现每根振动着的弦只要按音乐数的比例划分，就可以产生不同的音程。这和铁匠铺里的打铁的声音高低是随着铁锤的大小和敲击力度的轻重变化而变化的原理一样。

后来，他继而发现声音在质上的差别，如声音的长短、高低、强弱等等是由发音体数量的差别而产生差别的。

被拨动琴弦的每一组和谐组合都可以记为整数的比例，按照比例增加弦的长度就能产生音阶。如从产生音高C的弦开始，C的16 /15 长度给出B，C的6 /5长度给出A，C的4 / 3长度给出G，C的3 / 2长度给出F，C的8 / 5 长度给出E，C的16 /9长度给出D，C的2 /1长度给出低音C。由此他得出结论：音乐能够反映出的作为宇宙本质的数理关系,能够体现作为宇宙根本规律的“和谐”。

数学与音乐的交响

当毕达哥拉斯首次揭开了音乐和数学关联之谜后，数学与音乐的交响诗就此唱响。

音乐的结构明显具有数学的逻辑和推理思想，特别是伴随着菲波那契数列结构和0.618黄金分割点的产生，音乐的美就与之联系在一起了。

菲波那契数列结构是1、1、2、3、5、8、13、21、34、 55、89......其规律是每一项（从第三项起）都是前两项之和。而“黄金分割”在数学中的比例关系为较大部分与整体之比等于较小部分与较大部分之比，其比值为0.618。它们都与音乐的结构有着密切的联系。

菲波那契数列在音乐作品中所表现出来的暂时的不平衡与局部的不对称，使音乐更具有的某种感召力和表现力。

钢琴的一个八度里有

2+3=5个黑键，C到C=8个白键，共13个键

都在斐波那契数列中

比如，匈牙利作曲家巴托克作品《弦乐、打击乐与钢片琴音乐》的第一乐章，全曲共89小节，从高潮点划分为两个部分，分别为55和34小节，按照作曲家对音色和强度的布局,我们将开始到高潮的部分(55小节)划分为34+21小节，将高潮到结尾的部分(34小节)划分为13+21小节。我们会发现这些小节数与菲波那契数字惊人的一致，并且小节的划分正是遵循了菲波那契数列结构的规律。

而“黄金分割”在音乐结构中的运用更为广泛。

大部分被大众认可为名曲、优美的音乐其主体旋律的高潮部分大都被安排在了黄金分割点上。比如，莫扎特《D大调奏鸣曲》第一乐章全长160小节，再现部位于第99小节，不偏不依恰恰落在黄金分割点上（160×0.618=98.88）。

贝多芬《悲怆奏鸣曲》Op.13第二乐章是如歌的慢板，回旋曲式，全曲共73小节。理论计算黄金分割点应在45小节，在43小节处形成全曲激越的高潮，并伴随着调式、调性的转换，高潮与黄金分割区基本吻合。

虽然这并不能代表全部的音乐，但是也足以说明在创作音乐时对于音乐结构的设置以及安排已经具备了科学、理性的数学认知。这些音乐结构所体现出的比例、平衡感、有序感都让人们感受到了数学公式、定理的抽象、严谨、以及逻辑性很强的形式美感。 

音乐之美就是数学之美

著名数学家笛卡尔，在《谈谈方法》中曾写道：“我们可以在任何事物中获得与算术和几何示范相等同的确信”，他认为音乐的美可以在很大程度上用科学术语来解释，而音乐之美其实就是数学之美。

笛卡尔画像

在音乐漫长的发展历程中，最初的音乐创作更多的是处于一种随意、混沌、散漫的状态，而在发现数学理性与音乐感性之间的联系之后，理性的音乐作曲意识被唤醒。爱因斯坦也曾形象地称这个世界可以由乐谱组成，也可以由数学公式组成。当音乐遇见数学，两者相结合所揭示的自然和谐的统一规律，是音乐理论所追求的美学价值，也是数学理论所追求的美学价值。

参考文献：

1、常沁怡《音乐中的数学—浅谈音乐与数学的关系》

2、王斯文《探讨音乐与数学的关系》

3、李思桐《从古希腊哲学家毕达哥拉斯琴弦实验谈数学对于音乐发展的影响》

『往期精彩』

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