刘徽作为中国古代历史上著名的数学家之一，对中国数学史的发展做出的贡献不亚于祖冲之父子二人。不过，由于中国史书文献以记载官宦人士居多，这让刘徽这样一介布衣很难有大量的史料可供后人查阅。好在，他留下传世之作《九章算术注》，通过这本书可以窥见刘徽的数学思想，也可一览古代数学史的发展历程。
（约225年—约295年）
《九章算术》是一部对秦代至汉代以来的传统数学思想进行总结的一部综合性著作，是以算筹作为特殊工具提出的与社会生活密切相关的数学集，全书共有246个问题，按照性质分为方田、粟米、衰分、少广、商功、 均输、盈不足、方程和勾股等九个大类。据史料记载这部专著并非由一人完成，而是由多人长时间共同编辑而成。《九章算术》含有众多概念，其中有三个概念均早于印度和欧洲其它国家。一、它最早提出了方程概念，并对如何解答联立一次方程进行了总结和说明。二、最早提出分数概念，并系统地论述了分数的约分、通分和分数运算的问题。三、在说明分数和方程组的问题时，引入了负数的概念，并提出了正、负数的加减运算法则。但《九章算术》存在的缺憾是，虽然内容涵盖大量的数学概念却没有明确的定义，给出大量的算法和公式却都没有理论的证明。这也是刘徽对《九章算术》进行详细注解的原因，他希望通过研究《九章算术》探索到数学内在的规律。
《九章算术注》在中国数学史上占有重要地位，它奠定了中国古代数学坚实的理论基础，集中体现了刘徽深刻的数学思想、严谨的逻辑思维，而且，在《九章算术注》中可以看到刘徽对《九章算术》的推广及延伸，以及创造了许多解决数学实际问题的新方法。如，刘徽在注释过程中发现，《九章算术》对球体的体积算法并不正确，通过明确引入了“牟合方盖”(即指正方体内的两个轴互相垂直的内切网柱体的贯交部分)这一著名的几何模型，指出球体积公式V=9D3／16(D为球直径)这一公式存在的误差；在对“割圆术”与“圆周率”的理论研究上，刘徽在对《九章算术·圆田术》注解过程中，通过“割圆术”精确推算，得出计算圆周率的科学方法，并论证了圆面积的计算公式。具体而言，即是从圆内接六边形开始，多次割圆，每次的切割边数翻倍，待推算至一百九十二边形的面积时，得出圆周率π=157／50=3．14，后又推算至二三千零七十二边形时圆的面积，得出圆周率π=3927／1250=3．1416(即“徽率”)[1]。在《九章算术注》中，刘徽还引入了很多前人并未用到的数学概念。如，在《九章》第一章方田章开篇有原文写到：“方田术曰：广从步数相乘得积步。”此文含义为：方田算法中说：长方形长与宽相乘的步数相乘得到其面积”。针对原文中的“积”刘徽给出定义，凡是长方形面积都用长乘宽即“幂”代替了“积”的含义[2]。在后文中所有涉及到“积”的相关问题，均由更贴切的“幂”取代。在方田章中刘徽还提到了“率”：“凡数相与者谓之率。率者，自相与通。有分则可散，分重叠则约也。等除法实，相与率也。”这里面提到了“率”的定义，即凡是数与数之间具有相比的关系，可称之为“率”。正如与今天的一次函数类似，刘徽“率”的含义就是两个数具有比例关系，具有线性关系[2]。
刘徽生活的时代正值魏晋玄学盛行时期，这一思潮对他的《九章算术注》产生了重要影响，后人可从他的注释中看见这一时期玄学思潮的痕迹。比如，他在《九章算术注》的序文中直接表明：“徽幼习九章，长再详览，观阴阳之割裂，总算术之根源。”这里“总算术之源”的意思是——探究数学规律，掌握数学原则。这与当时玄学家们注重探求物现象背后的抽象道理是一致的，只是玄学家们注重的是“玄”理，而刘徽注重的是“数”理。
刘徽对玄学家们所提倡的简约的学风也是极为认同。在他的注文中曾明确表示“用算繁而不省，所以别为法，约也。” 而且，他崇尚老庄思想，在一道题的注文中甚至直接引用了《庄子·养生主》中的典故——庖丁解牛。他说“更有异术者，庖丁解牛，游刃理间，故能历久其刃如新。夫数犹刃也，易简用之则动中庖丁之理。故能和神爱刃，速而寡尤。”
除此之外，刘徽《九章算术注》的注文，在语言风格上与当时的玄学家也如出一辙。刘徽在解释“齐同术”的比例关系时说：“数同类者无远，数异类者无近。远而通体者，虽异位而相从也：近而殊形者，虽同列而相违也。” 这与当时著名玄学家何晏的说法相似：“同类无远而不相应，异类无近而不相违。譬如阴中之阳，阳中之阴，各以物类，自相求从。……皆异于近而同于远者”[3]。这种文字上的相同和相似，都有力地证明了玄学思潮对刘徽的影响。
作为中国古代著名的数学家，刘徽无异是中国古代数学发展史上的一位巨人。尽管其思想受到当时玄学思潮的影响，但他卓越的成就，对近代数学的发展作出了重要贡献，而且他的数学学术理论对后世也有着深远的影响。此外，刘徽本人极其重视对学习兴趣的培养，具有独立的学术思维，勇于推翻前人的结论，建立自己在学术上的自信及责任感。他对《九章算术》的注释体现了他对数学态度的全面性、客观性及真实性，开辟了中国古代数学学科理论的发展道路，成为中国传统数学理论的重要奠基人。
参考文献：
[1]李秋莎.刘徽《九章算术注》中的数学思想及其历史贡献[J].兰台世界,2014:52-53.[2]邬岳基,徐泽林.以《九章算术注》论刘徽数学证明[J].新一代,2017:14-15.[3]沈忠环.论玄学思潮对刘徽《九章算术注》的影响[J].科教文汇(上旬刊),2012:100-102.