(2 本文适合有一定雷达及信号与系统知识基础的读者)
我们知道雷达累死累活探测的的核心就三个量：距离（range）,速度（velocity），角度（angle）,而评估这几个量的核心指标有4个：分辨率（resolution），感知范围（Sensing Range）,精度（accuracy），鲁棒性有人说，这有啥聊的，分辨率还不简单，我都自己推导过，就那几个公式（如图1），会用不就行了？能出啥幺蛾子！
我们以角度维为例（速度维，距离维类似），首先，灵魂拷问一下，分辨率是什么，你要问我精确定义是什么，我也答不上来，但是我会给出我的理解：比如角度分辨率，就是说雷达FoV内两个目标在角度维度能够被区分的最小角度。这个量与天线孔径有关，比如ULA，8 RX，0.5lambda的话，理论上有15度左右的方位角分辨率，这个概念我过去都是这么想的，但渐渐发现里面有一些坑：是不是有点晕，别急，我们来捋一捋，首先是第一个问题，这个问题简单一些，答案当然是“是”，我们再计算理论分辨率的时候，为了简便而不失一般性，一律是按矩形窗计算的，但是实际工程应用中，考虑到旁瓣抑制减少虚警，会牺牲一部分分辨率换取目标主瓣外其他bin的风平浪静，长治久安。那么加窗就是一计，窗函数有很多，但基本都是会牺牲部分分辨率的，所以实际角度分辨率会低一些，低多少呢，和窗函数有关，比如chebyshev window，也就是理论分辨率的1.5x...2x这样子。第一个问题算是开胃菜，下面来正面刚第二问，第二问是不是有些矛盾？如果两个目标都在谱上分离了（相当于出现两个峰），那不就是可分辨的嘛，这也有坑？？我开始的也是这么想的，但我喜欢散步拉屎的时候想想问题，有一天，我突然想到，如果两个目标被分离了，但是表征这两个目标的峰值是相互影响的，比如影响峰值的位置，也就是说如果一个目标影响另一个目标峰值位置，且影响大到该目标峰值位置发生严重偏移，而这种偏移已经超出了threshold，那目标得出的目标角度就是错误的，那么我们还能认为这两个目标是可分辨的吗（即使FFT谱结果是分离的），经过仔细研究，答案是否定的（不可分辨）。下面讲讲道理。还记得这篇文章的标题吗，讲了半天，克拉美劳下界呢，克拉美劳又是什么鬼，他怎么就下界了，他和分辨率又有什么纠葛，哎，好乱。不要着急，咱们一层一层得捅破窗户纸，事实上，要解决我刚才提出的问题，需要引入新的概念和数学工具，不断探索这一过程有些痛苦，但也是涅槃重生的过程。这个工具就是克拉美劳下界，下面隆重有请克拉美劳下界（Cramer-Rao Lower Bound，CRLB），她张长这样子滴：
Fig2 我长得是不是很没有食欲
很难看是不是，你说傅里叶变换难是难了点，但起码长得好看啊，这货我看过99次，没一次看明白的，关键想看明白的欲望也不强，要不是这次研究上述问题，我也懒得理她，所以有时候学知识还是奉行实用主义为好，你要用到再去学，动机会更强一些，效果也会好一些，扯远了。。。好了，关于克拉美劳界我有机会给她拍个独立电影，这里我们暂且把她视作数学工具会用就行（第一层次要求，大家有兴趣也可以查查资料），CRLB表述的是一个无偏估计量的估计方差所满足的下界，如图2，角度的方差大于等于某个量，这个量就是下界，就是说，角度不管你怎么估计，用什么估计器估计，它的估计方差一定大于CRLB，基于她，我们引入统计分辨率（statistical resolution）的概念：
Fig3 statistical resolution
delta是统计分辨率，要大于sqrt(crb11+crb22)，需要指出的是两个目标的CRLB是一个矩阵，crb11和crb22是其对角线元素，而crb11和crb22的求法又得长篇大论了，这里可以认为是一个数值。大家可以想想该公式的合理性，一种解释如图4，其中粉色虚线代表可能的估计方差。所以这一次我们把精度（方差）通过CRLB与分辨率联系在一起了。当然，统计分辨率是理想情况下的，实际的分辨率取决于你的估计器是什么。一般来讲，一方面分辨率要大于瑞利限，另一方面又要满足CRLB条件，所以一般取两个量的较大值。再一次回到原来的问题，我们的回答是，即便两个目标再FFT谱上分离，如果估计方差大的话（估计精度不可接受）也是被认为不可分辨的。这拓展了我们对分辨率的认识深度。
Fig4 statistical resolution illustration
顺着这个思路，大家可以思考问题3的答案（提示，可以把两个目标的初始相位考虑进去）。
如有任何想法及疑问，欢迎公众号留言和我讨论，笔芯！[1] Sinusoid Frequency Estimator with Parabolic Interpolation of Periodogram Peak.----------------------------End---------------------------