边界层流的稳定性问题
边界层理论在物理以及工程中有着广泛应用，其数学理论也是偏微分方程的核心研究方向之一，目前仍然有许多重要的问题尚未解决。当前在数学上比较活跃的研究课题有：边界层方程（如：Prandtl方程）的适定性、边界层分离、Prandtl边界层展开的有效性、边界层流的稳定性等。
层流的稳定性是流动稳定性中的经典问题，有非常悠久的研究历史, 可以追溯到Reynolds在1883年的圆管水流实验。层流的线性稳定性分析可以归结为求解著名的Orr-Sommerfeld（O-S）方程。这是一个奇异摄动问题，理论求解难度非常大，著名应用数学家林家翘在利用渐近分析方法求解O-S方程上作出了突破性贡献[6]。我们在《中国科学：数学》的文章[1, 2]主要研究二维平板边界层流的稳定性问题。在1929年，Tollmien首先预测了平板边界层流的不稳定性，之后Schlichting开展了系统的计算，给出了平行流的中性稳定曲线。但直至2015年, Grenier等人的重要工作[5]才在中性曲线内部数学上严格地构造出了不稳定的Tollmien-Schlichting (T-S)波，在该篇论文中他们引入了理论求解O-S方程的Rayleigh-Airy迭代技术。Gerard-Varet等人的工作[3, 4]利用Rayleigh-Airy迭代技术分别证明了非稳态Navier-Stokes（N-S）方程当初始扰动在Gevrey-3/2类中边界层流的非线性稳定性以及稳态N-S方程在流向小周期情形关于Sobolev外力扰动下的非线性稳定性。
我们的文章[1]中发展了求解边界层流O-S方程的预解估计方法，避开了复杂的Rayleigh-Airy迭代技术，还给出了边界层流在L∞意义下的稳定性估计。文章[2]将Gerard-Varet等人[3]中流向小周期性的关键假设替换成更为自然的谱假设“0不是线性化算子的嵌入点谱”。文章[2]不仅进一步发展了[1]中的预解估计方法，为去掉小周期性假设，还引入了估计O-S方程解的紧性方法。文章[1, 2]发展的预解估计和紧性方法具有普适性，可用于流动稳定性理论中其它相关问题的研究。
Grenier等人的工作[5]在中性曲线内部构造出了T-S波，但在中性曲线附近T-S波的构造、线性失稳机制的数学刻画等方面的数学问题仍然是公开的。目前我们通过结合三层结构理论，发展了更为精细的O-S方程理论求解方法，在中性曲线附近构造T-S波方面取得了重要的进展。基于对线性失稳机制深入的数学研究，我们期望在重大基础科学问题“边界层转捩”上做出有意义的数学理论研究。
【参考文献】(点击下方链接获取全文)
[3] Gerard-Varet D, Maekawa Y. Sobolev stability of Prandtl expansions for the steady Navier-Stokes equations. Arch Ration Mech Anal, 2018, 233: 1319-1382.
[4] Gerard-Varet D, Maekawa Y, Masmoudi N. Gevrey stability of Prandtl expansions for 2-dimensional Navier-Stokes flows. Duke Math J, 2018, 167: 2531-2631.
[5] Grenier E, Guo Y, Nguyen T. Spectral instability of characteristic boundary layer flows. Duke Math J, 2016, 165: 3085-3146.
[6] Lin C C. The Theory of Hydrodynamic Stability. Cambridge: Cambridge University Press, 1955.
作者简介
章志飞， 博士毕业于浙江大学，现为北京大学数学科学学院教授。他在流体力学方程的适定性、自由界面问题、液晶模型一致性的数学理论以及流动稳定性的数学理论等方面作出了重要贡献。2014获国家杰出青年科学基金，2022年国际数学家大会作邀请报告。
吴笛，博士毕业于武汉大学以及巴黎七大。此后，分别在蒙彼利埃大学IMAG研究所以及北京大学数学科学学院从事博士后工作。现就职于华南理工大学，任副教授。主要的研究方向为Navier-Stokes方程的正则性、边界层理论、流体中的匀质化问题。
陈琦，博士毕业于北京大学。现在中国科学院华罗庚数学中心从事博士后工作。主要的研究方向为Navier-Stokes方程的稳定性问题、边界层理论等。