16世纪欧洲数学扉页上的数学文化

本文原载于《数学文化》第十一卷（2020年）第2期

1 引言

16世纪，西方世界对于数学的需求远超之前的任何一个时代。商业和贸易的发展，促进了商业算术的教育与传播；地理大发现刺激了航海术和造船业的发展，而航海术和造船业又促进了天文学、三角学和实用几何学的发展；在艺术领域，透视学被运用于绘画，几何学成为绘画艺术的基础。英国数学家和天文学家约翰•迪伊（J. Dee, 1527-1608）在《几何原本》英译本的前言中，总结了数学在航海、建筑、音乐、绘画、力学、天文学、占星术等30多个不同领域中的应用¹。英国数学家雷科德（R. Recorde, 1510-1558）在其算术课本《艺术基础》中，分析了算术在音乐、医学、文法、哲学、神学等领域的应用，并指出，算术与和平时期的平民事务（如公共福利的管理）、战争（军队补给、人数清点、薪水计算、食品供应、目标定位、地形测定、营寨安扎等）以及现实生活中的私人福利、财务管理等等息息相关²。雷科德在其几何课本《知识之途》中，用诗歌的形式罗列了一份应用几何学的行业清单：木匠、石匠、铁匠、鞋匠、钟表匠、雕刻工、油漆工、刺绣工、织布工、画师、裁缝以及轮船、磨粉机、马车、犁的设计和制造者³。真可谓：大千世界，几何无处不在；芸芸众生，无人不用数学！由于数学的重要性，加上印刷术的广泛运用，大量数学书籍，特别是算术书得以出版，数学知识开始以前所未有的速度在欧洲传播。为了吸引更多的人们学习数学这门学科，数学书籍的作者（当然还包括书商）往往会在扉页上下功夫，呈现人画像、计算工具、几何图形、测量工具、诗歌隐喻等丰富多彩的“扉页文化”。本文通过考察16世纪部分欧洲数学书籍⁴扉页上的数学文化内容，管窥这个时期的数学教育现状、数学家的数学活动、数学教科书作者的数学观等等，为今日数学教学提供历史素材和思想养料。

2 数学人物

15-16世纪数学书扉页中最常见的插图是人物画像。第一类人物是古希腊哲学家，如15世纪意大利数学家卡兰德里（P. Calandri）《算术》（1491）扉页即为木刻毕达哥拉斯画像（图1），1545年在意大利出版的《几何原本中的算术》扉页为木刻欧几里得画像（图2）；意大利数学家蒙约（H. Menyos, ?-1584）《算术基础》（1566）的扉页是木刻柏拉图画像（图3）。第二类人物是书的作者，如意大利数学家卡丹（J. Cardan, 1501-1576）《实用算术》（1539）扉页上的卡丹画像（图4），意大利数学家塔塔格里亚（N. Tartaglia, 1499-1559）《数量通论》（1556）扉页上的塔塔格里亚画像（图5），德国数学家里斯（A. Riese, 1489?-1559）《算术》（1550）扉页上的里斯画像（图6），意大利数学家裴弗隆（G. F. Peverone）《算术与几何》（1581）扉页上的裴弗隆画像（图7），荷兰数学家舒尔（J. V. Schuere, 1550?-1620）《算术》（1600）扉页上的舒尔画像（图8），等等。

我们今天所看到的16世纪数学家的形象很多源于数学书的扉页画像。

3 数学课程

古希腊毕达哥拉斯学派已将数学分为算术、几何、天文与音乐四个门类，俗称“四艺”。到了中世纪，学校课程共有七门，包括古希腊的“四艺”，再加三门文科课程——文法、逻辑和修辞，俗称“七艺”。16世纪，学校课程的架构仍为“七艺”。在德国学者雷希（G. Reisch, ?-1525）编著的《哲学明珠》（1503）扉页呈现了七位女性（图9），从左到右分别象征逻辑、修辞、文法、算术、音乐、几何和天文。中间唯一坐着的女性，膝上放着一副15-16世纪十分流行的算盘，右手似乎还握有一些筹码；象征几何学的女性左手握着直角尺和圆规。法国数学家马蒂尼（C. Martini）的《算术》（1526）和费内利乌斯（J. Fernellius, 1497-1558）《论比例》（1528）的扉页图（图10）中，左边四位女性分别代表“四艺”之天文、音乐、几何和算术，右边对应的男性代表人物分别是托勒密（C. Ptolemy, 85?-165?）、奥尔弗斯（Orpheus）、欧几里得（Euclid）和阿尔昆（Alcuin, 735?-804），其中，奥尔弗斯是古希腊神话中的人物，著名音乐家和诗人。法国数学家费奈乌斯（O. Finaeus, 1494-1555）《实用算术》（1542）扉页图中，也呈现了四艺。16世纪，尽管卡丹等数学家的代数著作已经出版，但在古代四艺的课程架构中，代数学在学校教育中尚未占有一席之地。

4 算盘算术

在15-16世纪的欧洲，线算盘是最重要、最流行的计算工具，不识字的人也能学会使用。当时，线算盘上有固定的表示数位的横线，自下而上，分别是个位、十位、百位、千位等等；千位线、千万位线上分别标有一个小叉，便于计算者识别。又有纵线将算盘分成两列，用于计算。在每条线上放置的筹码不能超过4个；在两条邻线之间放置的一个筹码，自下而上分别表示5，50，500等。图11是德国数学家科贝尔（J. Kobel, 1470-1533）《算术》（1514）扉页上的木版画，画中摆在线算盘左栏（对靠窗而坐者而言）的筹码表示26（1+5+20）；右栏的筹码表示运算结果486（个位线上可能还有被盖住的筹码）。荷兰数学家弗里修斯（Frisius, 1508-1555）《实用算术》（1542）、德国数学家舒贝尔（J. Scheubel, 1494-1570）《数与各种比例》（1545）、英国数学家雷科德《艺术基础》（1558）扉页木版画均再现了教师给学生讲授算盘算术的场景（图12-14）。但《实用算术》和《艺术基础》两书所呈现的线算盘上并没有筹码，很可能当时人们使用的一种算盘不再需要筹码，而是可以直接在上面写数字，计算完成后，可以将数字擦除。15-16世纪，算盘算术和笔算始终是并存的。德国数学家博申斯泰因（J. Böschensteyn, 1472-1532）《算术》（1514）扉页木版画（图15）就呈现了教师教授笔算的情景，值得注意的是，当时人们已经开始使用黑板了。在雷希的《哲学明珠》中有一幅插图（图16），图中，一位优雅的女性（算术学科的化身）双手各持一本书站立在中间，她的前面是两位参加竞赛的数学家，左边的毕达哥拉斯使用线算盘；右边的博伊休斯（Boethius, 477?-524）则使用笔算，颇有点“关公战秦琼”的味道。博伊休斯已快速完成计算，一脸轻松；而毕达哥拉斯还在摆放算筹，脸上似有几分窘迫。作者似乎借这幅插图来说明笔算的优越性。不过，线算盘在16世纪的德国始终是最重要的计算工具。里斯的《算术》（1522）是德国当时最有影响的算术课本之一，该书1592年版扉页木版画（图17）上，再现了当时人们用筹算和笔算的情景。里斯倡导用笔算代替算盘算术，为笔算的传播做出了重要的贡献。

5 测量工具

测量技术是16世纪实用几何学的主要内容。这个时期，很多数学书，即使是冠以《算术》之名的数学课本，都会涉及测量问题，一些专门介绍各种测量方法的书也相继出版，如英国数学家狄格思（L. Digges, ?-1571?）《测量之术》（1556）、意大利数学家巴托里（C. Bartoli, 1503-1572）的《测量方法》（1564）、意大利数学家贝里（S. Belli, ?-1580）的《测量之书》（1570）等等，各种测量工具应运而生。在德国数学家施雷柏（H. Schreiber）出版于1535年的一部算术书的扉页（图18）上，我们看到两个几何学家似乎在讨论测量问题：一个左手拿着圆规，右手托着天球仪；另一位几何学家左手拿着直尺、圆规、铅垂线，右胳膊夹着一个四分仪，身边是书本和其他测量工具（似乎是另一种形状的四分仪）。德国著名数学家雅各布（S. Jacob, ?-1564）出版于1565年的一部商业算术书的扉页木版画（图19）特别引人注目：画中坐着的两人，一个在研究几何（正十二面体），一个在研究算术；站着的三人，分别在用四分仪和雅各布杆进行测量；地下放着一个地球仪。两幅木版画中出现的四分仪和雅各布杆都是当时数学家常用的测量工具。四分仪是一种十分古老的测量工具，可以上溯到托勒密时代。在16世纪，人们设计出各种不同形制的四分仪。费奈乌斯在其《数学之源》（Protomathesis, 1532）中介绍了其中的两种，见图20，全书给出了用四分仪测量距离、高度和深度的各种方法⁵。图21是第一种四分仪在距离测量上的应用：将四分仪的方向杆对准远处的目标物，四分仪上读出DF的长度，利用直角三角形的相似性，即可求得BE的长度。图22是第二种四分仪在距离测量上的应用：将四分仪的一边对准远处的目标物，从四分仪上读出BG的长度，利用直角三角形的相似性，即可求得EF的长度。类似地，可以利用四分仪来测量建筑物的高度或深度，如图23和24所示。在英国数学家狄格思《测量之术》⁶的扉页（图25）上，我们看到了16世纪另一种常用的测量工具——十字杆（或称雅各布杆）。这种工具是由一根长约4英尺的直杆以及与之垂直的滑动杆构成，直杆上有刻度，其单位长度与滑动杆长度相同。为了测量建筑物的高度，前后两个测量者分别将滑动杆调整到相差一个单位长度的位置，并调整观察点，使滑动杆恰好遮住建筑物。于是，两个测量者之间的距离就是建筑物的高度。其他距离的测量与此类似（见图26）。该测量方法背后的原理是相似三角形性质以及比例的性质。

6 数学交流

16世纪，很多数学书的扉页木版画都再现了数学家研讨数学问题的场景。蒙赫（V. Menher）是16世纪荷兰数学的先驱者之一，其《算术》（1556）一书的扉页木版画（图27）中，呈现了一群神态各异的数学家在讨论数学的场景。上半部分，六个人两两在讨论问题，桌上放置着四分仪、圆规、书本、正四面体；下半部分，左边的一位数学家在研究数列问题，值得注意的是，他正在写的数列似乎是，，，；中间一位手持圆规，正在构图；右边一位手捧书本，但侧耳在听他人讨论。类似于蒙赫的《算术》，荷兰数学家雷茨（W. Raets）的《算术》（1580）扉页也呈现了一群数学家研讨数学的场景（图28）。图中下半部分左右各坐着一位数学家，分别在研究几何与算术；上半部分，左边五人似乎在讨论算术问题（筹算与笔算），右边两人，一个在看地球仪，一个双手捧着四分仪；桌上摆着正二十面体、正四面体、圆内接正三角形、圆规、四分仪等。这些扉页木版画表明，在16世纪的欧洲，出现了许多由热爱数学的人们所组成的数学专业学习共同体。这些共同体的数学交流和研讨大大促进了数学思想的传播和数学学科的发展。

7 数学应用

16世纪的数学家十分注重数学在现实生活以及其他知识领域的应用，这个时期出现的许多数学应用方面的书籍，都冠以《实用算术》《实用几何》等书名。在16世纪的欧洲大陆，酒桶的设计和制造颇受关注。德国人弗雷（J. Frey）《酒桶测量》（1543）扉页木版画（图29）呈现的就是酒桶测量的场景，这是数学在现实生活中的应用的典型例子。英国数学家狄格思在其《军事算术》中将算术运用于军事，该书扉页木版画（图30）呈现了军营的布局，马匹、士兵和主帅的帐篷井然有序，站立的岗哨各司其职。德国数理天文学家阿皮亚努斯（P. Apianus, 1495-1552）将数学应用于天文学和地理学，在其《地理学导引》扉页（图31）中，我们看到天文学家用十字杆测量月与某些恒星之间的距离，由此确定观测地的经度的场景。

8 数学信念

16世纪的数学家常常把某个特定领域的知识比喻成一座城堡。英国数学家雷科德（R. Recorde, 1510?-1558）将他的一部天文学著作命名为《知识之堡》。在意大利数学家费里奇亚诺（F. Feliciano）的《算术与几何》（1526）扉页（图32），我们看到一把梯子和一把钥匙，其寓意是，数学是一座城堡，本书乃是进入这座城堡所需要的梯子与钥匙。雷科德在其代数课本《砺智石》（1557）中将数学比喻成“砺智石”，作者在该书扉页（图33）上用诗歌告诉读者砺智石的价值⁷：

艺术赖斯石，其用博而宏。 

心智付磨砺，暗昧得启蒙。 

愚钝变聪颖，敏慧更不同。

 欲使前程好，砺石见奇功。

实际上，为了激发学生的学习动机，吸引更多的人学习数学，16世纪的数学家往往会在其教科书中大力宣扬数学的价值。如德国数学家希尔（T. Hylles）在其《通俗算术艺术》（1592）中利用诗歌表达数学的价值：来学习数学吧，本书乃此艺之家 如果你想做一名威武的军人 如果你想谋一官半职享受富贵荣华 如果你想在你居住的庭院或乡间 选择物理、哲学或法律作为你的生涯 没有数学这门艺术 你的名声将永无闻达 我掌握了天文和几何学宇宙学、地理学和许多别的学科不在话下还有那悦耳动听的音乐 没有这门艺术，你就成了井底之蛙 你对它一窍不通，更不必说去作研究 没有了数，连那平常的计算都乱如麻 如果你想投身商贾 本书含有你所需要的任何算法 只因拥有了这一门艺术 你的思想和才能得到自如挥洒 哪怕你仅仅是个牧羊人 没有数的帮助，完成职责亦将艰难有加作者真可谓循循善诱、苦口婆心。从16世纪的数学家和艺术家对数学的评价可以看出，在那个时代，最受知识界推崇的学科莫过于数学了。

9 结语

以上我们看到，16世纪出版的数学书，特别是算术和几何课本，其扉页上呈现了丰富的数学文化内涵。其一，扉页的木版画部分反映了那个时代的数学教育情况，学校数学课程仍局限于古代的四艺，算盘算术十分盛行，但同时也存在笔算；热爱数学的人们常常进行数学交流。其二，数学家不仅仅关注算术、几何，他们在天文学、地理学等其他领域也往往有研究；他们重视数学在现实生活以及其他知识领域的应用，注重测量实践。其三，数学在知识界有着崇高的地位，数学的价值受到学者们的推崇。其四，数学教科书的作者热爱数学和数学教育，以传播数学、诱导人们学习数学为己任，展示了良好的敬业精神。

尽管16世纪的计算工具和测量工具在后世逐渐被废弃，但从数学教学的角度看，它们仍是十分有用的教学素材。例如，教师可以利用线算盘来讲授数位，可以利用四分仪和十字杆来讲解相似三角形的应用；课堂上介绍16世纪的数学，也可以让学生感悟数学的演进性，体会数学的应用价值和文化价值，体会数学背后浓郁的人文精神，从而展现文化之魅，达成德育之效。

注释

¹Katz, V. A History of Mathematics: An Introduction. Boston: Addison-Wesley, 2009. p. 425.

²Smith, D. E. A Source Book in Mathematics. New York: McGraw Hill Book Company, 1929. pp. 13-19.

³Fauvel, J. & Gray, J. The History of Mathematics: A Reader. Hampshire: Macmillan Education, 1987. pp. 279-290.

⁴Smith, D. E. Rara Arithmetica. Boston: Ginn & Company, 1908.

⁵Finaeus, O. Protomathesis. Paris: Sorbonico, 1532.

⁶Digges, L. A Booke Named Tectonicon. London: Felix Kyngston, 1556.

⁷Fauvel, J. & Gray, J. The History of Mathematics: A Reader. Hampshire: MacmillanEducation, 1987. pp. 279-290. 中文诗由作者撰写本文时自译.

作者简介：

汪晓勤，中国科学院自然科学史研究所博士，现执教于华东师范大学教师教育学院，主要研究方向为数学史、数学文化与数学教育。现为HPM 工作室主持人。

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