教学研讨｜分类加法计数原理与分步乘法计数原理
手机在手,备课无忧,学习不愁
点击上方蓝字，随时随地备课
关注“阳光备课”，点“往期文章”，必有你所需。
教学研讨所选素材大多来自国家教育资源公共服务平台的部级优课，或全国青年数学教师优秀课的获奖作品，由阳光备课整理，仅供各位老师参考，版权归原作者所有。
▍来源：网络
研讨素材一
1．教学内容解析
“分类加法计数原理和分步乘法计数原理”（以下简称“两个计数原理”）是人教A版高中数学课标教材选修2-3“第一章计数原理”第1.1节的内容，教学需要安排4个课时，本节课为第1课时．
计数就是数数．原理是在大量观察、实践的基础上，经过抽象、归纳、概括而得出具有普遍意义的基本规律．两个计数原理不仅是继续学习排列、组合和二项式定理的理论依据，更是处理计数问题的两种基本思想方法，在本章中是奠基性的知识．
从认知基础的角度看，两个计数原理实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的拓展应用，是体现加法与乘法运算相互转化的典型例证．
从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂的计数问题分解为若干“类别”，再分类解决；运用分步乘法计数原理解决问题则是将一个复杂的计数问题分解为若干“步骤”，先对每个步骤分类处理，再分步完成．综合运用两个计数原理就是将综合问题分解为多个单一问题，再对每个单一问题各个击破．也就是说，两个计数原理的灵魂是划归与转化的思想、分类与整合的思想和特殊与一般的思想的具体化身．
从数学本质的角度看，以退为进，以简驭繁，化难为易，化繁为简，是理解和掌握两个计数原理的关键，运用两个计数原理是知识转化为能力的催化剂．
因此，本课的主要任务是如何依托学生已有的认知基础总结得出两个计数原理，并能初步领会应用原理简捷地解决计数问题的要领．
根据以上分析，本节课的教学重点确定为：
教学重点：归纳出两个计数原理，并能初步用其解决一些简单的实际问题.
2．学生学情分析
计数问题学生并不陌生，在不同的学段都有相应的接触，特别是在高中数学《必修2》中学习“古典概型”时，学生又学会了用列举法解决最简单的计数问题；同时在学习和生活中，学生已经不自觉地会使用“分类”和“分步”的方法来思考和解决问题，这些都是学生学习两个计数原理的认知基础．
两个计数原理虽简单朴素，易学好懂，但如何让学生借助已有的数学活动经验，抽象概括出两个计数原理，并领悟其中重要的数学思想方法，实现认知的飞跃，则是本课必须要突破的难点所在．为此，抓住以下两个要点尤为重要：
一是要通过典型丰富的实例来帮助学生完成归纳提炼的过程，加强学生应用两个计数原理解决问题的意识——这是有效提升学生抽象概括能力的契机；
二是要在解决问题的过程中，始终突出两个计数原理的核心要素，即弄清“完成一件事”的含义和区分“分步”与“分类”的特征——这是如何选择两个计数原理的关键．
根据以上分析，本节课的教学难点确定为：
教学难点：根据实际问题的具体特征，正确理解“完成一件事”的含义；准确区分“分类”和“分步”．
3．教学目标设置
（1）通过给出的具体实例，学生经历两个计数原理的抽象概括的发现过程，能归纳出两个计数原理，并能说出两个计数原理的联系与区别，体会从特殊到一般的思维过程；
（2）根据具体的问题情境，学生能描述“完成一件事”的具体含义，说出“分类”与“分步”的区别，总结出应用两个计数原理的基本步骤；
（3）通过变式练习、引例探究和列举实例，学生会正确选择和应用两个计数原理解决一些简单的实际问题，领悟运用两个计数原理所包含的划归与转化、分类与整合和特殊与一般的思想方法，以及以退为进的思维策略.
4．教学策略分析
本节课是概念原理课的教学典范．拟定采取以退为进的教学策略，采用“情景引入—问题诱导—实例探究—抽象概括—原理应用—归纳总结—拓展铺垫”的探究发现式教学方法，紧紧围绕如何抽象、怎样概括、如何归纳和怎么应用等问题展开，通过典型丰富的实例引导学生归纳出两个计数原理，并能学会初步应用．
具体教学策略分成如下五个环节：
第一环节：创设情境，提出问题．从“神十的身份证号码”出发，引出“人造天体的编号问题”，通过问题设疑，引导学生在不断思考中获取两个计数原理的发现过程；
第二环节：实例探究，归纳原理．从以退为进的实例出发，通过先“两类”后“多类”，先“分类”后“分步”，先“加法”后“乘法”的逐步过渡，引导学生在加法与乘法相互转化的过程中提炼归纳两个计数原理；
第三环节：演练反馈，巩固提升．从选择两个原理解决计数问题的关键出发，通过“各取”“任取”等关键词的辨别，引导学生真正弄清“完成一件事”的具体含义，领会准确区分“分步”和“分类”的操作要领；
第四环节：归纳小结，认知升华．从放手让学生自主小结出发，通过提纲挈领的表格式小结，引导学生进一步加深对两个计数原理本质的认识；
第五环节：课后检测，拓展铺垫．从引发学生进一步思考出发，通过设置有关高考科目改革的热点思考题，为后继学习排列组合做好铺垫，激发学生进一步学习的欲望．
其教学流程如下：
关注公众号：阳光备课
关注公众号：阳光备课
研讨素材二
一、教学内容解析
（一）教材的地位和作用
本节课是人教版《数学》选修2-3第一章第一节（第一课时）。分类加法计数原理与分步乘法计数原理是人类在大量的实践经验的基础上归纳出的基本规律，是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法也贯穿在解决本章应用问题的始终，在本章中是奠基性的知识。
返璞归真的看两个原理，它们实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的推广，它们是解决计数问题的理论基础。从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后分类解决，各个击破；运用分步乘法计数原理是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”，先对每个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程。这样做的目的是为了分解问题、简化问题。由于排列、组合及二项式定理的研究都是作为两个计数原理的典型应用而设置的，因此，理解和掌握两个计数原理，是学好本章内容的关键。
（二） 教学目标
1．通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，经历从特殊到一般的思维过程，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣；
2．掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能说明两个计数原理的不同之处，能根据具体问题的特征、选择恰当的原理解决一些简单的实际问题，体现数学实际应用和理论相结合的统一美，经历从特殊到一般的思维过程；
3．经历由实际问题推导出两个原理，再回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程。
（三） 教学重点与难点
重点：归纳地得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单的实际问题。
难点：正确地理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征、正确地区分“分类”或“分步”。
二、学生学情分析：
1.认知基础：在学习必修2 “古典概型”时突出了树形图、列举法在计数中的作用；在学习和生 活中，我们会不自觉地使用“分类”和“分步”的方法来思考解决问题。
2.能力基础：高二学生有较强的观察能力和数学抽象概括能力。
3.可能障碍：一是应用原理的意识淡薄，二是不能根据问题的特征，正确地选择原理解决问题。
三、教学策略分析：
（一）教法分析
对于两个计数原理，不仅仅在于规律本身，更在于学生从已有的方法中发现原理、归纳原理，进一步深刻认识原理，在发现的过程中学会学习，学会探究，提升思维的品质。因此我采取引导学生分析典型事例，归纳共同特征，进一步抽象概括出两个原理的本质特征，最后通过应用示例，小组讨论，加深对原理的区分和思想方法的理解。
（二）学法指导
学生已具备一定的计数能力（树形图、列举法等），能解决一些基本的计数问题，包括本节课所涉及的一些实际问题，只是还没有上升到理论的高度。但是要由实际问题转变为数学知识，必须借助于老师的引导和帮助。而当归纳总结得出分类加法计数原理之后，运用类比的方式得出分步乘法计数原理对学生来说就并不困难了。同时，对于两个原理的应用，关键是能否根据具体问题的特征选择相应的原理，要指导学生感悟两个计数原理的区别与联系及其应用的前提条件、应用的注意点。
四、教学基本流程
五、教学手段
采用多媒体辅助教学，营造愉悦的学习情境。
六、教学过程：
关注公众号：阳光备课
关注公众号：阳光备课
（以上内容由网上搜索而来，版权归原作者所有，在此向作者致谢！文章部分内容由截图软件得到，可能不够清晰，若喜欢该资源请向作者或出版者购买，摘录、转载，是想为经济欠发达地区教师提高业务水平做点事,仅此而已,如有侵权,请联系删除,谢谢!）
欢迎来稿
有好文章、好素材请发至邮箱：
yangguangbeike@126.com
（阳光备课@126.com），让我们为经济欠发达地区教师提高业务水平做点事，谢谢！
全
文
完
相关链接：
C.【电视课堂】“CETV同上一堂课”、“粤课堂”，3月9日-13日课程表;
1.【家长辅导】人教网·辅导孩子学数学·系列(1-6年级的每一节课)；
2.【课堂实录】小学数学全套部级优课(1-6年级的每一节课)；
4.【课堂实录】高中数学全套部级优课(必修·选修的每一节课)；
欢迎转发朋友圈。