教学研讨｜ 2.2 基本不等式（2课时）（2019版新教材）

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▍来源：网络 

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研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到部分教师未有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

1.内容：

基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用.

2. 内容解析：

相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础.基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容.

基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关.  从数与运算的角度，  是两个正数a，b的“算术平均数”，  是两个正数a,b， 的“几何平均数”.因此，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算.  从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”，“等圆中，弦长不大于直径”，等等，都是基本不等式的直观理解.

其次，基本不等式的证明或推导方法很多，上面的分析也是基本不等式证明方法的来源.利用分析法，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式；从平面几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究不等式的几何解释；从函数的角度，通过构造函数，利用函数性质来证明基本不等式；等等.  这些方法也是代数证明和推导的典型方法.

此外，基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广至n个正数的几何平均值不大于算术平均值.  基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值.  同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法.  因此，基本不等式的内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养.

基于以上分析，确定本节课的教学重点：基本不等式的定义、几何解释和证明方法，用基本不等式解决简单的最值问题. 

本单元教学建议课时数：2课时.

二、目标和目标解析

1.目标：

（1）理解基本不等式  ，发展逻辑推理素养.

（2）结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养.

2.目标解析：

达成上述目标的标志是：

（1）知道基本不等式的内容，明确基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；会利用不等式的性质证明基本不等式，能说明基本不等式的几何意义.

（2）能结合具体实例，明确基本不等式的使用条件和注意事项，即“一正、二定、三相等”；能用基本不等式模型识别和理解实际问题，能用基本不等式求最大值或最小值；在解决具体问题的过程中，体会基本不等式的作用，提升数学运算、数学建模等核心素养.

三、教学问题诊断分析

由于学生缺少代数式证明的经验，所以基本不等式的证明是本节课的一个难点.基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解，所以这也是本节课的一个难点.

此外，在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认和或积为定值就求“最值”等问题，这也是学生思维不够严谨的表现，因此基本不等式的证明和利用基本不等式求最值也是本节课的难点.

四、教学重点、难点

重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；

难点：基本不等式的推导以及证明过程.

五、数学学科素养

1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程；

2.逻辑推理：基本不等式的证明；

3.数学运算：利用基本不等式求最值；

4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题；

5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。

六、教学过程：见《研讨素材二》

研讨素材二






研讨素材三

基本不等式

四、教材习题答案

    根据文末留言的要求，考虑到初三上高一学生预习的需要，这里提供教材的练习、习题及复习参考题等等习题答案，可能有错漏，仅供各位学生朋友参考。

END

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