什么是波？

编者按

不同材料的不同性质从何而来？我们知道材料的内部运动和形变对应于广义的波。由于每种材料有不同的内部结构，这些波可以满足不同的波动方程。而不同的波动方程就是材料不同性质的起源。凝聚态物理学家寻找打造具备各种各样不同性质的材料，其本质上就是在寻找打造各种各样不同的波动方程。而不同的波动方程，则起源于材料中不同的内部结构（这些内部结构，有个学名叫做序）。所以说凝聚态物理学家是波的工程师。

真空中也有各种各样的波，满足不同的波动方程。比如满足麦克斯韦方程的光波，和满足狄拉克方程的电子波。由于量子力学的波粒等同，真空中的波又对应于我们所谓的基本粒子。所以说，真空中波的起源对应于基本粒子的起源，也就是对应于物质的起源。那么是不是和通常的材料一样，真空中的波也是起源于真空中的内部结构（也就是真空中的序）？那么真空到底是由什么构成的？其中什么样的序可以给出麦克斯韦方程和狄拉克方程？找到这样的序就相当于找到了光和电子的起源。这些都是近代理论物理的前沿问题。

——文小刚

曹则贤（中国科学院物理所研究员，博士生导师）

1 引子

宋朝王安石作《字说》，谓“坡者，土之皮也”，苏东坡以“滑者，水之骨乎？”相讥。2007年夏在威海滩头，某与同事们提起这桩机锋，当时我的同事窦硕星研究员在场，忽大呼，曰：“曹，‘滑是水中骨’ 是有道理的。” 彼时我们都赤脚站在水下长着青苔的礁石上，顿悟古人造字之科学。滑，发生在液固界面上，果然‘乃水中骨也！’ 参照‘坡’字和‘滑’字，容易理解‘波者，水之皮也’。

地球与其它已知星球之最大区别在于地球的表面上存在大量的水。水是生命发生的前提，自然也是物理学发生的前提。水给物理学打上了深深的特征烙印，波(wave)、涨落(fluctuation)、镜像(mirror image)、涡旋(vortex)等关键物理学概念都来自于水。水表面处的分子密度大于体内，其表面张力在20℃时~72.75 mN/m，可以说水有一张弹性适中的皮，极易表现出水面的波动(图1)。因此，水波也就成为了一个人类也许在有文明之前就烂熟于胸的概念。水波随处可见，深入人心，也就深入了物理学！

图1. 水面上的水黾。水皮可以轻易地托起水黾；水黾虽小，其运动也能造成可观的水面波动。

在物理学中，取决于具体的语境，波被用来表示一种运动的形式，也被当作存在的形式，甚至有时不过只是一个空洞抽象的数学表达式。在机械波、电磁波（光波）、物质波（量子力学波函数）以及引力波这些概念中出现的波，以及在傅里叶分析和信号探测理论与实践中也许是隐性地提及的波，可能多有可检讨的内容。认真分析一下这些波的含义，其所依托概念的来源，其所由来的原初约束与限制，以及其下所依赖的数学，也许可以为对相应的物理学的深刻理解有些许的帮助。

2 机械振动与机械波

固体经历微小形变时，形变与应力成正比，此即为胡克定律，泰勒展开保证了这个公式的普适性。考察弹簧上一质量为m的振子的振动问题，引入，则振子的运动方程为

，                  (1)

此方程解的形式为

， (2)

这是一个单变量的三角函数。这即是说，振动在数学上被表示为位置关于时间的三角函数。与此同时，匀速圆周运动可表示为参数方程

，          (3)

可见匀速转动在任一方向上的投影是(2)式表述的简单振动。这说明，振动和转动实质上有某种一致性。振动与转动之间的转换是工业文明的基础。一个显见的例子是，缝纫机上踏板的来回振动会转化为传动轮的转动，传动轮的转动又转化为缝纫针的上下振动(图2)。 若作简谐振动(harmonic oscillation)的振子再叠加上匀速直线运动，定点振动将转化为振动，则会留下周期性、波浪形的空间图案（图2）。织毛衣的和用扫描隧道显微镜的都熟悉这个情景。

 
  图2. (上) 缝纫机展现系列的振动-转动-振动转变；（下）作为定点振动和匀速直线运动叠加结果的空间振动图案。

如果振动的物体有足够大的外延，比如一根弦，其上各点的振动之间则可能会是以某种方式耦合的。一根取向沿x方向的弦的运动方程，在小振幅近似下，为

，             (4)

其中是弦的质量密度，T是弦(因沿x方向被紧绷引起)的张力，x∈[0,L]，L是弦长。方程(4)可改写为

。            (5)

方程(5)形式的关于时间-空间变量的二阶微分方程是所谓的经典波动方程。注意，空间变量可以是多维的。对于一维情形，方程(5)的通解为

 (6)

人们把其中形式如

 (7a)

              (7b)

的称为行波解，其中的 k,ω, 满足，反映的是振动的长度周期和时间周期（一维情形下，k,ω就是两个数）。注意，弦上的每一点都在与弦垂直的平面内某个方向上振动，所谓的波速v反映的是点振动之间的关联(图3)。实际上，人们也愿意把k, ω看作是实在的物理量，ω是频率，k是波矢。波矢，表征波传播的方向，但实际上它是个切空间里的概念。在三维空间中定义的形如的函数，被称为平面波，意思是波前(wave front)为与方向垂直的整个平面。平面波展开是常用的计算方法，其合理性和有效性基于傅立叶分析。

图3. 弦的一维振动。

 (5)式的波动方程和类似 (7)式中的表示波的函数，都被当作经典物理中谈论波的基础，甚至成了波的化身，但其实它们远远不足以反映机械波的复杂性。比如，1834年英国人John Scott Russell发现水渠中行驶的船头总有一个高高的浪头。此现象涉及的浅水波概念被称为孤立波(soliton, 见图4)。此情景中，水面的运动满足KdV 方程

，       (8)

其解的形式为 

.   (9)

此解与(7)式中的解有相同的本质，是 x-vt 形式的变量的三角函数 （双曲函数是虚变量的三角函数）。这反映的是人们数学水平的局限，而非自然现象必然严格如此。水面上鱼儿随便打个水花，那波动就不是用三角函数能描述的。

图4. 水渠中行驶的船头会出现孤立波。

注意，这里得到的波动方程都是小振幅近似下的结果。这样的波动方程是线性的，因此其解是可以线性叠加的，这是我们在解类似问题可以使用复函数的原因—通过线性叠加总可以使得最后的振动表示是实的。

3 光的波动说

光充满宇宙。牛顿认为光是由颗粒(corpuscle)组成的，笔者猜测这可能是来自同雨丝的类比。光线与雨丝一起从夏日的乌云处一起落下，都给人以ray (射线)的印象。雨丝里有一个个的小雨滴，那光线也可能是由分立的颗粒组成的，只是颗粒个头太小不易分辨而已。荷兰的惠更斯比较水波的形象和烛光摇曳的影子，认为光应该是水波那样的波，此为光的波动说(图5)。光之波动说的确立有两个关键证据。1801年英国人托马斯·杨参照水波干涉(图6)所做的光双缝干涉实验，得到了如同波浪高低起伏的明暗相间条纹（图7）。1815年法国人菲涅尔从惠更斯原理，即波前上的每一点都可以作为次级波源，出发，对杨的实验结果给出了计算上的证实。菲涅尔的计算还预言，在光路上的圆形小物体，其所造成的阴影中心是亮的。该预言于1817年被实验观察证实。

图5. 石子在池塘水面引起的水波和摇曳的烛光（影）

图6. 自两个中心发出的水波的干涉

对双缝干涉实验的所谓计算解释，其关键词就是三角函数之和。对函数求模平方，可得周期函数，干涉条纹的明暗相间就是用这个函数解释的。当然了，对这个公式不可过于当真，即便计入狭缝的衍射效应所得到的强度分布公式也不能严格拟合实验得到的强度分布，而所谓的干涉花样强度分布的实验测量，本身就是个有趣的、困难的话题。

 
图7. 用现代仪器得到的双缝干涉条纹

不管怎样，光的波动说建立起来了。基于波的概念，或者说基于三角函数表示的振荡及一些其它信念，许多光的现象可以被解释得相当令人满意。此时的光是一种波，是某种物质的振动(vibration)。

4 麦克斯韦方程组与电磁波

在1861-1862年间，英国人麦克斯韦在总结前人电磁学研究的基础上，得到了一组方程

      (10)

其中第四个方程中的项被称为位移电流，是麦克斯韦添加上去的^[1]。1865年，麦克斯韦得到了关于电磁场的波动方程

       (11)

其中的波速具有和当时测得的光速大抵相近的值。这自然导致两个具有重要物理意义的问题：    

1)  电磁场可以是波?

2)  电磁波的波速等于光速？如果是，这意味着光是电磁波？^[2]

记住，对于此时的麦克斯韦，方程(11)描述的电磁波依然是个机械的概念。

1887年，德国人赫兹用图8所示的装置在电路旁边的用一根导线连着的两个锌球之间引起了电火花，这说明电磁场从线路中溢出来了。这个实验被看作是第一次产生了电磁波，不过也许同样重要的是，它第一次让人们注意到了光电效应。 既然实验产生了电磁波，且速度就是光速，且还存在大量的光-电和电-光效应，认为光是电磁波就是水到渠成的了。

所谓的用电路产生电磁波，电磁波是由电子经加速后向外辐射的。向空间辐射不同花样的电磁波，要求设计不同样式的发射天线；当然出于接收电磁波和探测电磁波源的考虑，人们也设计了各色各样的接收天线(图9)。实际上，天线设计本身就是一门复杂的学问。确立电磁波的来源，从来都不是一个简单的问题。

     图8.  赫兹产生电磁波所用电路的示意图。

图9. 雷达天线之一种。 探测我们非常熟悉的电磁波从来都不是一件简单的事情。

寻找光，现在是电磁波了，之振动实体或曰介质的过程是物理学史上的重大叙事。Michelson-Morley 实验的无结果表明，没有地球对光以太的相对运动。此实验被当作否定光以太存在的证据。今天的观点是，电磁波是场，它本身就是存在，它凭借自身向远处传播。

5 光的粒子说、物质波与量子力学波函数

1900年，普朗克从熵概念出发成功拟合了黑体辐射的实验曲线，其后顺着玻尔兹曼的统计物理思路也得到了该拟合曲线。后一条思路用到了一个重要的前提，即频率为的光，其基本能量单位是。这是1877年玻尔兹曼假设的再现。 1905年，爱因斯坦往前更进了一步，他假设如果频率为的光之能量是被固体按照一份一份地吸收的，则光电效应的系列实验结果就能得到完满的解释。此外，康普顿研究了电子对X-射线的散射，确立了光的能量量子子还对应明确的动量h/λ。到此，原先比照水波概念的光波，有理由被当作粒子(particle)了。注意，此时光是粒子（particle）的观念同牛顿的光微粒说还是有些区别的：比如，它有明确的频率或者波长的概念，其能量和动量则分别是固定的和h/λ。常数h被称为普朗克常数。

光是波还是粒子的观念激发了法国人德布罗意的灵感：如果光即是（水）波又是粒子，那么作为粒子的电子是否也是波，或者说也会表现出波的行为？1924年，德布罗意提出了物质波的概念：电子这样的粒子也是波，相应的波长和频率由粒子的能量E和动量 p给出

                         (12)

1927年美国人Davidsson 和Germer用电子束照射到镍晶体上，获得了如同X-射线晶体衍射那样的花样(图10)，算是首次验证了电子的波动性。

图10. 早期的电子束晶体衍射实验装置。此装置能得到的不过是电子束强度随θ角的点状分布。

德布罗意的物质波概念随着他的博士论文被送到了德国和瑞士。据说爱因斯坦对物质波的概念非常欣赏。劳厄认为关于物质波总该有个波动方程，薛定谔接受了为物质波构造方程的挑战并在1926年分四部分发表了题为《作为本征值问题的量子力学》的论文，提出了量子力学的波动方程

              (13)

其中，算符是系统的哈密顿量，而函数是粒子的波函数。波函数是关于时空的复函数，其模平方为粒子在空间某处出现的几率密度——如果这波函数可以归一的话。

粒子是波或者会表现出波动行为的想法，结果导致了量子力学以及波函数的概念。根据量子力学，粒子的所有物理信息都被包含在描述其状态的波函数中了。 考察如下的一维谐振子的波函数

(14)

虽然仍可见类似那样的因子，但却没有这样的因子了。这一点也不妨碍我们把(14)式中的函数称为波函数。量子力学带来了物理学的革命，也彻底改变了人类社会，至于其波函数中不（必然）含有这样的描述波动的因子，那有什么关系。波函数到底是什么，重要吗？嗯......，不重要吗？

与对应(7)式那样的经典平面波表示相比，量子力学平面波函数具有更多的内容，其中t是作为参数的时间，E是体系的能量，对应哈密顿算符；而是位置算符，是动量算符，两者还要满足量子化条件，h是普朗克常数，是量子力学的标签。

量子力学带来更多的认识。考察一维自由粒子，其哈密顿量为

        (15)

相应的定态薛定谔方程为

           (16)

满足波函数要求的形式解为cos(nx)，sin(nx)，x∈(x₀,x₀+2π)。根据量子力学（的数学），此处的哈密顿量是一个自伴随算符，其所有本征函数构成了一个完备正交基，即是说对于任何定义在(0, 2π)上的函数 f(x)，有

   (17)

这分明是傅里叶级数展开^[3]。

6 傅立叶分析

傅里叶级数是法国人傅里叶在研究传热问题时得到的。(17)式形式的展开威力巨大，连锯齿状的或者平台状的严重非光滑函数都可以根据(17)式展开成光滑的三角函数的级数——这个不可思议的特点最是它令人难以接受的地方(图11)。进一步地，对于时间的函数s(t)， 一般有傅里叶变换

          (18)

注意，此处与时间共轭的频率变量也是连续的。

有了傅里叶分析，一般的时空变量的函数 f(x,t) 都能表示为形式的函数对k,ω的求和或者积分。一条毫无变化的水平线经过傅里叶分析，如果只看其有限的傅里叶展开项，也能被当成波，如果波指的是形式的三角函数的话。在分析实践中，某个时空函数 f(x,t) 在固定点上表现为时间序列 f(x₀,t)，它可以按照(18)式被分析为是由具有某频率谱的波叠加而成的。探测到一个时间序列，将之解释为对波的探测，除了会作傅里叶分析的功夫，还要有其它的辅助性信念。

傅里叶分析容易让人想起托勒密的epicycle-on-deferent  理论，汉译本轮-均轮理论。圆周运动上叠加圆周运动是很容易得到各种可能不是很光滑的图形的，包括棱角分明的三角形——这是数学的威力(图11)。

    
图11. 用三角函数级数可以得到差不多你能想到的任何函数。

7 相对论与引力波析

在牛顿力学中，在引力质量M_g的引力场中运动的质点（惯性质量为m_i，引力质量为m_g）, 其运动方程为

             (19a)

在伽利略变换，下, 此方程形式不变。与此同时，电磁学的波动方程(11)则是在洛伦兹变换

 (20)

下保持形式不变；或者说，变换(20)保持（光的）时空距离函数

              (21)

不变。此为狭义相对论。显然，经典电磁学和引力的方程遵从不同的变换规律，这表明物理学内部尚不协调。爱因斯坦决定把狭义相对论也应用于引力问题，为此要把狭义相对论加以推广（generalized）。广义相对论建立在两个等价原理上。所谓的引力质量与惯性质量等价，是说方程(19a)可以约化为

                       (19b)

这里方程的左边是一个运动质点的加速度， 右边则是该质点遭遇的引力场。加上所谓的引力与加速度之间的等价性(即式(19b)可以移项)，而加速度可以从运动轨迹的曲率中得到，因此关于引力的描述就转化成了关于弯曲时空中路径之曲率的表述。

爱因斯坦根据以上考虑，从弱静引力场出发，于1915年构造出了他的引力场方程

     (22)

其中是时空的度规，是由得到的Ricci张量，T 动量-能量张量。方程(22)于 1916年正式发表，目前只有Schwarzschild解和Kerr解这两个严格解，这可能是因为方程(22)要满足微分同胚协变性，使用的是高度非线性的absolute differential calculus(绝对微分)语言(图12)。与高度非线性的方程(22)相比，经典波动方程和量子力学的薛定谔方程，甚至狄拉克方程，可都是线性的，那里得到的波，或者说(虚)变量 x-vt 的三角函数，作为方程的解，还是容易的。

图12. 爱因斯坦在苏黎世时期学习张量的笔记

对方程(22)作弱场近似，即考察远离大质量分布的几乎平坦的区域，将其度规写成的形式，其中是平直时空(闵可夫斯基时空)的度规，得到近似方程

         (23)

附加的规范条件为（横波，迹为零）。显然，（23）和方程(11)具有完全相同的形式，描述的是速度为c的横波。此即为引力波方程，此波振荡的主体是张量。或许如同量子力学波函数ψ，也是一个需要诠释但未被正确诠释的量。注意，所谓的引力波具有光速的说法，几乎不具有任何特别的物理意义。 爱因斯坦在构造广义相对论时，本来就是在推广狭义相对论，要求弯曲时空的局部满足洛伦兹变换，因此这个参数c是从一开始被加进去的。如果真有什么独立的、无心插柳式的实验，能得到与光速误差在一两个数量级内的时空度规振荡的相速度或群速度，那才真是对广义相对论的强力支持。

8 结语

本文检讨了自经典力学的机械波到广义相对论的引力波的诸多波概念。一个事实是，在各种不同语境中出现的波概念，其关切的物理量所涉及的物理现实与数学结构，后者还包括具体方程的形式和波的函数表达，还是有许多或细微或深刻的区别的。在物理学中，波既被当作运动的形式，也被当作存在自身的形式，其实本质上也不过是一个在我们有限的数学知识内容易掌握的工具形式。在真实的物理世界中，一根金属丝除了会象三角函数那样来回伸缩，它还会永久变形甚至断裂；水面上除了有贝塞尔函数那样的圈状波纹以及用双曲函数描述的孤立波，也有能打翻大船的湍流；电磁场除了会优雅地振荡着飞越真空，它还真能击穿空气产生闪电…… 物理的现实，不局限于形式简单的数学解。

波的概念，是物理学入门处第一根被具象化了的虚拟支柱，而已。《五灯会元》卷十七载青原惟信禅师句云：“老僧三十年前未参禅时，见山是山，见水是水。及至后来，亲见知识，有个入处，见山不是山，见水不是水。而今得个休歇处，依前见山只是山，见水只是水。大众，这三般见解，是同是别?” 于‘波’此一物理学关键概念，善知识，汝今在何境界？

注释

[1] 位移电流概念的引入，是麦克斯韦的神来之笔。但是，那又不仅仅只是神来之笔。

[2] 难免有此一问。那时候没有其它的任何速度可以同光速相比较，哪怕是到达其千分之一的水平。

[3] 我总觉得数学课本里的傅里叶分析表示
有点问题。虽然为零，但它在物理上也代表函数空间的一个维度，省略不得。

[4] 此变换是1887年由德国人Woldemar Voigt首先得到的。

[5] Gravitational wave. 请不要同gravity wave 弄混了，gravity wave 是水波。

[6] 物理学家可以象数学家那样随意做个减法吗？这个减法的物理意义是什么？

此文简版发表于《物理》45(5), 281-286(2016).

延伸阅读

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