EGMO气氛组在行动

虽然离第12届欧洲女子数学奥林匹克竞赛（EGMO）开幕还有22天，但本届比赛的“气氛组”已经在Facebook和Instagram上营造比赛气氛了。

气氛组发布的内容基本上分为四个部分：比赛的宣传画及对比赛的介绍，对前EGMO选手的采访视频，对历史上女数学家的介绍，以及热身趣题等。

这些热身趣题大多无外乎脑筋急转弯或者益智题，毕竟其目的就是营造气氛，不过其中也有一两题略微有些意思。

第一题：

一群宇航员被困在了远离基地的地方。他们有几辆相同的车，但每辆车的油箱哪怕满载也只够开过半个沙漠的汽油。宇航员们意识到，他们可以在旅途中的任何地点在车辆的油箱之间重新分配汽油。为了使至少有一辆车能够返回基地，他们至少需要多少辆车？

虽然是第一题，但它倒不是脑筋急转弯级别的问题。

很显然，这里需要一个“保姆车”的方案，即多辆“保姆车”护航一段距离后，用剩下的汽油保证一辆“天选之车”回到基地。我们假设受困地点到基地的直线距离为1，汽油的容量用可以跑的距离来表示，因为满箱油可以跑半个沙漠，所以每辆车最多载油1/2。

现在倒过来思考这个问题：既然最后一程是一辆车开回了基地，那么最后一程前的加油点就在沙漠的中点，到达这个加油点后所有车辆剩余的总油量至少为1/2。

如果受困点和中点之间没有其它加油点，那么哪怕所有的车从受困点出发时是满油箱，到达中点时油箱就空了，没有多余的油可以“匀”给“天选之车”返航。所以，在受困点和中点之间必然还有1个加油点X。

因为“保姆车”开动起来也要费油，所以从加油点X到中点之间负责送油的“保姆车”越少越好。这样，至少需要1辆“保姆车”和1辆“天选之车”从加油点X开到中点。2辆车满载的总油量为1，所以从加油点X到中点之间耗费的油量为1/2，这样，加油点X到中点的距离为1/4。

因此，受困点到加油点X的距离也是1/4，如果一共只有3辆车，那么满载出发最多载油3/2，到达加油点X时耗费油量为3/4，剩下的油量为3/4，不足以支持剩下两辆车继续前往中点。

所以，至少需要4辆车：从受困点出发时总油量为2，4辆车到达加油点X时耗费油量为1，剩下的1个油装满2辆车的油箱。这2辆车继续前往中点，耗费油量为1/2，剩下的1/2个油装满“天选之车”的油箱，这些油正好可以保证它从中点返回基地。

我们的文章中曾经讨论过类似的问题，该问题来自于荷兰的数学竞赛“数学大日子”，详见【1】。

第二题：

移动一根火柴使得等式成立。

这道题回到了益智题的水平。

这道题的“梗儿”在于不能局限在一个等式上……如果把最右边的“8” 改成“6”，将拿出来的这根火柴移动到减号上，这样等式变成了“6 = 6 = 6”，自然就成立了！

第三题：

牧牛人帕夫勒在斯洛文尼亚山区放牛。他观察到，10头牛在总共5天内吃完了2英亩田地上所有的草（包括在这段时间内田地上所有额外长出的草）。他还观察到，11头牛在4天内吃完了2英亩田地上所有的草（包括在这段时间内田地上所有额外长出的草）。如果3英亩田地上放了15头牛，需要多少天才能吃完所有的草？

你看看，咱国内小学经典的“牛吃草”问题来了。

这道题其实用不上“牛吃草”这把刀，甚至只需要使用第一个条件就可以得到答案。

从“10头牛在总共5天内吃完了2英亩田地上所有的草”，得出“5头牛在总共5天内吃完了1英亩田地上所有的草”。现在牧牛人在3英亩田地上放了15头牛，相当于在1英亩田地上放了5头牛，所以正好需要5天。

第四题：

蓝色圆的半径为r，绿色圆的半径为3r。蓝色圆沿着绿色圆滚动，直到回到起点。蓝色圆一共旋转了多少圈？

这个题目的关键在于理解自转和公转。比如月球绕着地球旋转，月球始终只有一个面朝向地球，其自转周期等于公转周期，所以一个周期下来月球其实也旋转了一周。

绿色圆半径是蓝色圆半径的3倍，所以绿色圆周长也是蓝色圆周长的3倍，蓝色圆沿着绿色圆滚动一周，自转是3周，加上公转1周，所以蓝色圆一共旋转了4圈。

类似的问题也出现在今年比利时法语区数学奥林匹克Mini组半决赛的第23题中。

第五题：

现有2023个大小各不相同的信封。任意信封可以包含比它更小的信封，也可以放入比它更大的信封中，或者单独放在盒子里。那么，这2023个信封一共可以有多少种不同的方式放在盒子里？

这道题能够算上是一道竞赛的入门题。

显然，每个信封具体有多大并不是关键因素，不失一般性，可以假设这些信封的大小分别为1, 2, 3, …, 2023。

同时注意到，任何一种放置方式都可以用一棵多叉树的结构来表示。比如下面这棵树a表示的就是5个信封的一种放置方式，即信封2和3放在信封4中，信封1放在信封5中，然后信封4和5一起放在盒子里。

而树b表示的就是5个信封的另一种放置方式，即信封1放在信封2中，信封2放在信封5中，然后信封3、4和5一起放在盒子里。

注意到，在盒子或者同一个信封中的多个信封之间是不存在顺序关系的。比如，树a中信封5的子树也可以放在信封4的子树的上面，而树b中盒子里3个信封的顺序也可以是信封4、信封3和信封5。

因此，为了计数方便，我们约定对于每一种放置方式，在其树的表示中，同一个节点下的子树都按照信封的大小从上到下排列。

这样，我们就可以把树的表示方式进一步简化成数字串的表示方式。比如，树a用数字串可以表示为42351，树b则可以表示为34521。

数字串和树两种表示方式之间的转换规则很简单。从树转换到数字串，只需对树进行从上到下进行深度优先遍历。从数字串转换到树，只需考虑每两个相邻数字之间的大小关系：对于从左到右相邻的两个数字m和n，如果m大于n，则表示信封n放在了信封m中；如果n大于m，则表示信封m和信封n处于同一个信封或者盒子中。

通过这种转换，我们发现，n个信封的任何一个放置方式都唯一对应于n个数字的一个排列；反过来，n个数字的任何一个排列也唯一对应于n个信封的一个放置方式。而n个数字的排列一共有n!种，所以n个信封的放置方式也一共有n!种。

所以，2023个信封的放置方式一共有2023!种。

参考出处：

1. https://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/28292/