近世代数之环论与域论初步相关内容简要复习

1.环就是在交换群的基础上添加一种运算,使得新运算的交换律和对原运算的分配律得以实现.

例1 设是交换环,是中的一个可逆元,且存在自然数使得,证明:是可逆元.

证明 由于

于是

例2 设是一个环,假定对所有成立,证明: 对所有成立.

证明 注意到对任意的,有,于是.

2.理想(ideal)在环论中的作用类似于正规子群在群论中的作用,不过请注意理想不是子环,因为非平凡的理想不含单位.

例3 设为全体形为

的实矩阵构成的环,求出的所有理想.

证明 考虑以下3个元素生成的主理想:

有3个非平凡理想

设是任何一个非零理想,则包含一个非零元素

分和三种情况讨论,得到是之一.

例4 设是交换环,是的一组两两互素的理想,证明下列命题:

(1)对任何的存在使得,而对所有都成立.

(2)(中国剩余定理)对任何,存在使得对所有的都成立.

证明 (1)对任何,由于,存在使得,令,则对所有的成立且

(2)设是满足(1)中条件的一组元素,则满足要求.

应用(FDU2012期末) 满足条件

的最小自然数.

(注意到

的余数为83.或者直接注意到满足前两个条件的数为,再结合第三个条件直接得到.)

例5 设是环的两个理想,定义映射:

证明:

(1) 是环同态;

(2) 是单同态当且仅当;

(3) 是满同态当且仅当.

证明 (1)设,则

因此是同态.

(2)设,则,因此;若,则,故,所以.

(3)设,则存在,使得,对任意,则

故是满同态,反之,则存在,使得,即,于是,所以.

例6.设是把多项式映射到的同态,证明:是和生成的理想.

证明 设,则存在和,使得

又存在和,使得由于,即.由于中每一项的次数是奇数而中每一项的次数是偶数,故,因此包含在由和生成的理想中.

应用(FDU2017期中) 设是中由生成的理想,求商环到的所有环同态.

(设,则,进一步求出,于是

3.域就是交换可除环,可除环但不可交换环称为体.

4.局部化方法从整数环出发构造有理数域;素理想与极大理想的关系.

例7 求环的所有极大理想.

证明 令,则都是的理想,由于,其中是极大理想.

应用(FDU2017期中) 求的所有极大理想.

例8 证明由多项式和在中生成的理想是极大理想.

证明 令

为由生成的理想,于是中的任意一个元素可表示为因此对所有成立,于是,因此是极大理想.

例9 设是交换环,证明:

(1) 的一个理想是素理想当且仅当是整区;

(2) 的任何一个极大理想都是素理想.

证明 (1)设是素理想,若,则,于是或,即或是中的零元,所以是整区,反之,若是整区,设,,则都是中的非零元,因此,即,即是素理想.

(2)设是的极大理想,则是域,它是整区,故利用(1)的结论知是素理想.

5.多项式与函数的关系(域的特征为0或正素数),即不同的多项式在有限域上的函数可能是一样的,常见分解:

证明 证明每个是的零点,若,则命题得证,注意到中非零元全体构成乘法群,阶为,由Lagrange定理,有对每个成立,于是中的每个元素都是的零点.

例10 设,,,求除的商和余式.

解

例11 证明不是主理想整区.

证明 设是由和生成的理想,这是由所有常数项为偶数的整系数多项式生成的非平凡理想,设是由生成的主理想,则存在,使得

于是,这与矛盾.

例12 将多项式分解成上的不可约多项式的乘积.

证明 注意到

令,由于,不可约,令,由于,故无一次因式,假定,则对应系数相等得到无解,故,由得到,于是

例13 设是含有4个元素的域, 是中的一个非零元,证明: 是上的不可约多项式.

证明 设

则于是,而,由于在乘法下是3阶群,于是对任何的成立,所以不成立.