比翱学堂丨采用阻抗管对声学材料进行全逆多孔弹性表征的案例研究
原文作者：Mecanum Inc/Kevin Verdiere,Noureddine Atalla,Raymond Panneton 译定：Prosynx Technology Inc/James Pang
摘要
本文给出了一个使用阻抗管测量对开孔多孔弹性体泡沫材料的材料特性进行全逆法表征的应用案例。本文旨在说明控制阻抗管侧向边界条件的重要性，并选择合适的声学模型以获得最精确的材料特性。本案例使用四英寸厚的三聚氰胺泡沫和100毫米直径的阻抗管。泡沫采用机械切割方法以和圆管匹配。然而，切割过程并不完美，在材料和管之间存在微小的横向气隙（即，直径为100毫米的管，而泡沫样品直径为99.5毫米）。典型的表征过程是直接和间接测量混合使用以获取泡沫材料特性。首先，直接测量开孔孔隙率、体密度和静态流阻率。其次，通过基于阻抗管测量的逆推法来识别扭曲度、粘性和热特性长度以及弹性特性。逆推法使用不同的框架行为模型（刚性、软性或弹性）和选择不同的横向边界条件（有或无横向气隙）。本文讨论了框架行为模型的选择和横向边界条件的影响。值得注意的是，微小的气隙会严重影响逆推法获得的材料特性。此外，框架模型的选择对逆推法质量的影响较小，但允许或不允许对弹性特性进行表征。最后，提出了提高逆推法过程精度的建议和指导意见，并讨论了其局限性。
多孔材料通常用于声学应用，由固体部分与流体部分（如空气）耦合而成。为了优化、选择或创建这种类型的材料，振动声学行为预测成为一个不可忽略的因素。为了模拟它们，需要建立特有的参数模型。根据所需预测的精度，可以采用不同的方法。如果固体部分太硬或太软，则可以使用仅考虑流体部分并使用刚性或软性假设[2]的流体等效方法[1]。相反，如果固体部分不可忽略。可以用比翱理论模拟为多孔弹性材料[3]。根据这一理论，材料由流体-固体耦合方程控制，预测材料中三种波的传播：流体和固体相中的两个压缩波和固体相中的一个剪切波。但是，必须知道每个相的固有参数。通常，必须确定9个参数：孔隙率、静态流阻率、扭曲度、粘性特征长度、热特征长度、杨氏模量、泊松比、结构阻尼和体密度。有三种方法可以确定这些参数：直接测量、间接测量和反向测量。直接测量包括使用特定设备分别评估每个参数。间接测量包括从阻抗管测量中提取扭曲度以及粘性和热特征长度[4，5]。通过动体密度和动体积模量的测量，并知道了孔隙率和静态流阻率，通过反解决等效流体模型方程，可以得到其他三个流体参数。同样，可以通过测量多孔材料中导波产生的位移并反转理论模型[6]来估算力学参数。逆向测量包括使用全局优化迭代过程对实验数据的理论模型进行曲线拟合。基于阻抗管测量（例如吸收系数或表面阻抗），证明了逆推方法[7、8、9、10、11、12、13、14]是最合理的方法并已经在商用软件中应用，例如Mecanum Foam-X软件[15]。选择直接法、间接法和逆向法是根据时间、材料和人力成本，以及所获得数据的质量（如鲁棒性）。例如，可以采用混合方法，即使用逆方法，并固定一些通过直接测量获得的参数。
本文给出的案例是采用全逆法从阻抗管测量中识别开孔多孔弹性体材料特性参数。它旨在说明控制阻抗管中的横向边界条件的重要性，并选择适当的声学模型以获得最精确的材料特性（即等效流体或多孔弹性模型）。接着，对泡沫材料的制备、直接测量系统和反推过程进行了探讨。
材料准备
为了说明表征过程，选择了一块四英寸厚的三聚氰胺泡沫作为均质多孔材料。泡沫采用机械切割，以适应所有直接测量系统。这些系统需要具有两个不同直径（100 mm和44.44 mm为典型值）的圆柱形样品。切割过程包括使用一个垂直钻头和一套圆形刀模（图 1）。然而，由于材料厚度大，这种切割工艺并不完美。对于直径为100 mm和44.44 mm的目标，实际值分别为99.5 mm和44.0 mm（图 2）。每种直径切割了三个样品。
直接测量
本节介绍了直接测量过程中的所有细节。在对样品进行破坏性试验（例如，添加凡士林以确保完全密封）之前，首先不进行破坏性试验。
尺寸
在开始使用表征设备之前，有必要了解每个圆柱形样品的几何结构。用卡尺测量其尺寸（即厚度和直径）。可以进行多个点测量，其统计值见表1。此外，沿着厚度方向进行多次测量，以确保直径沿着该轴方向恒定。
孔隙率和密度
为了获得泡沫的开孔孔隙率和密度，使用孔隙率与密度仪（图3）。该方法是基于阿基米德测量原理应用于泡沫的固相[16]。由于设备的测试仓不允许使用更大的材料，因此每个直径为100 mm、厚度为4英寸的样品单独进行试验。然后计算统计值并在表1中给出。
扭曲度和特征长度
为了测量扭曲度，使用了基于空气中透射和反射方法的透射和反射扭曲度仪（图4）[17，18]。由于超声波在4英寸厚的样品中传播的衰减很高，因此不采用透射法。在这种情况下，使用反射测试台。超声反射技术是在测量多孔材料表面第一反射波瞬时斜向反射系数的基础上获取扭曲度。在超声波频率下，对于大多数多孔材料，由于声波在介质中的高衰减，多孔材料中的多重反射效应可以忽略不计。对每个样本进行测量，并计算统计数据，如表 1所示。可使用双气体法直接测量两个特性长度[19]。然而，由于时间限制和却是第二种气体，未进行直接测量，这两个特征长度由成熟的反演方法确定[7，14]。
表1由直接测量和两种逆推法得到的泡沫材料参数，并对三个样本计算统计数据。
弹性参数
泡沫材料被认为是各向同性固体部分和均匀流体部分相耦合的材料〔3〕。为了获取固体部分的参数，使用准静态力学分析仪（QMA）（图 5）。QMA系统测量各向同性多孔弹性材料的三个弹性特性：杨氏模量、泊松比和结构损耗因子。表征测试是基于参考文献20中详述的技术，并遵循标准ISO 18437-5[21]。对至少两个具有不同形状因子的圆盘形样品进行低频压缩试验。在这些频率下，间隙空气对弹性参数的影响有限，因此可以忽略不计。该方法是基于对圆盘形多孔弹性试样在静态压缩下进行高阶轴对称有限元模拟得到的压缩刚度、杨氏模量、泊松比和形状因子之间多项式关系的展开。这些关系解释了这样一个事实，即当圆盘样品在两个刚性板之间被压缩时，“倾向于”向侧面膨胀。使用所测量的压缩刚度，结合识别算法计算泡沫的弹性参数。所得统计值见表1。
阻抗管
如引言中所述，逆推法是基于声学特性（如吸声系数、动态体积密度和体积模量等）的一种曲线拟合。本文仅给出了两种逆推方法（即等效流体[7]和多孔弹性逆推法[14]）。它们都需要通过阻抗管获得吸声系数（图6）。但是，根据所使用的方法，必须使用特殊的安装条件来测量该指标。对于等效流体方法[7]，样品必须贴合在管道中（即无横向气隙），并且可以背衬在硬壁上或带空腔。对于多孔弹性方法，建议采用两种安装设置[14]。在第一种情况下，将样品放置在管中心，粘合在刚性终端上，并切割比管子直径略小，以便自动产生横向气隙，以控制横向边界条件。在第二种情况下，样品粘合在刚性端和边缘被约束住（即，样品被切割得比管直径大一点）。然而，边缘约束效应出现了。Vigran等人注意到的影响[22]是多孔弹性材料可能会变得更硬，这会导致声学指标的发生频率偏置，从而导致对机械性能的错误估计。Song等人[23]也注意到了这一影响，并强调了在模型中考虑真实管边界条件的难度。第一个安装装置是保留的装置，因为样品比管稍小。为了将三聚氰胺泡沫粘合在刚性终端上，使用双面胶带。图 7显示了在直径为100 mm的管子中获得的吸声系数。可以看出，机械共振出现了。
静态流阻率
静态流阻率是采用根据标准ISO 9053-91[24]设计的流阻仪，使用直径为100 mm的样品直接测量得到的（图 8）。该参数是通过测量整个试样的压力降来获得的，该压力降与体积流量有关。为确保周围无泄漏，使用凡士林将试样密封至样品容器中。所得统计值见表1。
逆推表征
在使用逆推算法之前，应了解它是如何工作的，以获得物理上具有代表性的结果，并避免“垃圾进，垃圾出”的困境。取决于是否需要获取弹性参数，可以选择使用等效流体或多孔弹性模型的算法。本节将讨论这两种方法。
为了得到好的逆推结果，所测量的吸声质量是很重要。正如Atalla和Panneton的工作[7]中所注意到的那样，为了更好地估计五种流体参数，吸收系数必须覆盖图 9所示的3个特定区域。每个区域对应一组可识别的参数。如果无法观察到这些区域，必须增加样品厚度，或者必须提供一些材料参数（例如，孔隙度和流阻率），以帮助收敛。此外，吸声系数必须显示与弹性共振相关的下降，以便识别搜索到的弹性参数。在图 7所示的测量吸声曲线中，在400赫兹左右可以观察到这种下降。同样，当某些材料参数已知时，它们可以作为固定参数，以减小搜索域的大小。这有助于加速收敛。
等效流体逆推法是基于约束微分进化算法，采用了Johnson-Champoux Allard（JCA）模型[1]。成本函数是实验数据与模拟数据之间的残差。该模拟包括在阻抗管中获得法向入射声吸声系数，其中泡沫占据管子横截面（无横向气隙），其支撑在硬壁上。
多孔弹性逆推法是基于约束微分进化算法和比翱理论，也采用JCA模型。与前面的方法一样，成本函数是相同的。采用层次轴对称有限元法（axiFEM）得到拟合数据。多孔弹性单元用(u, p)-多孔弹性公式[26，27]表示，流体单元用声学公式[26]表示。两个单元之间使用耦合方程[26]。通过一个简化的数值问题再现阻抗管结果。样品可以在阻抗管中边约束或横向自由。要使用该方法，除了设置材料的体积密度外，还必须设置其他输入数据：层次轴有限元的阶次（通常为4或5）、管和样品几何以及安装条件。
这两种算法都需要限制搜索域，并在Foam-X软件[15]中得到实现。表2给出了每个搜索参数的允许范围。
表2逆推法中使用的每个搜索参数的允许范围。
等效流体逆推法
在应用此方法之前，必须进行三个基本验证。首先，为了在不固定其中任一参数的情况下获得五个等效流体参数，吸声数据必须呈现图9所示的三个典型区域。对于我们的案例，我们遵照了这个原则（图10）。第二点是吸声数据不包含力学行为，如机械共振或安装条件的影响。然而，从150Hz到650Hz，吸声曲线受到机械共振的影响（图10）。因此，该曲线部分不用于逆推过程。最后要验证的一点是样品没有横向气隙。在我们的例子中，样品横截面比阻抗管的横截面小一点（即99.5 mm对100 mm）。这1%的横向气隙将导致低估或高估等效流体参数。图10给出了实验数据与通过反演一个样本获得的模拟数据之间的比较。表 1给出了对多个样本应用此逆方法后获得的统计数据。可以看出，与直接测量相比，流阻率被低估，孔隙率被低估。如果孔隙率是固定的，逆推法将给出更大的流阻率差异（大约7500Nm-4s）。当出现误差时，最好通过观察样品、其在管内的安装情况及其声学响应来修正逆推方法。由于被测样品比管直径小，且表现出力学行为，因此采用多孔弹性反演方法更为合适。
多孔弹性逆推法
在实施多孔弹性逆推法之前，必须进行两个验证。第一个是确保吸声数据包含足够的信息。对于等效流体法，吸声曲线必须首先覆盖三个典型区域，但也必须包含用于弹性识别的机械共振。对于我们的案例，第一个检查点是符合的（图 10）。
第二个验证是在阻抗管和样品之间设置正确的边界条件，因为这种逆推方法是基于有限元法的。为了验证1%的横向气隙边界条件是测量吸收数据中最具代表性的条件，对不同边界条件下直接法获得的模型参数进行了三次模拟。图 11、图 12和图 13分别展示了使用固结、滑移和1%横向（周向）气隙边界条件的轴有限元获得的实验数据和模拟数据之间的比较。可以放弃粘结和滑动条件情况，因为此时只有在仿真数据中出现1500赫兹到2000赫兹之间的机械共振，而实验曲线中没有出现这种共振。最后，1%的横向气隙模拟是与测量最接近的模拟。因此，多孔弹性逆推是建立在这种边界条件的基础上的。
从图13还可以注意到，如果忽略弹性行为区域，则直接测量得到的模型参数可以很好地预测吸声曲线。实验曲线和模拟曲线之间差异可由两个因素引起。第一个因素是样品可以接触阻抗管壁，多孔弹性材料会变得更硬，这会导致声学指标随频率偏置[22，23]。第二个与直接测量设备有关：QMA。在Dauchez的论文〔25〕中，他解释了在静载作用下泡沫样品的前表面和后表面上的支柱的屈曲导致QMA低估了与空载静载荷情况下的杨氏模量。
现在将样品的体密度和管的几何尺寸提供给逆算法。将有限元阶次设置为4个，并使用60个规则间隔频率点来评估成本函数。所有其他参数都是自由的，其允许范围如表 2所示。在没有CPU并行的Intel Core i7 CPU上，逆推过程持续4分钟。表 1包含已识别的参数。图 14显示了实测数据与通过逆推法获得的模拟数据之间法向吸声比较。在包括弹性共振区在内的整个频率范围内，吸收数据得到了很好的再现。如表 1所见，机械参数接近于用QMA获得的参数。然而，用逆方法得到的杨氏模量和阻尼损失因子与QMA之间存在着差异。如前所述，它可以由于安装设置和QMA导致。此外，在多孔弹性逆推法论文[14]中，研究表明，样品越刚性，对QMA静载荷的敏感度越低，则多孔弹性逆推法法与QMA之间的相关性就越好。
结论
本文展现了一个案例，就是用直径为100 mm的阻抗管测量了四英寸厚的三聚氰胺泡沫数据利用完全逆推法获取材料特性。结果表明，典型的表征过程是采用直接和间接测量混合的方法，以获取泡沫材料的特性。首先，直接测量得到开孔孔隙率、体密度和静态流阻率。第二，扭曲度、粘性和热特性长度以及弹性特性采用逆推法识别得到。研究还表明，控制阻抗管中的横向边界条件（切割工艺不完善）和选择合适的声学模型以获得最精确的材料特性（即等效流体或完全多孔弹性模型）的重要性。值得注意的是，微小的气隙会严重影响逆向表征的材料性能。此外，骨架模型的选择对逆推质量的影响较小，但允许或不允许对弹性特性进行表征。最后，通过多个数值实例对这些方法进行了验证，并给出了正确的答案。然而，人的因素也不容忽视。逆推法过程的准确性首先取决于输入数据的质量以及如何获得这些数据。换言之，被测材料必须遵循逆推法中的模型使用，而如何进行测量是成功识别的关键。采用轴对称有限元方法，考虑弹性行为和横向安装条件（即固结或有气隙）时，多孔弹性逆推法是目前最合适的方法。
参考
1. Allard, J.F. and Atalla, N., Propagation of Sound in Porous Media: Modelling Sound Absorbing Materials Second Edition (Wiley, 2009),doi:10.1002/9780470747339.
2. Panneton, R., “Comments on the Limp Frame Equivalent Fluid Modelfor Porous Media,” J. Acoustic. Soc. Am. 122(6): EL217-EL222, 2007,doi:10.1121/1.2800895.
3. Biot, M.A., “Theory of Propagation of Elastic Waves in a Fluid-SaturatedPorous Solid,” J. Acoustic. Soc. Am. 28(2):168-178, 1956,doi:10.1121/1.1908239.
4. Panneton, R. and Olny, X., “Acoustical Determination of the Parameters Governing Viscous Dissipation in Porous Media,” J. Acoust. Soc. Am.119(4):2027-2040, 2006, doi:10.1121/1.2169923.
5. Olny, X. and Panneton, R., “Acoustical Determination of theParameters Governing Thermal Dissipation in Porous Media,” J. Acoust. Soc. Am.123(2):814-824, 2008, doi:10.1121/1.2828066.
6. Boeckx, L., Leclaire, P., Khurana, P., Glorieux, C. et al., “Investigation of the Phase Velocities of Guided Acoustic Waves in Soft Porous Layers,” J.Acoust. Soc. Am. 117:545-554, 2005, doi:10.1121/1.1847848.
7. Atalla, Y. and Panneton, R., “Inverse Acoustical Characterization of Open Cell Porous Media Using Impedance Tube Measurements,” Can. Acoust.33(1):11-24, 2005.
8. Fellah, Z.E.A., Mitri, F.G., Fellah, M., Ogam, E. et al., “UltrasonicCharacterization of Porous Absorbing Materials: Inverse Problem,” J. Sound Vib.302(4-5):746-75 9, 2007, doi: 10.1016/j.jsv.2006.12.007.
9. Alba, J., Rey, R.D., Ramis, J., and Arenas, J., “Investigationof the Phase Velocities of Guided Acoustic Wave in Soft Porous Layer,” Arch.Acoust. 36(3):561-574, 2011, doi:10.2478/v10168-011-0040-x.
10. Zielinski, T.G., “Normalized Inverse Characterization of SoundAbsorbing Rigid Porous Media,” J. Acoust. Soc. Am. 137(6):3232-3243, 2015,doi:10.1121/1.4919806.
11. Bolton, J.S. and Hong, K., “Inverse Characterization ofPoro-Elastic Materials Based on Acoustical Input Data,” presented at ASA 2009,USA, Oct. 29, 2009.
12. Chazot, J.-D. and Zhang, E., “Acoustical and Mechanical Characterizationof Poroelastic Materials Using a Bayesian Approach,” J. Acoust. Soc. Am.131(6):4584-4595, 2012, doi:10.1121/1.3699236.
13. Vanhuyse, J., Deckers, E., Jonckheere, S., Pluymers, B. et al.,“Global Optimizations Method for Poroelastic Material Characterization Using aClamped Sample in a Kundt Tube Setup,” Mech. Syst. Signal Process.68-69:462-478, 2016, doi: 10.1016/j.ymssp.2015.06.027.
14. Verdiere, K., Panneton, R., Atalla, N., and Elkoun, S., “InversePoroelastic Characterization of Open-Cell Porous Materials Using an ImpedanceTube,” SAE Technical Paper 2017-01-1878, 2017, doi:10.4271/2017-01-1878.
15. ESI Group/Mecanum Inc., “Foam-X,” http://www.mecanum.com/en/software/foam-x/.
16. Salissou, Y. and Panneton, R., “Pressure/Mass Method to MeasureOpen Porosity of Porous Solids,” J. Appl. Phys. 101:124913, 2007,doi:10.1063/1.2749486.
17. Allard, J.F., Castagnede, B., and Henry, M., “Evaluation of Tortuosityin Acoustic Porous Materials Saturated by Air,” Review of ScientificInstruments 65:754, 1994, doi:10.1063/1.1145097.
18. Fellah, Z.E.A., Berger, S., Lauriks, W., Depollier, C. et al., “Measuringthe Porosity and the Tortuosity of Porous Materials Via Reflected Waves atOblique Incidence,” J. Acoust. Soc. Am. 113:2424-2433, 2003,doi:10.1121/1.1567275.
19. Leclaire, P., Kelders, L., Lauriks, W., Melon, L. et al., “Determinationof the Viscous and Thermal Characteristic Lengths of Plastic Foams byUltrasonic Measurements in Helium and Air,” J. Appl. Phys. 80(4):2009-2012,1996, doi:10.1063/1.363817.
20. Langlois, C., Panneton, R., and Atalla, N., “Polynomial Relationsfor Quasi-Static Mechanical Characterization of Isotropic PoroelasticMaterials,” J. Acoust. Soc. Am. 110(6):3032-3040, 2001, doi:10.1121/1.1419091.
21. The International Organization for Standardization (ISO), “MechanicalVibration and Shock -- Characterization of the Dynamic Mechanical Properties ofVisco-Elastic Materials - Part 5: Poisson Ratio Based on Comparison betweenMeasurements and Finite Element Analysis,” ISO 18437-5, Apr. 2011.
22. Vigran, T.E., Kelders, L., Lauriks, W., Leclaire, P. et al., “Predictionand Measurements of the Influence of Boundary Conditions in a Standing WaveTube,” Acta Acoust. 83(3):419-423, 1997.
23. Song, B.H., Bolton, J.S., and Kang, Y.J., “Effect ofCircumferential Edge Constraint on the Acoustical Properties of Glass FiberMaterials,” J. Acoust. Soc. Am. 110:2902-2916, 2001, doi:10.1121/1.1413752.
24. The International Organization for Standardization (ISO), “Acoustics-- Materials for Acoustical Applications -- Determination of AirflowResistance,” ISO 9053, June 1991.
25. Dauchez, N., Vernay, T., Zhang, X., and Ablitzer, F., “Influenceof Static Load on the Young’s Modulus Estimation of Polymer Foams,” presentedat SAPEM 2014, Sweden, Dec. 18, 2014.
26. Atalla, N., Panneton, R., and Debergue, P., “A MixedDisplacement-Pressure Formulation for Poroelastic Materials,” J. Acoust. Soc.Am. 104(3):1444-1452, 1998, doi:10.1121/1.424355.
27. Atalla, N., Hamdi, M.A., and Panneton, R., “Enhanced WeakIntegral Formulation for the Mixed (U,P) Poroelastic Equations,” J. Acoust.Soc. Am. 109:3065-3068, 2001, doi:10.1121/1.1365423.
定义/缩写
AxiFEM - Axisymmetrical Finite Element Method 轴对称有限元法
QMA - Quasi-Static Mechanical Analyzer 准静态力学分析仪