蝴蝶定理之四

1、已知，如上图，AB是圆O的直径，P是过B点的切线上任意一点，过P作割线PCD，联结AC、AD，分别与直线PO交于E、F两点。

求证：OE＝OF。[1]

思路1：OE=OF很难描述，考虑过C作EF平行线将其平移下来，并作出CD中点，得到两组共圆即可。

证明1：过C作EF平行线交AB、AD于O'、F'，取CD中点M，

则OM⊥CD,故O,M,B,P共圆；

则∠MBO=∠MPO=∠MCO',

故O',M,B,C共圆；

从而∠O'MC=∠O'BC=∠ADC,

则AD//O'M,

故O'C=O'F,

则OE＝OF。

思路2：既然是蝴蝶定理变式，

类比其中证法2，作OM⊥CD，

则△DMB∼△AOE，故

∠EBA=∠DCB=∠DAB，从而AD//BE，得证。

证法2：作OM⊥CD，

则OMBP共圆，

故∠BMC=∠BOE,

又∠BDM=∠OAE,

从而△DMB∼△AOE。

又M、O为DC、AB中点，

由相似三角形对应角相等，得

∠EBA=∠DCB=∠DAB，

则AD//BE,

又O为AB中点,

故OE=OF。

思路3：发现DO、BE交点在圆O上，

用帕斯卡(pascl)定理证明即可.

证明3：设BE交圆O于L，DL交AB于O'，

对圆内接六边形ABBLDC，

AB交LD于O',BB交CD于P,LB交AC于E,

由pascal定理知O'EP共线，

从而O、O'重合。

故ADBL为矩形，

则AD//BE,

故OE=OF。

思路4：熟悉调和相关性质的情况下，

作出切线PM，则DBCM为调和四边形

，又AM//PF，即得OE=OF。

证明4：设过P的圆O的另一条切线为PM，

则DBCM为调和四边形，

从而AD,AC;AB,AM为调和线束，

又显然EF⊥BM,AM⊥BM,

故AM//EF,

则OE=OF。

思路5：联想到蝴蝶定理的推广，《蝴蝶定理之三》的2注4），作出过A切线，则本题变为其退化形式。

证明5：设过A的圆的切线交PE于Q，

由对称性得OP=OQ,

根据《蝴蝶定理之三》的2注4）的退化情形即得OE=OF。

注：

1） 本题历史悠久，是初版于1958年的书1上面的例题，证明1即出自于此书。证明1作平行线为神来之笔，通过作垂直，由两次共圆得到结果，令人击节赞叹，所以证明1是本题最常见的解法。本题结论优美，解法神奇，人见人爱，本人在初中学习竞赛时，在很多竞赛书中都见到了本题，解法也都是用的证明1。

2） 证法1美则美矣，而未尽善，特别是平行线，很难独立想到。解法2是本人“强行”类比蝴蝶定理的证法2得到的，读者很容易看到他们异曲同工。感觉解法2比解法1更自然，更好理解。

3） 证法3慧心独具，巧妙使用帕斯卡定理，几乎秒杀本题。体现了大定理的惊人威力。值得品味。

4） 证法4巧妙利用调和四边形和调和线束的性质，对于相关性质熟悉的读者对此方法应该不陌生。对此有兴趣的读者也可以参考《蝴蝶定理之三》等文章。

5） 证法5揭示了本题的本质——蝴蝶定理推广的特例，对此有兴趣的读者可以参考[2]。

6） 显然由上述证明得到AFBE为平行四边形。当然本题的证明还有不少，例如解析法等，有兴趣的读者可以自行探讨。

本题经典漂亮，很多人对她都深有研究，也得到了不少有趣的变式和新的巧妙的证明。第一个相关的问题，是其逆命题也为真，即：

2、平行四边形AFBE中，BD⊥AF于D，BC⊥AE于C，DC交EF于P，

求证：PB⊥AB

思路分析证明：如下图，显然BE⊥BQ,

由射影定理得BC^2= CE*CQ，则

PB⊥AB<=>BC^2= CT*CA,

<=>CT*CA=CE*CQ

<=>CT/CE=CQ/CA,

<=>BR/RF=BR/RF,

显然成立

注：本题为上题的逆命题，上题中的5种证明应该都是可行的，这里不再赘述。上述采用了一个新的精妙的证明，通过简单的比例证明，另辟蹊径，曲径通幽，妙笔生花。此证明出自田廷彦 [3]。

本题及其逆命题美不胜收，令人流连忘返，很多人都对其由深入研究，并得到一些推广结果。下面看一个最近的一种推广：

3、已知：AD是圆O的直径，P是过D点的切线上任意一点，过P作割线PCB，过P的两条直线分别交AB,AD,AC于E,M,F和G,N,H，且OM=ON。

求证：ME*HN＝MF*NG。(公众号“我们爱几何”新题快递20181103，作者：万喜人)

思路分析：估计要用1中的结论，由1知SO=OT,

则MSNT为平行四边形，

从而可以将圆和PBC,PD消去，得到以下命题：

已知:如图，MSNT为平行四边形,

求证：ME*HN＝MF*NG

基本思路就是做平行线，倒比例即可。

证明：作MX//NY//AG,则MXNY为平行四边形，

故OX=OY,XS=YT,OM/MA=OX/XS=OY/YT,

故MY//NX//AH,

则ME/MF=ME:MP/(MF:MP)=SX:XP/(YT:YP)=YP/XP,

同理HN/GN=HN:NP/(GN:NP)=TX:XP/(YS:YP) =YP/XP,

从而ME*HN＝MF*NG。

注：本题相当于是上述两个结论的结合，合理嫁接的结果令老树开新花，让人赏心悦目、耳目一新。万老师提供的证明与上述证法基本一致。当然本图中还隐藏着不少值得研究和挖掘的东西。感兴趣的读者可以自行探讨。

参考文献

1.《初等数学复习及研究（平面几何）》 梁绍鸿 哈工大出版社 2009

2.《解析几何的技巧》 单墫  江苏教育出版社   2011年3月

3. 《国际数学奥林匹克研究》熊斌，田廷彦编著 /上海教育出版社2008年3月