恒成立问题中的连锁反应（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
来源：解忧高中数学杂货店
恒成立问题中的连锁反应（1）
数学世界里的连锁反应
连锁反应：比喻一系列相关的事物，只要一个产生变化，其他的都跟着变化，像锁链似地一环扣一环．数学的世界里，有不少连锁反应呢！
例1
解：
点评：
例2
解：
例3
解：
点评：
例4
解：
例5
解：
牛刀小试
恒成立问题中的连锁反应（2）
指数型函数的连锁反应
连锁反应：比喻一系列相关的事物，只要一个产生变化，其他的都跟着变化，像锁链似地一环扣一环．数学的世界里，有不少连锁反应呢！
例6
解：
例7
解：
例8
解：
例9
解：
例10
解：
牛刀小试
恒成立问题中的连锁反应（3）
对数型函数的连锁反应
连锁反应：比喻一系列相关的事物，只要一个产生变化，其他的都跟着变化，像锁链似地一环扣一环．数学的世界里，有不少连锁反应呢！
例11
解
例12
解：
例13
解：
例14
解：
例15
解：
例16
解：
例17
解：
牛刀小试
方法总结
好了，是时候总结一下“连锁反应”的一般方法和解题步骤了．纵观前面诸例，解题过程无非就是：多次求导，关注端点值，直到导函数比较简单或端点值不是0为止．
恒成立问题中的连锁反应（4）
另外的视角（参变量完全分离）
对于恒成立问题，前三讲采用的方法是“含参分类讨论”，在讨论的过程中发生了连锁反应．本讲我们尝试用“参变量完全分离”的方法给出前面题目的另解．
纵观以上诸例，参变量（完全）分离的方法亦涉及多次求导（不含参数），也是连锁反应！而且还用到了高等数学里的洛必达法则，给人一种酣畅淋漓（也可能是繁琐不堪）的感觉！亲爱的读者，比较“含参分类讨论”和“参变量（完全）分离”两种方法，你更喜欢哪一种呢？
恒成立问题中的连锁反应（5）
另外的视角（参变量部分分离）
对于恒成立问题，前三讲采用的方法是“含参分类讨论”，难点在于分类标准的确立和个别情形的取舍，这需要读者在学习过程中仔细揣摩；第四讲采用的方法是“参变量完全分离”，但有时分参后的新函数过于复杂，需多次求导，且正负难判，最值难求．退一步讲，如果“含参分类讨论”和“参变量完全分离”的方法都失效了，又有什么好方法呢？先看这样一道题目．
尝试1（含参分类讨论）：
尝试2（参变量完全分离）：
尝试3（参变量部分分离）：
尝试4（参变量部分分离）：
此例中，“含参分类讨论”与“参变量完全分离”的方法全部失效（当然这样说有些绝对，或许聪明的读者可以做到），被逼上梁山，只好变通处理：参数与变量不完全分离，反而出奇制胜，收到了意想不到的解题效果．解题时眼光不可太死，一条道走到黑，往往不能解决所有问题．参变量部分分离是对完全分离的变通处理，可以灵活分配左右两侧的式子结构，达到以简驭繁的解题功效．下面就用参变量部分分离的方法求解前三讲中的恒成立问题．
例1另解：
例2另解：
例3另解：
例4另解：
例5另解：
例6另解：
例7另解：
例8另解：
例10（2）另解：
例11另解：
例12另解：
例13另解：
例14另解：
例15另解：
例16另解：
例17另解：
恒成立问题中的连锁反应（6）
高等数学的介入
SUMMER
你说世界是多么辽阔
渺小的我们拥有什么
图1
图2
函数极限的局部保号性：
证明：
说明：左极限和右极限同样具有局部保号性，需要将邻域（范围）换为左邻域或右邻域．
我们再看第三讲最后给出的连锁反应的一般形式，可得如下定理：
用反证法证明：
例
题
利用偏导数法解决恒成立问题（配有练习题）
第二章不等式习题及详解
恒成立问题中的连锁反应（7）
——指对混合型的连锁反应
例19
另解：
例20
说明：
例21
例22
分析与解：
尝试1：直接移项，含参分类讨论
尝试2：参变量完全分离
反思：
善于联想：
再次投入分类讨论的怀抱：
恒成立问题中的连锁反应（8）
——三角函数的连锁反应
例23
例24
解：（1）略；
法1：
法2：
法3：
注：高考题原解答与以上三种解法都不同，类似于解法3，但更加细致，有兴趣的读者可搜索查看．
例25
解：（1）、（3）略；
例26
牛刀小试