从莫扎特背乐谱到傅里叶变换: 2017阿贝尔奖背后的故事
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3月21日，挪威科学与文学院将2017年度阿贝尔奖授予法国数学家伊夫·梅耶尔 (Yves Meyer)，以表彰他在小波分析理论发展中做出的重要贡献。发布会上著名华裔数学家陶哲轩就该相关研究发表演讲，并亲自连线采访了梅耶尔。小波分析理论为何备受关注？这背后的故事大概要追溯到两百年前的傅里叶变换。
陶哲轩现场连线梅耶尔
上世纪80年代，法国工程师让·莫莱特 (Jean Morlet) 开创了革命性的分析方法，用于收集地震数据。然而石油公司对其研究不屑一顾，批评他说：“如果那是真的，自会有人知道。”尽管没能在工业界得到青睐，莫莱特没有放弃，于1984年和物理学家亚历克斯·格罗斯曼 (Alex Grossmann) 将该研究发表在学术期刊上。同年晚些时候，身在巴黎综合理工大学的梅耶尔，有一次等候使用复印机。前面同事正在印的正是那篇关于小波理论的论文，也给了梅耶尔一份。梅耶尔惊讶地发现，这和自己一直在研究的内容非常相似。兴奋之下，他乘坐火车从巴黎前往马赛，亲自拜访论文作者。梅耶尔的到访刚好印证了那句讽刺莫莱特的话：如果那是真的，自会有人知道。数学的魅力终让不同领域的人走到了一起。
Jean Morlet (1931-2007)
从莫扎特到傅里叶
两百多年前，年仅14岁的莫扎特曾有过这样一则轶事。他在梵蒂冈西斯汀教堂的仪式上有幸听到了唱诗班合唱的《求主垂怜》(Miserere)。那是一首动人的九重唱诗歌，源自《诗篇》第51篇，只有在圣周时才会表演。教廷视之为瑰宝，一百多年来都禁止乐谱外传。然而意外的是，年轻的莫扎特在仪式结束几个小时后，便凭记忆将整份乐谱默写了出来。其中仅有的一点差错也在莫扎特再次去教堂后得以修正。
《求主垂怜》(Miserere) 乐谱
其实，编排乐曲与数学理论有着潜在的关联，正如小波分析。编曲的时候，作曲家在其脑海里创造美妙的旋律与和声，然后将这些音律译为符号记在纸上。人们在宏大的音乐厅中欣赏的贝多芬交响曲也是来自乐谱上的这种符号。莫扎特能够通过记忆将《求主垂怜》进行“符号变换”，这使得后来的歌手和乐师得以享受这支乐曲，演奏这靠逆向转换得来的乐谱。
多年之后，法国数学家约瑟夫·傅里叶发明出数学版本的“符号变换”。其理论思想在于任何稳定信号都是由一些特定频率和振幅的纯正弦波构成，比如一段持续不变的小提琴乐音。与莫扎特的符号变换相似，傅里叶变换挑出每一个频率和对应的振幅。忽略掉一些干扰的话，原始信号就可以被译为一组成对的真实数字。其妙处在于，通过逆向的傅里叶变换，我们可以十分精确地再现出原始信号。
Joseph Fourier (1768-1830)
稳定信号的统计特性不会随着时间推移而改变，所以通过傅里叶变换对其进行研究再适合不过。在真实生活中，稳定信号是十分少见的。对于那些均匀分布，却存在着突变和干扰的信号，就需要一种方法来有效地加以处理。
尽管谱写于巴洛克时代，但《求主垂怜》被视为文艺复兴晚期的杰作，其音律可能很适合用傅里叶的方法进行分析。然而地层中石油传来的回声并没有这样美妙的旋律，即便是莫扎特恐怕也无法记住几分钟的震波原始数据，更不要说把这些东西转化为可以用来定位石油的有用信息。
小波的诞生
百余年后，莫莱特从事的是石油勘探工作。振动被传入地下，然后收集回声。这种方法和蝙蝠的声纳系统非常相近。然而难点在于如何分析反馈信号，提取出关于地层石油的有价值的信息。莫莱特凭借自己的经验，引入了新的函数，他称之为“恒定形小波”，后来简称“小波”。
小波技术可以这样理解：其理论基础为“母波”，即振动函数的一小部分。振动的频率和小波的宽度都会发生变化，但两者之间却有着密切的关联：频率越高，宽度越小。另外一个重要特点是，小波的波形特征在压缩后能够保持不变。这一原理无论对声音信号还是图像信息都同样适用。将信号中的信息与不同尺度下的母波进行比对，除了小波特性之外，只需要留下特定尺度小波的“振幅”数据。由于小波“垂直正交”，这种解析是独一无二的，而逆向过程也能够完全地再现原始信号。这样的思路，和莫扎特将乐曲转换成音符，后人又用这乐谱演绎出动人的音乐，不是如出一辙么？
梅耶尔的小波
那些为此努力的数学家
2017年阿贝尔奖授予了伊夫·梅耶尔，这是对其在小波数学理论的发展中所扮演的关键性角色的充分肯定。在这项理论的现代发展中，梅耶尔无疑是站在数学、信息技术和计算科学交叉路口的领导者。不过早在一百多年前，阿尔弗雷德·哈尔 (Alfred Haar) 就构建出了早期版本的小波。他的小波具有一些优秀特性，但遗憾的是也存在一些缺失。在20世纪里，人们构建出了很多小波。尽管这些函数一直在帮助提高技术，带来成功的应用，但始终没有人做出重大突破。
Alfred Haar (1885-1933)
梅耶尔的第一个关键贡献是创建出平滑的正交小波基底。在莫莱特的研究中，梅耶尔基底中的所有函数都以转换和放大一个小的平滑母波的形式出现，非常明确具体。这虽然是很基础的内容，却展现出了神奇的效果。后来，梅耶尔和史蒂芬·马拉特 (Stephane Mallat) 系统地发展了多解析度分析理论，这是构建小波基底的通用框架。
Stephane Mallat (1962-)
如今，小波分析已经广泛应用于计算调和分析、信号分析、数据压缩、医学成像、数字电影、计算机分类与识别以及地震勘探数据处理等领域。去年美国激光干涉仪引力波观测台探测到两个黑洞碰撞所发出的引力波，其中也应用到小波分析。
Image compression (e.g. the JPEG2000 format)
Denoising
Edge detection
Numerical solution of differential equations
Computer generated graphics
Modeling curves and surfaces
Compressed sensing (e.g. in speeding up MRI)
Yves Meyer
科学的过往也蕴藏着种种机缘巧合。如果当初莫莱特提出的小波概念被石油公司接受，如果巴黎综合理工大学多备了一台复印机，如果梅耶尔没有登上开往马赛的火车……也许今天我们讲述的将是不一样的故事。主人公虽然会变换，不过，如果那是真的，自会有人知道。
本文参考Arne B. Sletsjøe为Meyer所写小传
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