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更多源，更有趣 | 引力波天文学之七

原创 2017-10-14 韩文标张渊皞等 知社学术圈

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双致密星并合在开辟引力波天文的道路上已经构建了如此多的美景，但这只是高频引力波天文学的一角，精彩才刚刚开始......

特别声明：本系列科普文章都是相关学者基于他们将要申请、正在执行、或者已经结题的国家自然科学基金委支持的《国家自然科学基金项目》发展出来的，版权归作者所有。

7.1 偏心率的作用

韩文标 上 25 37857 25 9538 0 0 2109 0 0:00:17 0:00:04 0:00:13 2109天文台

目前LIGO看到的引力波源都是双星在圆轨道上绕转形成的。不过，这并不是巧合。宇宙中天体的轨道，可以是任意的，往往带有偏心率。我们太阳系内大部分大行星偏心率都很小，轨道很接近圆，不过水星的偏心率达到0.2，是一个比较明显的椭圆轨道。这个偏心率0.2什么概念呢，就是轨道的远日点离太阳的距离比近日点的距离大1.5倍。太阳系内有个很著名的天体叫哈雷彗星，它的偏心率就非常大。银河系中心围绕超大质量黑洞的恒星一般都具有很大的偏心率。（如图）

人们相信在星团这种大量天体扎堆凑热闹的体系里面也有大量的有偏心率的双星系统。

星团

但是为什么LIGO目前主要关心的双星绕转都是圆轨道呢，这是因为引力辐射会让轨道圆化。随着引力波带走的不仅仅是能量，还可以让轨道的偏心率变小，从一个大椭圆轨道，逐渐收缩到一个圆轨道。所以到最后能发出强引力波信号的时候，轨道已经很圆了。

不过任何事情都有例外。上面的结论其实是对两个质量差不多的双星并合而言的。如果两个双星质量相差悬殊，则结果就不一样了。大质量比的双星，由于形成机制和引力辐射相对系统能量较小等原因，即使到并合阶段，轨道的偏心率一般仍然较大。特别有意思的是，引力辐射虽然仍可以将轨道圆化，但在接近并合前，却反而导致偏心率会上升。带有偏心率的引力波的计算远比圆轨道复杂，但研究这个问题并非吃力不讨好。偏心率在引力波天文学上有很重要的用途。这里我主要根据国内学者的一些研究，讲两个偏心率的作用。还有一个很有意思的用途，这里先卖个关子，以后有机会再说。

大质量比双星的轨道演化。从一个偏心率为0.8的轨道（左上）经过5年多的演化，在并合前一天仍然残留较大的偏心率（右下）。来源：Osburn et al.，PRD 93 064024，2016

LIGO探测的是高频引力波，它对低于10Hz的引力波信号无感。而引力波的频率和引力系统的质量是成反比的。质量越大的双星系统，辐射的引力波频率就越低。所以当质量大到一定程度时，其辐射的引力波LIGO就看不到了。正常情况下，这个质量上限在1000个太阳质量左右。这样的黑洞称为中等质量黑洞，是天文学很感兴趣的一个对象。所谓“正常情况”，是指圆轨道。所谓“不正常”呢，就是有大的偏心率。对两个质量相当的双星系统，大偏心率的可能性很小。但正如前面所说，对质量比较大的情形，则是很可能发生的事情。上海天文台、北师大和中山大学的科研人员最近发现，对中等质量比双星系统（即一个恒星级的致密天体绕转中等质量黑洞），如果偏心率较大，可以激发出高频的引力波，从而有效扩展LIGO能看到的黑洞质量上限。根据他们的研究结果，偏心率能够使得探测质量上限提升接近两倍。

偏心率的另外一个用处在于它还可以帮助定位。目前引力波的定位用的是时延方法，即测量引力波到达不同的探测器的时间差来定位。LIGO的对源的定位是比较差的，因为只有两个探测器，加入Virgo后，定位精度大大改善。不过，最近清华、北师大的一些研究人员发现，偏心率也能够帮助提高定位精度。他们还发现，精度提升和双星的质量有关。质量越大，偏心率改善的精度越好。比如，对总质量100个太阳质量双星，偏心率能将定位精度提高2倍；而对65个太阳质量的系统，只能提高1.3倍。如果质量只有22个太阳质量，则几乎没有改善。

带偏心率的轨道定位精度更高。上图是圆轨道的定位精度，下图是一个偏心率为0.4的源的定位精度。偏心率让定位精度改善了约2倍。来源：arXiv:1710.02965, 2017

这些研究表明，偏心率可能会在引力天文学有很重要的意义。如何高精度并且快速地计算偏心率轨道辐射的引力波，仍然是一个有挑战性的工作。最近，北师大和上海天文台的学者，提出了一个椭圆轨道引力波计算模型，能够对偏心率不是特别大的系统，进行高精度高效率的计算。

参考文献：

Wen-Biao Han, Zhoujian Cao, Yi-Ming Hu, arXiv:1710.00147, Classical Quantum Gravity, in press, 2017;

Sizheng Ma, Zhoujian Cao et al., arXiv:1710.02965, 2017

Zhoujian Cao, Wen-Biao Han, Physical Review D 96, 044028 (2017)

7.2 连续引力波

张渊皞，明镜 德国马克思普朗克引力研究所

迄今为止公布的LIGO和Virgo发现的引力波信号都来源于双黑洞并合。与双黑洞并合产生的不到几秒的的引力波相比，连续引力波对应的是一种长期稳定存在的引力波。这里所谓的“长期稳定存在”是以探测器观测时间的长度（几个月到几年）作为度量的，换而言之，连续引力波在探测器的天文观测周期内始终存在。引力波本身是一种微弱的时空扰动，可以被探测的引力波主要由极度致密的星体产生，单个旋转的黑洞由于其“无毛”的特性不会产生引力波，我们进而将目光投向宇宙第二致密的星体中子星上。

对于地面引力波探测器灵敏的波段而言，银河系内快速旋转的中子星是潜在产生连续引力波的候选者。中子星是大质量恒星演化的一种终极产物，质量略大于太阳，半径大约十公里。（揭开“宇宙灯塔”的神秘面纱 – 从中国的FAST说开｜引力波天文学之三）一个不完全轴对称的旋转中子星将会产生引力波辐射。这种不对称的程度可以用一个参数椭率量化，可以将其简单地理解成其赤道上高度为半径乘以椭率的小“山丘”。对于一个大约在银河系中心（10 kpc，pc即秒差距，1 pc = 3.26 光年）以500Hz频率旋转的中子星如果假设其椭率为10^(-6)，在地球上接收到的引力波的应变强度在10^(-25)的数量级，如果与首次发现的引力波事件GW150914的峰值强度10^(-21)[1]作对比，可以注意到中子星发出的连续引力波远弱于双黑洞并合产生的引力波。尽管如此，借助于信号长期存在的特点，我们可以利用长时间的观测数据有效地增加信号的信噪比以期获得统计学上显著的观测结果，因此快速旋转中子星是地面引力波观测最有希望的波源之一。

对于几个月到一年长度的观测而言，地球的自转，公转都会产生周期性的多普勒效应从而对接收到的连续引力波的频率发生调制（这同时也是引力波信号不同于噪声的一个特征）。与传统的天文望远镜不同，LIGO收集数据时并没有特定的指向性，任何方向传来的引力波经过探测器都会改变探测器附近的时空几何，从而表现在数据中。我们需要一个基于信号模型的匹配滤波器来与探测器的数据进行匹配，从而寻找数据中存在引力波信号的证据。信号源的空间位置，地球运动，中子星频率变化都必须被考虑进去。由于连续引力波信号强度微弱再加上对于波形信息有限的了解，我们必须谨慎地处理数据并将面对庞大的计算开支，这也是目前寻找连续引力波最大的挑战。为了寻找这种微小的波动，对应不同种类的波源也发展出了独特的数据处理方法。地面引力波探测器例如LIGO，Virgo搜索连续引力波的主要努力可以被归纳为三类，目标搜索(targeted search)，定向搜索(directed search) 和巡天搜索(all-sky search)。

脉冲星示意图，credit: Joeri van Leeuwen, License: CC-BY-AS

目标搜索主要是指对已知脉冲星的引力波搜索。通过天文观测（射电，X射线等）我们已掌握了这些中子星旋转频率的确切演化方式。对于最简单的模型而言，引力波的信号的频率是物体旋转频率的两倍，由此我们也获得了一个确切的引力波波形。对于已知的脉冲星，我们只需要将所有的数据相干叠加，搜索一个狭窄的频率范围来涵盖天文观测的误差即可。初代LIGO的观测结果自从2008就突破了蟹状星云脉冲星（Crab pulsar）的纯引力波辐射（spin down limit）的上限。随后精度不断提高，在最近的观测和分析结果表明，蟹状星云脉冲星只有不到0.2%的旋转动能的减少是通过引力波释放的，而椭率上限已经限制到少于10^(-5)[2]。

蟹状星云，copyright@stsci.edu

也就是说我们已经有能力找到蟹状星云脉冲星上10厘米小“山”产生的引力波。随着精度的提升和更长时间的累计，我们将不断地逼近微小信号的极限。在最近的高新LIGO首次观测运行中，LIGO搜索了200颗已知的脉冲星。当然在茫茫宇宙中还有许多尚未发现的脉冲星，我国自主研发的FAST望远镜作为世界最大单面口径球面射电望远镜是寻找脉冲星的射星利器，在早先（揭开“宇宙灯塔”的神秘面纱 – 从中国的FAST说开｜引力波天文学之三）公布的首批结果中已经展现了它卓越的性能一举找到了六颗新的脉冲星。除了天文仪器的投入，引力波数据处理也给天文学的数据带来了革新，德国马克思普朗克引力科学研究所借鉴引力波数据处理的技术主持了搜索gamma射线和射电脉冲星的项目，这项研究借助大量志愿者贡献的计算资源的Einstein@Home平台，从已有的数据中找到了数十颗新脉冲星[3][4]。在未来随着观测技术和数据处理技术的推进，更多新发现的脉冲星必将丰富引力波搜索候选目标，光学天文的观测将帮助科学家锁定这些微小的时空涟漪。对于200颗已知脉冲星，如果我们不问到底哪一颗脉冲星发射引力波，而问这堆脉冲星有没有发射引力波。那么，原则上应该第二个问题的答案应该更容易获得。毕竟团结的力量大嘛！做个类比：经过池塘，如果只有一只青蛙，我们就很难听到这它的歌声。但是实际情况是我们很容易知道池塘里有青蛙，因为大家的合唱比较容易听到，虽然不知道到底是哪一只在唱歌。所以我们应该更容易的判断200颗已知脉冲星有没有联合起来发射引力波。这个探测技术概念是陈雁北，范锡龙和英国合作者一起发展出来的[5]。

图例：听青蛙唱歌类比探测已知脉冲星发射引力波。

Cas A，copyright@NASA/JPL-Caltech

定向搜索指的是寻找已知位置但不了解其引力波相位演化的中子星。Cas A, Vela Jr., SNR1987A, Sco X-1是其中的代表。Cas A, Vela Jr., SNR1987A都属于超新星遗迹，但由于未能找到脉冲信号，无法从光学上确认它们的中子星残留。此时我们转而向穿透能力极强的引力波寻求帮助，希望能够“看到”这些中子星存在的证据。Sco X-1是一个低质量X射线双星，其中的中子星不断吸积其伴星的质量，由于吸积过程产生的“热点”使中子星内核产生温度梯度从而造成密度的不均匀，这种非轴对称性会发出引力波辐射。而吸积产生的加速旋转被引力波辐射所平衡，最终达到了一个稳定的状态。其引力波强度与X射线强度正相关，Sco X-1作为全天除了太阳外最亮的X射线源成为了一个有望被探测到的引力波源。

由于对引力波频率缺乏了解，定向搜索必须涵盖一个广泛的频率范围，很多时候需要搜索整个LIGO的灵敏范围（～10 - 2000 Hz）。对于类似于Cas A这样的单个中子星而言，由于引力波或者电磁辐射损失角动量，中子星也以未知的速度不断减缓旋转频率，因此为了不与信号失之交臂，也必须搜索频率的导数，二阶导，乃至更高项来模拟可能的信号模型。对于类似Sco X-1这样的双星系统中的中子星，虽然其未知的旋转频率被认为达到了一个稳定状态，但由于双星的轨道运动必须将这份额外的多普勒效应考虑在内。同时天文学家对Sco X-1的轨道参数给出的估计值存在误差，我们因此必须搜索更多轨道参数以保证涵盖了正确的信号模板。

对于完全相干搜索而言由于长时间的观测导致模板与真实的信号的差别必须很小才不至于造成显著的信号损失，因此模板库必须细密地涵盖整个可能的参数空间，大量的数据与海量的模板作比较带来了计算资源的严峻挑战。此时与目标搜索那样将手头的所有数据相干叠加将不再适用。数据分析专家于是发展出了一些半相干的方法来应对这个难题，他们将长时间的数据分成几小块，每一部分用完全相干的方法搜索后再不相干地将每部分结果结合，或者可以通过调整探测器数据的互相关范围从而以牺牲部分灵敏度的代价利用有限的计算资源完成搜索。由于定向搜索的难度也催生了一些其他的快速算法，这些快速方法的设计思想保证了计算的高效性但同时也因此损失了相当的搜索精度。

低质量X射线双星想象图，Credit: Fahad Sulehria

在连续引力波的数据处理领域活跃着年轻中国研究者的身影，在最近完成的Sco X-1的搜索中，美国和澳大利亚的两个研究组分别使用两种不同的数据分析方法处理了高新LIGO升级后的第一次天文观测数据。其中由澳大利亚组的孙翎运行的隐马可夫链的高效算法应对Sco X-1频率随机漂移的问题做出了专门的研究和搜索[6]，而美国的研究组由张渊皞主持使用新开发的互相关方法给出了目前为止最佳的Sco X-1引力波强度的上限[7]。对于半相干方法而言，如何分配有限的计算资源一直没有定量的满意回答，直到2015年马克思普朗克研究所的明镜等人提出了一种对连续引力波搜索的优化方法[8]。此方法可以在有限计算资源的条件下，给出一种最优的搜索方法，将探测连续引力波的概率最大化。目前，这个优化方法已经应用在了多个连续引力波的搜索上。比如在分布式超级计算机Einstein@Home上运行的搜寻三个超新星遗迹中的中子星所释放的引力波的项目，就经过了此方法的优化。

另外一方面，引力波科学家也急需天文学家团队对这些星体的参数乃至于频率变化做出限定，一旦对它们有了更加确切的了解将大大地减少数据分析的难度。例如我国6月升空的慧眼卫星如能在软X射线波段对Sco X-1进行观测，而给出更好的轨道参数估计甚至于找到之前未能发现的脉冲信号则将极大地帮助引力波天文学家缩小参数空间甚至进行直接的目标搜索。

所谓巡天搜索就是寻找未知的中子星发出的引力波。也就是说我们对位置和频率演化都毫无了解，因此必须对各个方位进行搜索。参数空间除了定向搜索的那些参数以外还必须增加两个空间维度，搜索难度也变得更大，所以必须开发出新的快速算法寻找引力波特征的模式。从恒星演化模型来看，最近的中子星距离地球应大约在 5 - 10 pc，但是已知的最近中子星却远在将近100 pc，也就是说在地球附近理论上应该存在着大量未知的中子星。由于一些未知的中子星距离较近，尽管对其波形的了解甚少，其强度仍然可能被观察到。如果利用巡天找到这些未知的中子星，不仅对引力波领域是一个巨大的突破，也将反哺光学观测为天文学家提供新的观测目标，从而一同回答天体物理中悬而未决的疑问。

在实际操作中除了上述提到问题，探测器噪声背景的统计学性质和长期存在的类似信号的人为噪声等都为寻找的工作带来了挑战。由于其本身的难度并且探测器还没有达到最佳的设计精度，使我们目前还没有发现确信的连续引力波事件。但是致密星体并合并不是地面引力波探测器的终点，其他种类的引力波事件乃至于出乎意料的新型波源将给人类认识宇宙带来新的理解和证据。中子星的致密特性为天文和物理学提供了独特的实验室，在观测到连续引力波后，我们将借助这个新的窗口观察新的物理现象，连续引力波由于与天文学观测的联动自然而然成为了一种多信使天文学（弱等效原理的多信使检验｜引力波天文学之六），他将与光学波段互为补充填补天文学缺失的一角。连续引力波也将被用于测试引力波偏振模式从而检验相对论，它还可以被用来研究中子星的震动模式，中子星物理学，状态方程，乃至于其他未知的引力波发生机制，对中长期的引力波数据处理也将做出重要的贡献。随着未来更多地面引力波探测器例如KAGRA，LIGO印度探测器的加入，和不断改进的探测器灵敏度，越来越多的数据将被收集，在不久的将来自然将给我们带来更大的惊喜。

参考文献：

[1] B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration) PRL 116, 061102 (2016)

[2] B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration) ApJ, 2017, 839, 12

[3] Knispel, B et al. Science, Volume 329, Issue 5997, pp. 1305- (2010)

[4] Clark, C. J et al. APJ, 2017, Volume 834, Issue 2, article id. 106, 19 pp. (2017).

[5] Xilong Fan, Yanbei Chen, Christopher Messenger， Phys. Rev. D 94, 084029 (2016)

[6] B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration)PRD 95, 122003 (2017)

[7] B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration) APJ, 2017, 847, 47

[8] Ming, J. et al Phys. Rev. D 93, 064011 (2016)

7.3 随机引力波背景

范锡龙 湖北第二师范学院

朱兴江 蒙纳士大学和澳大利亚引力波发现卓越中心

GW150914之后LIGO又探测到了三个黑洞并合事件。这让我们相信黑洞并合这样的引力波源在宇宙中是普遍存在的。当它们发生于距离地球比较近时（大约几亿到几十亿光年以内），则可以被独立地从仪器噪声中提取出；而那些更遥远的波源虽然不能被单个识别出，它们的影响却可能被整体感知到。这种大量不可分辨的微弱引力波信号叠加在一起形成的就是随机引力波背景。这里的不可分辨有两层含义：

*位置不可分辨：类比于我们用望远镜研究天空某处光学源，如果望远镜的角分辨率小于我们感兴趣的现象发生的角尺度，我们就能看见这些天体的细节。像LIGO这样的仪器，角分辨率约为90度，仪器对几乎所有方向的源都有响应，这就意味着很多引力波源是不可分辨的。因此很多源同时存在，我们不能在位置上分辨它们。

*频率不可分辨：绝大部分源不是单一频率源，因此不太可能把他们在频段上分离出来。即使有的源是近单频(例如紧密双星旋近，周期性信号源)，但是给定观测时间T，仪器的频率分辨率是一定的。如果源在带宽的个数超过一个，那么我们也不能从频域上分辨他们。以上两种情形对于空间引力波探测器尤为重要，因为对于空间引力波探测器而言，光是银河系内就有超大数量的引力波源。

因为这种不可分辨性产生了“随机”性：我们不知道引力 53 37857 53 20170 0 0 4093 0 0:00:09 0:00:04 0:00:05 4093背景在时域上的行为，仅仅知道它的统计特性，例如期望值，方差。一般对于随机引力波背景有如下的假设(i)稳定，(ii)高斯，(iii)各项同性，(iv)非极化。关于假设准确性的讨论请参考[1]。随机引力波背景有两类来源，一类是大量微弱天体源，例如前面提到的类似GW150914这样的事件，但是发生在过于遥远的宇宙深处[2] 或者脉冲星的不稳定性[3]（你没看错！来小禹和7.2的作者没有告诉你故事的全部，脉冲星其实也有躁动的时候......揭开“宇宙灯塔”的神秘面纱 – 从中国的FAST说开｜引力波天文学之三）；另一类来自早期宇宙学过程，例如大爆炸后宇宙暴涨过程、宇宙弦和早期相变过程 (参见综述[4])。后一类引力波信号更是携带了比电磁波，例如宇宙微波背景辐射 , 更早的宇宙学信息。因为我们对相关的物理和天文知识的匮乏，使得预言的引力波背景强度有很大的不确定性。因此探测到或者给出随机引力波背景的上限都会非常有趣，尤其是早期宇宙学的信息 (例如对弦宇宙学产生的随机引力波背景的探测[5,6])。

那么如何探测引力波背景呢？仅仅靠一个探测器是不可行的，因为这种背景信号也是随机的，与探测器的噪声无法分辨。所以标准的方法就是利用两个探测器，寻找共同的信号成分。例如LIGO的两个探测器相距三千公里，通常认为它们的仪器噪声是不相关，而它们所接收的引力波背景信号则是一致或者说极其相似的。

在2009年, LIGO还对宇宙学起源的引力波背景很感兴趣（见下图）。伴随着致密双星引力波信号陆续被探测到，现在天体起源的引力波背景成为了一个很让人期待的目标[7]。做一比喻：单个源就是放一个烟花（例如我们最近单独探测到这些近距离引力波信号）。宇宙那么大，应该“到处” 都在放烟花啊，于是也就构成了璀璨的背景。

我们期望未来地面引力波探测器能看到天体起源引力波璀璨的背景（2020年LIGO达到设计灵敏度的时候就有可能看到[7]），更期待未来能有一些来自超越标准暴涨宇宙学的引力波背景信号的惊喜。

参考文献：

[1] B. Allen, J. D. Romano. Phys Rev D. May 1999, 59(10):102001

[2] 朱兴江, Eric Howell, David Blair and Zong-Hong Zhu, MNRAS (2013) 431: 882-899

[3] 朱兴江, Xi-Long Fan and Zong-Hong Zhu , ApJ, 2011, 729, 59

[4] M. Maggiore. Phys Rep.2000, 331:283–367

[5] B. Allen, R. Brustein. Phys Rev D. Mar. 1997, 55:3260–3264

[6] Xi-Long Fan, Zong-Hong Zhu. Phys lett B. 2008, 663:17–20

[7] B. P. Abbott et al.*(LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration), PRL 116, 131102 (2016)

图例：所有波段引力波对于宇宙学起源的引力波背景的探测限制。 LVC, Nature 2009,460

作者简介

韩文标 中科院上海天文台引力波和相对论基本天文学课题组组长