与素数共舞，她们原来异性相吸
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三步之内，必有芳草。一堆素数呆在一起，会有什么样的缘分呢？结果有点出人意料。
3月11日，斯坦福大学两位数学家贴出他们关于素数分布特性的新发现，此前从未被人注意。原来，素数也有自己的偏爱。这个超乎想象的现象，似乎正在改变数学家长久以来对素数分布的认识。
文末可以下载原论文。
最近，斯坦福两位数学家发现素数分布模式中一个非常简单的特性，此前却从未被人注意：一个素数与它前后相邻的素数之间存在着某种关联！这个出乎意料的发现，令数学家们兴奋不已。
比如，个位为9的素数，更容易跟着一个个位为1的素数，而不是个位为9的。在前10亿个素数中，前者比后者概率高65%！而此前，数学家们认为素数分布行为，与随机数无异。
“每个跟我们聊过这件事的家伙都回屋自己写程序演算去了，” 斯坦福大学数学教授Kannan Soundararajan说，“这的确是个惊人的发现”。2016年3月11日，他和同事Robert Lemke Oliver将这一结果发表在论文预印网站arXiv上。
“这程序肯定错掉了！” Emory大学的数论专家Ken Ono听到这个消息时，完全难以置信。
素数是比1大，且只能被1和其自身所整除的自然数。它们是构建其他数字的基本单元，因为任何其他数字都可以被拆分为素数的乘积。这也让素数成为理解算数的基石。
一个数字是否素数是其天然属性，但数学家们并没有什么方法能够预测哪些数会是素数。至今我们仍不确定，到底是否存在能够预测素数的公式或规律？数学家们最终是否能够找到打开素数之门的钥匙？很多人觉得素数是随机出现的。而Soundararajan和Oliver的发现告诉大家，情况并非如此。
他们到底发现了什么呢？我们知道，除了2和5以外，所有的素数都是以1、3、7、9结尾的，而且各自出现的机会均等。但在研究了前10亿个素数后，Soundararajan和Oliver发现以1结尾的素数，后面跟着尾数为1的素数的几率是18.5%，跟着尾数为3和7的素数的几率各是30%，而跟着以9结尾的素数的几率是22%。如果素数真是随机分布的话，这个几率应该不受相邻素数的影响，也就是1、3、7、9四选一，各25%的几率。
素数其他的尾数组合也呈现出类似的分布，而非随机均匀分布。这一规律也不只出现在十进制计数中，在其他进位制体系中也呈现出同样的分布。换言之，该分布并不是由十进制体系引起的，而是素数分布本身特有的规律。两位数学家检查了数万亿的素数。当数目增加时，分布慢慢更趋向随机，但是规律依然存在。
“我非常吃惊，”牛津大学的James Maynard说， “我得亲自验证才能相信这件事”。 听到这个发现他也马上开始了自己的计算。
Soundararajan开始研究连续素数还要从牛津大学数学家Tadashi Tokieda的一场讲座说起。他在斯坦福演讲时，提到了一个掷硬币的悖谬现象：让Alice连续掷硬币直到出现“正面+反面”的组合，Bob连续掷硬币直到出现“正面+正面”的组合，平均来说，Alice需要掷四次而Bob需要掷六次（不信来试！）。我们知道，出现“正反”和“正正”组合的几率应该是一样的，这个结果令人不解。
Kannan Soundararajan(左) 和 Robert Lemke Oliver(右)
Soundararajan想知道类似的现象是否也会在其他场景中出现。他已经研究了几十年的素数，于是就此下手，结果发现了超乎预料的奇怪现象：在1000以内的三进制素数中，大约一半以1结尾，一半以2结尾；可是，以1结尾的素数，其后跟随着以2结尾的素数的几率是2/3！同样，以2结尾的素数后面更多地跟着一个以1结尾的素数。
Soundararajan将这一发现告诉他的博士后Oliver。后者非常吃惊，立即编写程序搜索了多达4000亿个素数，结果发现了同样的规律：素数后面相对较少出现相同尾数的素数。这些素数”讨厌自我重复”，Oliver说。
Lemke Oliver 和 Soundararajan起初猜测素数逃避自我重复的原因很简单：以3结尾的素数后面更可能出现尾数7、9或者1的素数，只是因为7、9、1结尾的数会先于3出现。比如，43后面是47，49，51，接下来才是53。而这些数里面47是素数。但是他们很快意识到这个解释并不能支持他们观察到的大规模素数分布规律，也不能解释为什么3后面更可能跟9而不是1或者7。为了弄清这些问题，Oliver 和 Soundararajan开始深入钻研最复杂的数学模型以期能解释这一现象。
素数当然并不是随机生成的，它们早就排布在那里了，只待我们去发现。然而从很多方面来看，它们确实像是一列随机数字，目前只遵循一个基本规则：某个数字附近素数的密度和这个数字的位数成反比。
1936年，瑞典数学家Harald Cramér借助一个基本模型生成“类随机素数”：在每个正整数上掷个加权硬币，权重是这个数字周围的素数密度，来决定是否把这个数字放入 “类随机素数”表。Cramér的这个掷硬币模型在预测真实素数的某些特性方面做得很好，比如两个连续完美平方数中间可能有多少个素数。
尽管Cramér的模型有些预测价值，但还是过于简化的，比如奇数和偶数在这个模型中有同样的机会被选中。多年来，数学家们在Cramér模型的基础上不断改进，去掉了偶数、能被3和5整除的数，以及一些小素数。
这些简单的掷硬币模型对于理解素数行为非常有用，比如它准确预测了素数和它的尾数没有关系。事实的确如此，以1、3、7、9结尾的素数出现的总频率基本一样。
类似地，这些模型也预测相邻素数的尾数之间应该也没有什么关联。正是因为数学家们太依赖这些简单的掷硬币模型了，他们长久以来忽略了连续素数的尾数倾向性。蒙特利尔大学和伦敦大学学院的数论学家Andrew Granville就说，“我们太想当然了，以致于没有去验证这份直觉是否正确。”
Soundararajan 和 Lemke Oliver研究后发现，用一个更精细的素数随机模型，k-tuples猜想，又称强孪生素数猜想或哈代·李特伍德猜想，可以解释素数与其后素数的尾数关联。该猜想由数学家G. H. Hardy 和 J. E. Littlewood在1923年提出，准确预估一定间隔的素数组合的出现频率。尽管有大量的数据支持这一猜想，但至今仍没有人能够证明。
K-tuples猜想涵括了素数领域许多未解的核心问题，比如张益唐先生做出重要突破的孪生素数猜想。大多数的数学家都相信孪生素数猜想，不是因为他们不断发现了更多孪生素数对，而是这些孪生素数对和k-tuples猜想的预测非常吻合。
有趣的是，Soundararajan 和 Oliver发现的连续素数尾数规律也和k-tuples猜想的预测相一致。换句话说，数学家们关于素数随机性最复杂的猜想迫使素数序列表现出尾数喜好性。Ken Ono说，“我现在要重新想想如何给学生讲数论分析这门课。”
数学家们认为现在还很难说这个喜好性是一个独立的特性还是和素数的其他数学体系紧密相连的。然而，Ken Ono预测数学家们会马上开始在相关领域寻找类似的倾向性，比如素数多项式。
这个发现也会让数学家用全新的眼光来看待素数，Granville说，“你会开始思索，关于素数我们是不是遗漏了些什么？”
参考文献
https://www.quantamagazine.org/20160313-mathematicians-discover-prime-conspiracy/
https://www.newscientist.com/article/2080613-mathematicians-shocked-to-find-pattern-in-random-prime-numbers/
http://www.scientificamerican.com/article/peculiar-pattern-found-in-random-prime-numbers/
http://arxiv.org/abs/1603.03720
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