数值模拟基础：初值问题与边值问题求解方法

初值问题 IVP

在区间 [t0,b] 上的解是一可微函数 y=y(t)，使得：

求解方法：

1. 欧拉法（忽略步长的二次项）

步长减少1/2，可期望全局误差降至约1/2。

2. 休恩法（heun）

休恩法是一种预测校正法，欧拉法用来预测，梯形法用来校正。

步长减少1/2，可期望全局误差降至约1/4。

3. 泰勒级数法

利用N阶泰勒展开式，选定不同的N，可以拥有不同的精度。其缺点是先要确定N，并且要计算高阶导数，较复杂。

对于4次泰勒方法，步长减少1/2，可期望全局误差降至约1/16。

4. 龙格库塔法

常用4阶龙格库塔法，一般没必要使用更高阶的方法。

对于4次RK，步长减少1/2，可期望全局误差降至约1/16。

5. 龙格库塔菲尔伯格法

上述方法都称为单步长法，它们只利用前一个点的信息来计算下一个点。其实还可以采用多步法，即用计算出的若干个点来计算下一个点，如亚当斯-巴什福斯法等。多步法的优点是可以确定它的局部截断误差(local truncation error, LTE)，并可以包含一个校正项，用在于每一步计算中改善解的精确度。

高阶微分方程：

如弹簧、阻尼、质量系统为典型微分方程。

对于二阶方程，通过变量替换：

从而可以得到两个1阶问题的方程组，继而求解。

边值问题BVP

另一类微分方程具有形式：

边界条件为：

求解方法：

1、线性打靶法（分解为两个初始值问题）

2、有限差分法（利用中心差分公式近似导数，得到差分方程计算微分方程。）

偏微分方程：

其中A，B，C是常数，称为拟线性（quasilinear）数，有三种拟线性方程。

椭圆型方程：

抛物型方程：

双曲型方程：

本文来源于新浪举举的博客，封面图片来自西北工业大学计算机仿真技术精品课程。

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