湘教版初二数学下册
（义务教育教科书）
第1章 直角三角形
1．1 直角三角形的性质和判定（I）
1．2 直角三角形的性质和判定（II）
1．3 直角三角形全等的判定
1．4 角平分线的性质
本章复习与测试
第2章 四边形
2．1 多边形
2．2 平行四边形
2．3 中心对称和中心对称图形
2．4 三角形的中位线
2．5 矩形
2．6 菱形
2．7 正方形
本章复习与测试
第3章 图形与坐标
3．1 平面直角坐标系
3．2 简单图形的坐标表示
3．3 轴对称和平移的坐标表示
本章复习与测试
第4章 一次函数
4．1 函数和它的表示法
4．2 一次函数
4．3 一次函数的图象
4．4 用待定系数法确定一次函数表达式
4．5 一次函数的应用
本章复习与测试
第5章 数据的频数分布
5．1 频数与频率
5．2 频数直方图
本章复习与测试
湘教版九年级数学上册知识点总结
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期末考点
第一章 直角三角形
一、 已学须用知识点回顾
知识点1、等腰三角形的性质(bjvdhuibf )
(1)对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的
对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴. (2)三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. (3)等边对等角：等腰三角形的两个底角相等. 提示：“三线合一”是指对应的角平分线、中线、高线在画图时实际上只是一条线段，即是一条线段既是顶角的平分线，又是底边上的中线，还是底边上的高，不能混淆.
三角形的高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，还有可能和三角形的边重合。 知识点2、等腰三角形的判定定理
1、 定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：等角对等
边). 2、 提示：(1)定理题设中的两个角必须是同一个三角形中的两个内角，不能出现在两个三
角形中;(2)结论中的两条边应是这两个内角的“对边”，这种对应关系不能混淆;(3)此定理的作用在于证明一个三角形为等腰三角形. 知识点3、等边三角形的性质与判定
1、 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°.
2、 等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且在每条边上都有“三线合一”.因此等边三
角形是轴对称图形，它有三条对称轴，而等腰三角形(非等边三角形)只有一条对称轴. 3、 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
拓展：等边三角形是一种特殊的三角形，容易知道等边三角形的三条高(或三条中线、三条角平分线)都相等.
知识点4、等腰三角形性质的应用
等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：(1) 等腰三角形两底角的平分线相等;(2)等腰三角形两腰上的中线相等; (3)等腰三角形两腰上的高相等;(4)等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.
知识点5、全等三角形的判定
1、 三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)。 2、 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3、 有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4、 有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 。
二、现学现用：直角三角形
知识点1、直角三角形的性质定理及推论：
1、直角三角形的两个锐角互余。
2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3、推论：(1)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半;
(2)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
4、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2。 (勾股数：能够构成直角三角形三条边的正整数{a，b，c}称为勾股数，常见的勾股数有：{3k，4k，5k}，{5k，12k，13k}，{8k，15k，17k}，{7k，24k，25k}，{9k，40k，41k}，其中k为正正整数)
知识点2、直角三角形的判定定理：
1、 有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、 有两个角互余的三角形是直角三角形。
3、 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
4、 如果三角形的三边长a、b、c满足关系：a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形(勾
股定理的逆定理) 知识点3、直角三角形的全等的判定(5种方法)：
1、 判定一般三角形全等的方法(SSS、SAS、ASA、AAS).
2、 判定直角三角形全等独有的方法：有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
全等，即HL定理(斜边、直角边定理)。 知识点4、角平分线的性质和判定：
1、 性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
2、 判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
2、平行四边形
3、中心对称
第3章 图形与坐标
一、确定位置的方法：
确定物体在平面上的位置有两种常用的方法:
1、有序数对法：用一对有序实数确定物体的位置。这种确定方法要注意有序，要规定将什么写在前，什么写在后。
2、方向、距离法：用方向和距离确定物体的位置（或称方位）。这种确定方法要注意参照物的选择，语言表达要准确、清楚。
二、平面直角坐标系概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫x轴或横轴；铅垂的数轴叫y轴或纵轴，两数轴的交点O称为原点。
三、点的坐标：在平面内一点P，过P向x轴、y轴分别作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫P点的横坐标和纵坐标，则有序实数对（a、b）叫做P点的坐标。
四、在直角坐标系中如何根据点的坐标：找出这个点，方法是由P（a、b），在x轴上找到坐标为a的点A，过A作x轴的垂线，再在y轴上找到坐标为b的点B，过B作y轴的垂线，两垂线的交点即为所找的P点。
五、如何根据已知条件建立适当的直角坐标系？
根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便，一般地没有明确的方法，但有以下几条常用的方法：
1、以某已知点为原点，使它坐标为（0,0）；
2、以图形中某线段所在直线为x轴（或y轴）；
3、以已知线段中点为原点；
4、以两直线交点为原点；
5、利用图形的轴对称性以对称轴为y轴等。
六、各象限上及x轴，y轴上点的坐标的特点：
第一象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－）
x轴上的点纵坐标为0，表示为（x，0）；y轴上的点横坐标为0，表示为（0，y）
七、图形“纵横向伸缩”的变化规律:
1、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别变成原来的n倍时，所得的图形比原来的图形在横向：①当n>1时，伸长为原来的n倍；②当0<n<1时，压缩为原来的n倍。
2、将图形上各个点的坐标的横坐标不变，而纵坐标分别变成原来的n倍时，所得的图形比原来的图形在纵向：①当n>1时， 伸长为原来的n倍；②当0<n<1时，压缩为原来的n倍。
八、图形“纵横向位置”的变化规律:
1、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别加上a，所得的图形形状、大小不变，而位置向右（a>0）或向左(a<0)平移了|a|个单位。
2、将图形上各个点的坐标的横坐标不变，而纵坐标分别加上b，所得的图形形状、大小不变，而位置向上（b>0）或向下(b<0)平移了|b|个单位。
平移变换的坐标变化规律是：左正右负，上正下负
九、图形“倒转与对称”的变化规律:
1、将图形上各个点的横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，所得的图形与原来的图形关于x轴对称。（关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数）
2、将图形上各个点的纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，所得的图形与原来的图形关于y轴对称。（关于y轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数）
3、将图形上各个点的横坐标分别乘以-1，纵坐标分别乘以-1，所得的图形与原来的图形关于原点对称。（关于原点对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数）
十、图形“扩大与缩小”的变化规律:
将图形上各个点的纵、横坐标分别变原来的n倍（n>0），所得的图形与原图形相比，形状不变；①当n>1时，对应线段大小扩大到原来的n倍；②当0<n<1时，对应线段大小缩小到原来的n倍。
第4章 一次函数
一、定义与定义式：
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx (k为常数，k≠0)
二、一次函数的性质：
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)
2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：
1.作法与图形：通过如下3个步骤
(1)列表;
(2)描点;
(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：
当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b>0时，直线必通过一、二象限;
当b=0时，直线通过原点
当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：
已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
六、常用公式：
1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2
3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注：根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)
第5章 数据的频数分布
知识点总结
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