新人教版高中数学必修第四册(B版)知识精讲+资料下载
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高中数学必修第四册（B版）目录 ▼ （长按识别扫二维码观看下载教学视频） 第九章
9.1.1 正弦定理...........................3
9.1.2 余弦定理...........................8
9.2 正弦定理与余弦定理的应用....13
9.3 数学探究活动：
得到不可达两点之间的距离..........17
本章小结...................................19
第十章
复数
10.1 复数及其几何意义
10.1.1 复数的概念....................25
10.1.2 复数的几何意义..............29
10.2 复数的运算
10.2.1 复数的加法与减法.........33
10.2.2 复数的乘法与除法.........36
10.3 复数的三角形式及其运算..43
本章小结................................50
第十一章
立体几何初步
11.1.1 空间几何体与斜二测画法......55
11.1.2 构成空间几何体的基本元素...60
11.1.3 多面体与棱柱......................66
11.1.4 棱锥与棱台.........................72
11.1.5 旋转体...............................76
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积......82
11.2 平面的基本事实与推论............91
11.3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线...........96
11.3.2 直线与平面平行................100
11.3.3 平面与平面平行................103
11.4 空间中的垂直关系
11.4.1 直线与平面垂直................110
11.4.2 平面与平面垂直...............116
本章小结...................................123
本书拓展阅读目录
秦九韶的 “三斜求积术”..................11
利用复数产生分形图.....................40
四元数简介.................................47
我国古代数学中球的体积公式........86
第九章
9.1.1 正弦定理...........................3
9.1.2 余弦定理...........................8
9.2 正弦定理与余弦定理的应用....13
9.3 数学探究活动：
得到不可达两点之间的距离..........17
本章小结...................................19
第十章
复数
10.1 复数及其几何意义
10.1.1 复数的概念....................25
10.1.2 复数的几何意义..............29
10.2 复数的运算
10.2.1 复数的加法与减法.........33
10.2.2 复数的乘法与除法.........36
10.3 复数的三角形式及其运算..43
本章小结................................50
第十一章
立体几何初步
11.1.1 空间几何体与斜二测画法......55
11.1.2 构成空间几何体的基本元素...60
11.1.3 多面体与棱柱......................66
11.1.4 棱锥与棱台.........................72
11.1.5 旋转体...............................76
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积......82
11.2 平面的基本事实与推论............91
11.3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线...........96
11.3.2 直线与平面平行................100
11.3.3 平面与平面平行................103
11.4 空间中的垂直关系
11.4.1 直线与平面垂直................110
11.4.2 平面与平面垂直...............116
本章小结...................................123
本书拓展阅读目录
秦九韶的 “三斜求积术”..................11
利用复数产生分形图.....................40
四元数简介.................................47
我国古代数学中球的体积公式........86
知识点总结
正弦定理余弦定理
1．对余弦定理的四点说明
(1)勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
(2)与正弦定理一样，余弦定理揭示了三角形的边角之间的关系，是解三角形的重要工具之一．
(3)余弦定理的三个等式中，每一个都包含四个不同的量，它们是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，就可以求出第四个量．
(4)运用余弦定理时，若已知三边(求角)或已知两边及夹角(求第三边)，则由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．
2．对余弦定理推论的理解
余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．
探究点1 已知两边及一角解三角形
(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法
①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；
②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．
(2)已知两边及其夹角解三角形的方法
方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．
方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．
[注意] 解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便．
1.在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．
正弦定理与余弦定理的应用
数学探究活动： 得到不可达两点之间的距离 知识点
复数及其几何意义
一
1.定义：
形如a+bi的数叫做复数(a，b∈R)，其中a叫做复数的实部，b叫做虚部
2.分类：
实数：当b=0时，复数a+bi为实数
虚数：当b≠0时，复数a+bi为虚数
纯虚数：当a=0，b≠0时，复数a+bi为纯虚数
3.两个复数相等的定义：
如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
例如：如果a+bi=c+di，则a=c且b=d，另外当a+bi=0，则a=0且b=0
备注：
两个虚数(b≠0)是不能比较大小的，即使是纯虚数也是不能比较大小的，具体举例如下：
① 3+i与8+2i，虽然后面的虚数的实部跟虚部都是大于前面的虚数，但是仍不能比较大小。
② 2+i与4+2i虽然后面的虚数是前面虚数的2倍，但是不能比较大小
③ 3i跟5i，两个都是纯虚数，但是不能比较大小的
4.共轭复数：
当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
例如：z=a+bi的共轭复数是
二
1.复平面定义：
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.几何意义：
复数z=a+bi与复平面内的点(a,b)以及平面向量
z=a+bi的模，即
三
1.加、减、乘、除运算：
设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i
z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i
z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i
z1·z2=(a1+b1i)·(a2+b2i)
=a1a2+a1b2i+a2b1i+b1b2i2
=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i
2.其他结论
① i1=i, i2=-1，i3=-i，i4=1
备注：求in只需将n除以4看余数是几就是i的几次方
② in+in+1+in+2+in+3=0
③ (1+i)2=2i，(1-i)2=-2i
④ 若z=a+bi，则
复数的运算
一、代数运算：
二、几何运算：
复数的加法与减法
复数的加（减）法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和（差）的实部是原来两个复数实部的和（差），它的虚部是原来两个虚部的和（差）。两个复数的和（差）依然是复数。即
复数的乘法与除法
复数的三角形式及其运算
空间几何体
空间几何体与斜二测画法
空间图形的直观图：
用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图
斜二测画法：
斜二测画法是一种特殊的平行投影画法。
斜二测画法：
（1）在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面；
（2）在已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；
（3）在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
已知三视图画直观图的方法：
在工程技术中，为了全面展示图纸上的几何体的特征和尺寸，常给出三视图，而要清晰地观察到其效果，则需将其转化为直观图（具有空间立体感）．在由三视图转化为直观图时，先由三视图确定几何体的长、宽、高．比较常见几何体的三视图，从而得到正确的直观图．
已知直观图画三视图的方法：
在由直观图画三视图时先由与投影面平行或垂直的线段确定三视图的顶点，与投影面平行的线段投影的长度不变，与投影面垂直的线段投影后是一个点．
依据斜二测画法求直观图面积：
求直观图面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成450角且长度变为原来的一半的线段，以此为依据来求出相应的高线即可．将水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，其作法就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线段长度变为原来的2倍．
斜二测画法：
（1）在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面；（2）在已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；
（3）在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
立体图形的直观图的画法：
画立体图形的直观图时，主要有下面几个步骤：
(l)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z′轴，z′轴过点o′，且与x\\\\\\\'轴夹角为900，并画高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图．
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示。
特别提醒(l)画立体图形的直观图的要求不高，只要会画圆柱、圆锥、正棱柱、正棱锥和正棱台的直观图即可．(2)画立体图形与画水平放置的平面图形相比多。
构成空间几何体的基本元素
多面体与棱柱
棱锥与棱台
旋转体
1.在中学我们只研直圆柱、直圆锥和直圆台。所以对圆柱、圆锥、圆台的旋转定义、实际上是直圆柱、直圆锥、直圆台的定义。
这样定义直观形象，便于理解，而且对它们的性质也易推导。
对于球的定义中，要注意区分球和球面的概念，球是实心的。
等边圆柱和等边圆锥是特殊圆柱和圆锥，它是由其轴截面来定义的，在实践中运用较广，要注意与一般圆柱、圆锥的区分。
2.圆柱、圆锥、圆和球的性质
(1)圆柱的性质，要强调两点：一是连心线垂直圆柱的底面;二是三个截面的性质——平行于底面的截面是与底面全等的圆;轴截面是一个以上、下底面圆的直径和母线所组成的矩形;平行于轴线的截面是一个以上、下底的圆的弦和母线组成的矩形。
(2)圆锥的性质，要强调三点
①平行于底面的截面圆的性质：
截面圆面积和底面圆面积的比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的平方比。
②过圆锥的顶点，且与其底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形，其面积为：
易知，截面三角形的顶角不大于轴截面的顶角(如图10-20)，事实上，由BC≥AB，VC=VB=VA可得∠AVB≤BVC.
由于截面三角形的顶角不大于轴截面的顶角。
所以，当轴截面的顶角θ≤90°，有0°<α≤θ≤90°，即有
当轴截面的顶角θ>90°时，轴截面的面积却不是最大的，这是因为，若90°≤α<θ<180°时，1≥sinα>sinθ>0.
③圆锥的母线l，高h和底面圆的半径组成一个直径三角形，圆锥的有关计算问题，一般都要归结为解这个直角三角形，特别是关系式
l2=h2+R2
(3)圆台的性质，都是从“圆台为截头圆锥”这个事实推得的，但仍要强调下面几点：
①圆台的母线共点，所以任两条母线确定的截面为一等腰梯形，但是，与上、下底面都相交的截面不一定是梯形，更不一定是等腰梯形。
②平行于底面的截面若将圆台的高分成距上、下两底为两段的截面面积为S，则
其中S1和S2分别为上、下底面面积。
的截面性质的推广。
③圆台的母线l，高h和上、下两底圆的半径r、R，组成一个直角梯形，且有
l2=h2+(R-r)2
圆台的有关计算问题，常归结为解这个直角梯形。
(4)球的性质，着重掌握其截面的性质。
①用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直。
②如果用R和r分别表示球的半径和截面圆的半径，d表示球心到截面的距离，则
R2=r2+d2
即，球的半径，截面圆的半径，和球心到截面的距离组成一个直角三角形，有关球的计算问题，常归结为解这个直角三角形。3.圆柱、圆锥、圆台和球的表面积
3.(1)圆柱、圆锥、圆台和多面体一样都是可以平面展开的。
①圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图，是求其侧面积的基本依据。
圆柱的侧面展开图，是由底面图的周长和母线长组成的一个矩形。
②圆锥和侧面展开图是一个由两条母线长和底面圆的周长组成的扇形，其扇形的圆心角为
③圆台的侧面展开图是一个由两条母线长和上、下底面周长组成的扇环，其扇环的圆心角为
这个公式有利于空间几何体和其侧面展开图的互化
显然，当r=0时，这个公式就是圆锥侧面展开图扇形的圆心角公式，所以，圆锥侧面展开图扇形的圆心角公式是圆台相关角的特例。
(2)圆柱、圆锥和圆台的侧面公式为
S侧=π(r+R)l
当r=R时，S侧=2πRl，即圆柱的侧面积公式。
当r=0时，S侧=rRl，即圆锥的面积公式。
要重视，侧面积间的这种关系。
(3)球面是不能平面展开的图形，所以，求它的面积的方法与柱、锥、台的方法完全不同。
推导出来，要用“微积分”等高等数学的知识，课本上不能算是一种证明。
求不规则圆形的度量属性的常用方法是“细分——求和——取极限”，这种方法，在学完“微积分”的相关内容后，不证自明，这里从略。
4.画圆柱、圆锥、圆台和球的直观图的方法——正等测
(1)正等测画直观图的要求：
①画正等测的X、Y、Z三个轴时，z轴画成铅直方向，X 轴和Y轴各与Z轴成120°。
②在投影图上取线段长度的方法是：在三轴上或平行于三轴的线段都取实长。
这里与斜二测画直观图的方法不同，要注意它们的区别。
(2)正等测圆柱、圆锥、圆台的直观图的区别主要是水平放置的平面图形。
用正等测画水平放置的平面圆形时，将X轴画成水平位置，Y轴画成与X轴成120°，在投影图上，X轴和Y轴上，或与X轴、Y轴平行的线段都取实长，在Z轴上或与Z轴平行的线段的画法与斜二测相同，也都取实长。
5.关于几何体表面内两点间的最短距离问题
柱、锥、台的表面都可以平面展开，这些几何体表面内两点间最短距离，就是其平面内展开图内两点间的线段长。
由于球面不能平面展开，所以求球面内两点间的球面距离是一个全新的方法，这个最短距离是过这两点大圆的劣弧长。
祖暅原理与几何体的体积
平面的基本事实与推论
空间中的平行关系
1、空间点、直线、平面之间的位置关系
平面
点与直线、平面之间的位置关系
公理及表示
2、空间中直线与直线之间的位置关系
空间的两条直线有三种关系
公理
3、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面的三种位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
4、直线、平面平行的判定及其性质
定理
5、直线、平面垂直的判定及其性质
基本概念
①直线与平面垂直：如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平面α垂直，记作a⊥α。直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面。直线a与平面α的公共点叫做垂足。
直线与平面所成的角的取值范围：0<θ<90°
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的取值范围：0<θ<180°
两个平面垂直：直二面角。
定理
平行直线与异面直线
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。空间两条直线的位置关系有三种，即相交和平行，这两种情况的两条直线在同一平面内。另外一种情况就是不相交也不平行称为异面直线。 [2]
注意，以下关于异面直线的说法是错误的：
1．分别在两个平面内的直线是异面直线；
2．在空间不相交的两条直线是异面直线；
3．平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线。
相关概念
1.两条异面直线所成的角
直线a、b是异面直线。经过空间任意一点o，分别引直线a\\\\\\\'//a，b\\\\\\\'//b。直线a\\\\\\\'和b\\\\\\\'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线a、b所成角的大小，只由a、b的相互位置来确定，与点o的选择无关(可以用等角定理来证明)。
2.两条异面直线的距离
两条异面直线的公垂线茫这两条异面直线问的线段的长度，叫做两条异面直线的距离。
异面直线a、b间的距离，也就是a和过b且平行于a的平面M间的距离。
判定方法
(1)定义法：由定义判定两直线永远不可能在同一平面内，常用反证法。
(2)判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线。
例证：
判定定理：平面的一条交线与平面内不经过交点的直线互为异面直线。
已知：AB∩α=A，CD⊂α，A∉CD。求证：AB和CD互为异面直线。
证明：假设AB和CD在同一平面内，设这个平面是β。即A∈β，CD⊂β。
∵A∈α，CD⊂α，A∉CD
由不在同一直线上的三个点确定一个平面可知，α和β重合。
∵AB⊂β
∴AB⊂α，这与已知条件AB∩α=A矛盾。
∴AB和CD不在同一平面内，即AB和CD互为异面直线
（3）解析几何
设两条空间直线
则它们互为异面直线的充要条件是行列式
性质
和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。
两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离。
过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
经过两条异面直线中的一条，有一个平面与另一条直线平行。
异而冉直线的公垂线存在且唯一。
在两条异面直线上各任取一点，这两点形成的所有线段中这两条异面直线的距离最小。
直线与平面平行
1、直线与平面的位置关系
（1）直线在平面内
2、直线和平面平行的判定
3、直线和平面平行的性质
4、将线面问题转化为线线问题
“过线作面找交线”
（2）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一平面内的两条直线，那么这两个平面平行。（线线平行
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
（4）平行于同一个平面的两个平面平行。
（6）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 （面面平行
（7）如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线。
1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.
2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.(“线面平行，面面平行”)
推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行.
[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.
3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.(“面面平行，线线平行”)
4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.
两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.(“线面垂直，面面垂直”)
注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.
5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.
推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.
证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于，
因为则.
6. 两异面直线任意两点间的距离公式：(为锐角取加，为钝取减，综上，都取加则必有)
7. ⑴最小角定理：(为最小角，如图)
⑵最小角定理的应用(∠PBN为最小角)
简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.
成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.
成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.
成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.
秦九韶与《数书九章》
秦九韶从小思维活跃，对天文、音律、算术、建筑等都有浓厚的兴趣，他跟随父亲居住在杭州期间，向太史学习天文、历法，又同隐君子学习数学。1231年，秦九韶考中进士，先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地当官。他爱数学，潜心钻研，广泛地收集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行研究。
1244年，他辞官为母亲服丧3年，在这期间，他把历年积累下来的数学研究成果加以整理，精选了81道题目，于1247年9月，写出了二十万字的划时代巨著《数书九章》十八卷，标志着世界数学在中世纪达到的最高水平，奠定了其时人难以望其项背的数学地位。《数书九章》可与秦汉时代的《九章算术》（由刘徽注释）相比美.这两部著作代表我国古代数学的两个顶峰，即使说是分别代表全世界数学的当时两个顶峰也是恰当的.萨顿（G.carton）说他是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”，李倍始（U. Libbrecht）把他放在第八高度，仅次于第九高度（欧拉、高斯等人）和第十高度（斯提尔吉斯）.
《数书九章》为应用问题集形式，与古埃及祭司纸草算书、古巴比伦泥版算书、汉代《九章算术》相类。每题分问、答、术、草四部分，“问曰”是从实际生活中提出问题；“答曰”给出答案；“术曰”阐述解题原理与步骤；“草曰”给出详细的解题过程。有的草后有“算图”（解法筹式），或几何示意图。题前均立四字片语概括内容。该书共18卷，分为大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易九大类，每类用九个例题来阐明各种演算法。许多计算方法直到现在仍有很高的参考价值和实践意义。
四元数简介
旋转的另一种表示方法——四元数。
四元数介绍
四元数是由数学家William Rowan Hamilton在1843年爱尔兰发明的。当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）。他不能做到三维空间的例子，则造出四元数。根据Hamilton记述，他于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家运河（Royal Canal）上散步时突然想到 i2 = j2 = k2 = Ijk = -1，之后哈密顿立刻将此方程刻在附近布鲁穆桥（Brougham Bridge，现称为金雀花桥 Broom Bridge）。
四元数本质上是一个高阶复数（我觉得也可以看成是复数的复数），形如a+bi+cj+dk，其中a,b,c,d是实数。
为了方便，我们先使q = ((x, y, z)，w) = (v, w)，其中v是向量，w是实数，这样的式子来表示一个四元数。如果我们想要把空间的一个点P绕着单位向量轴u = (x, y, z)表示的旋转轴旋转θ角度，我们可以使用一个四元数q=((x,y,z)sinθ/2, cosθ/2) 来执行这个旋转。我们首先把点P扩展到四元数空间，即四元数P= (P, 0)。那么，旋转后新的点对应的四元数（当然这个计算而得的四元数的实部为0，虚部系数就是新的坐标）为：
p′=qpq−1
旋转方法的优缺点：
矩阵旋转
优点：
1、旋转轴可以是任意的向量；
缺点：
1、旋转其实只需要知道一个向量和一个角度，一共四个值的信息，但矩阵法却使用了16个元素；
2、实际计算时计算量较大，造成了时间和空间的浪费；
欧拉旋转
优点：
1、形象，容易理解；
2、方便表达，X、Y、Z轴的旋转角度分别有3个值对应；
缺点：
1、必须按照固定的坐标轴顺序旋转，不同的旋转顺序会产生不同的结果；
2、会造成万向节锁（Gimbal Lock）的现象。这种现象的发生就是由于上述固定坐标轴旋转顺序造成的。理论上，欧拉旋转可以靠这种顺序让一个物体指到任何一个想要的方向，但如果在旋转中不幸让某些坐标轴重合了就会发生万向节锁，这时就会丢失一个方向上的旋转能力，也就是说在这种状态下我们无论怎么旋转（当然还是要原先的顺序）都不可能得到某些想要的旋转效果，除非我们打破原先的旋转顺序或者同时旋转3个坐标轴。
四元数旋转
优点：
1、可以避免万向节锁现象；
2、可以提供平滑插值；
3、从四元数转换到矩阵要比从欧拉角转换到矩阵快一些。
缺点：
1、比欧拉角复杂；
2、理解困难，不直观
祖暅原理
“两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，原文是“幂势既同，则积不容异”，在西方被称为卡瓦列利原理。
就好比图中的这三个几何体，与底面等距离处的截面积都相等，这三个几何体体积是相等的。祖暅也叫做祖暅之，是祖冲之的儿子。祖冲之父子在数学上均有很大的成就。
牟合方盖
我国古代数学家刘徽、祖冲之父子通过牟合方盖这种工具对球的体积进行推导。所谓的牟合方盖其实就是立方体被两个直径是立方体边长的圆柱体所截所得的一个图形。
正如下方的动图一样。从上方看的视图是正方形，沿着两个圆柱体的方向看视图是圆形。
牟合方盖的体积
学过解析几何的同学都知道，平面直角坐标系分四个象限，立体坐标系分为八个卦限。象限和卦限是按照我国传统文化来翻译的，也就是易经中说的四象、八卦的意思。
牟合方盖被坐标轴分为8个对称的部分，取第一卦限的部分进行研究。
结合勾股定理以及祖暅原理，可以知道左边的牟合方盖（八分之一）的体积等于右边的立方体挖去一个与其等底等高锥体之后剩余部分的体积，于是牟合方盖（八分之一）的体体积等于2/3r^3，整个牟合方盖的体积为16/3r^3
将牟合方盖的体积转化为球的体积
取球体的第一卦限的部分（1/8球）研究。可以发现在任意高度的位置上，球体截面积与牟合方盖截面积与的比是π /4。所以球的体积是4/3π r^3
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