高中数学《椭圆》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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视频教学：

知识点：

★知识梳理★

1. 椭圆定义：

（1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.

（2）椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆

（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.

2.椭圆的方程与几何性质:

标准方程
性 质	参数关系
焦点
焦距
范围
顶点
对称性	关于x轴、y轴和原点对称
离心率
准线

教案：

课件：

习题解析：

考点1  椭圆定义及标准方程 

题型1:椭圆定义的运用

[例1 ] 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是

A．4aB．2(a－c)C．2(a+c)D．以上答案均有可能

[解析]按小球的运行路径分三种情况:

(1),此时小球经过的路程为2(a－c);

(2), 此时小球经过的路程为2(a+c);

(3)此时小球经过的路程为4a,故选D

1.短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（    ）

A.3         B.6         C.12          D.24

2.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（    ）

A． 5         B． 7          C ．13          D． 15

3．设k＞1，则关于x，y的方程（1﹣k）x2+y2=k2﹣1所表示的曲线是（　　）

A.长轴在x轴上的椭圆      B.实轴在y轴上的双曲线

C.实轴在x轴上的双曲线    D.长轴在y轴上的椭圆

4．椭圆的长轴长为（    ）

A．2    B.3     C.6     D. 9

5．已知椭圆（）的两个焦点为,以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且，则等于___________.

1、利用椭圆的定义求椭圆的标准方程：

  根据动点满足等式的几何意义，写出标准方程；

2、利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程：

  建立关于的方程或方程组；

3、利用待定系数法求椭圆的标准方程：

（1）如果明确椭圆的焦点在轴上，那么设所求椭圆的方程为

（2）如果明确椭圆的焦点在轴上，那么设所求椭圆的方程为

（3）如果椭圆的中心在原点，但焦点的位置不明确是在轴上，还是在轴上，那么方程可设为，进而求解

[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.

【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来

[解析]设椭圆的方程为或，

则，

解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或.

【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系．

［警示］易漏焦点在y轴上的情况．

1. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.

2．已知是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若的周长为8，则椭圆方程为（    ）

A.      B.       C.      D.

3．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是（   ）

A．       B．     C．      D．

4.已知方程,讨论方程表示的曲线的形状

1. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.

考点2 椭圆的几何性质

题型1:求椭圆的离心率（或范围）

解题方法归纳：

（1）若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定求出的值，利用公式直接求解

（2）由已知转化为或，利用公式或变形求解

（3）若椭圆方程未知，则根据条件及几何图形建立关于的关系式，化为关于的齐次方程，再化为关于的方程求解 ：或者化为关于的齐次方程，求

再用求解

[例3 ] 在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率           ．

【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定

（2）只要列出的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）

（3）“焦点三角形”应给予足够关注

【新题导练】

1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为

      .        .        .         .

2.已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的离心率为           

3．已知椭圆方程，椭圆上点M到该椭圆一个焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON的长是（　　）

A.2    B.4    C.8    D.

4．设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（    ）

A．      B．      C．        D．

5．椭圆与渐近线为的双曲线有相同的焦点,为它们的一个公共点,且,则椭圆的离心率为（    )

（A）     （B)     （C）     （D)

6．已知椭圆的上、下顶点分别为、，左、右焦点分别为、，若四边形是正方形，则此椭圆的离心率等于

A．            B．             C．            D．

7．过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为（  ）

A．        B．        C．       D．

8．椭圆的两个焦点分别是，若上的点满足，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）

A．         B．       C．      D．或

9．椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为(　　)

A．       B．        C．       D．

题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）

[例4 ] 已知实数满足,求的最大值与最小值

【解题思路】 把看作的函数

[解析] 由得,

当时,取得最小值,当时,取得最大值6

【新题导练】

1.已知点是椭圆（，）上两点,且,则=        

2.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点

则________________

3．已知椭圆上存在两点、关于直线对称，求的取值范围.

四．椭圆的焦点三角形

例：已知椭圆的两焦点为、，为椭圆上一点，且。

（1）求此椭圆的方程；

（2）若在第二象限，，求的面积。

1、圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则         ；的大小为         ；

2.设是椭圆上的一点，、为焦点，，求的面积。

3.已知点是椭圆上的一点，、为焦点，，求点到轴的距离。

4.椭圆的焦点为、，为其上一动点，当为钝角时，点的横坐标的取值范围为           。

5.P为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点。（1）若的中点是，求证：；（2）若，求的值。

、及；

7.设分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，若△为直角三角形，则△的面积等于__  

8.已知椭圆的左、右焦点分别是、，点P在椭圆上.

若P、、是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（    ）

A.            B.          C.             D. 或

拓展结论：已知P是椭圆上的一点, 为椭圆的两焦点.

(1) 当时，椭圆上存在4个点，使得，且；

(2) 当时，椭圆上存在2个点，使得，且；

(3) 当时，椭圆上不存在点，使得，且.

专题训练：

1.P为椭圆上一点, 为焦点，满足的点的个数为  .(4个)

2.已知为椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内，则椭圆的离心率为      . ()

3. 椭圆的左右焦点分别为，且在椭圆上存在点P,使得,则实数M的取值范围为       .( ) 扩展

考点3 椭圆的最值问题

[例5 ]椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为___________．

【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数

[解析]在椭圆上任取一点P,设P(). 那么点P到直线l的距离为：

【名师指引】也可以直接设点，用表示后，把动点到直线的距离表示为的函数，关键是要具有“函数思想”

【新题导练】

1.椭圆的内接矩形的面积的最大值为              

2. 是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值

3.已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又、，

是原点，则四边形的面积的最大值是_________．

4．已知是曲线上的动点，则的最大值为

A.              B.              C.            D.

5．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（      ）．

A．             B．             C．             D．

6．若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为

A．            B．               C．             D．1

7．动点在椭圆上,若点坐标为,,且,则的最小值是（   )

A.             B.               C.            D.

8．在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为（    ）

A.6         B.     C.9      D.

9．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)

A.2          B.3           C.6          D.8

考点4.椭圆的中点弦问题

例： （1）已知动点到直线的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍，

(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.

1、直线交椭圆于A、B两点，中点的坐标是，则直线的方程为

     　    ；

2、已知椭圆的方程是，则以点为中点的弦所在的直线方程是        ．

3.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为（　　）

   A．  B．   C．      D．

4．中心为, 一个焦点为的椭圆,截直线所得弦中点的横坐标为,则该椭圆方程是（　　）

A．B．    

C．D．

5.直线过椭圆的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为　      　．

6．(本题满分12分)

已知定点及椭圆,过点的动直线与该椭圆相交于两点

(1)若线段中点的横坐标是,求直线的方程;

7．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.

(1)求C的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

 8、椭圆Ｃ：的左右焦点分别为、，点在椭圆Ｃ上，且，。

（I）求椭圆Ｃ的方程；

（II）若直线过圆的圆心交椭圆于、两点，且、关于点对称，求直线的方程。

椭圆专题训练

设经过点F（1,0）的直线与椭圆交于A，B两点

（1）若点F恰好为AB的中点，求直线的方程；   （答案：x=1）

（2）若弦长，求直线的方程；  （答案：）

（3）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线的方程；（答案：）

（4）若以AB为直径的圆恰好经过左焦点，求直线的方程；（答案：）

（5）若点M恰好在椭圆上，使得，求直线的方程；（答案：）

（6）若，求直线的方程；   （答案：）

（7）若定点C（0，），使得，求直线的方程；（答案：）

（8）若动点P在x=2上，使得△PAB为正三角形，求直线的方程；（答案：）

（9）若动点P在x=2上，使得，求直线的方程；（答案：不存在）

（10）若直线的斜率为1，使得△ABD为正三角形，求顶点D的坐标；

答案：或

（11）若，点T在椭圆上使得△TAB面积为，求点T的个数；（答案：个数为4）

（12）求△AOB面积的最大值；（答案：）

（13）求的取值范围；（答案：）

（14）若AOB为锐角，求直线的斜率k的取值范围；（答案：）

（15）若点S是椭圆位于x轴上方的动点，直线与交于M，N两点，求线段的最小值；

（答案为2）提示：（这里m=2,k>0）

（16）求平行四边形OAPB顶点P的轨迹方程；（答案：）

（17）求△AOB重心的轨迹方程；（答案：，去掉（0,0）

（18）若点与B关于x轴对称，证明：过定点；（答案：定点（2,0））

（19）若过椭圆中心O的弦MN与AB平行，证明：为定值；（答案：定值）

（20）若点P在椭圆上，过点G（，0）直线交椭圆于M，N两点，证明：为定值

（答案：定值）

考点5椭圆的综合应用

题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题

[例6 ] 已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．

（1）求椭圆方程；

（2）求m的取值范围．

【解题思路】通过，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式

[解析]（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设

由条件知且，又有，解得 

故椭圆的离心率为，其标准方程为：

（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）

得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0

Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）

x1＋x2＝， x1x2＝　

∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴

消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0

整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　 

m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1

容易验证k2>2m2－2成立，所以（*）成立

即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）   

【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能

【新题导练】

1.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是                                  （   ）

  A.              B. 

C.                D. 

[解析] ，选A.

2. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。

   （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

   （2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。

解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0）

由题设可得

∴动点P的轨迹方程为，

则

∴曲线E方程为

（2）直线MN的方程为

由

∴方程有两个不等的实数根

∵∠MBN是钝角

即

解得：

又M、B、N三点不共线

综上所述，k的取值范围是

基础巩固训练

1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为(      )                                                          

  A      B    C    D  

2. 设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，的值为

A、0　　B、1　　C、2　　D、3

4.在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率                ．

5. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 _________.

6.在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=      ．

综合提高训练

1、已知椭圆与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率．求椭圆方程

2、已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。

   （1）求椭圆的标准方程；

   （2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值。

3. 已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.

(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;

(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.

[解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为.

设椭圆的标准方程是.

.

椭圆的标准方程是

(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.

设M,N两点的坐标分别为

联立方程:

消去整理得,

有

若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,

所以,,

即

所以,

即

得

所以直线的方程为,或.

所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点.

参考例题：

1、从椭圆上一点向轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点,为椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点,且.

⑴、求该椭圆的离心率.

⑵、若该椭圆的准线方程是，求椭圆方程.

[解析] ⑴、 ，∥，△∽△,

， 又，,

而.    

⑵、为准线方程，,

由． 所求椭圆方程为．

2、设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，若，证明：的面积只与椭圆的短轴长有关

[解析]由 得，，，命题得证

练习：

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