高中数学《等差数列》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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视频教学：

知识点：

等差数列 

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，那么这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.

等差数列的基本公式

通项公式

a_n=a₁+(n-1)d ，注意：等差数列求和公式 

即 第n项=首项+(n-1)×公差（n是项数）

前n项和公式

（相当于n个等差中项之和）.

注意：n是正整数

等差数列前n项求和，实际就是梯形公式的妙用：

上底为a₁（首项），下底为a₁+(n-1)d,高为n，即

推论

一、从通项公式可以看出，a_n是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，a_n)排在一条直线上，由前n项和公式知，S_n是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a₁≠0)，且常数项为0.

二、从等差数列的定义、通项公式、前n项和公式还可推出：a₁+a_n=a₂+a_n-1=a₃+a_n-2=…=a_k+a_n-k+1(类似地：p₁+p_n=p₂+p_n-1=p₃+p_n-2=…=p_k+p_n-k+1)，

k∈{1,2,…,n}.

三、若m，n，p，q∈N^*，且m+n=p+q，则有a_m+a_n=a_p+a_q.

若m+n=2p,则a_m+a_n=2a_p.

等差中项

等差中项即等差数列头尾两项的和的一半，但求等差中项不一定要知道头尾两项.

在等差数列中，等差中项一般设为A_r.当A_m,A_r,A_n成等差数列时，A_m+A_n=2A_r,所以A_r为A_m，A_n的等差中项，且为数列的平均数，并且可以推知n+m=2r，且任意两项a_m，a_n的关系为：a_n=a_m+(n-m)d，类似地p_n=p_m+(n-m)d，相当容易证明.

它可以看作等差数列广义的通项公式.

等差数列常应用于日常生活中，如在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级.

其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了：

今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何?

书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。

这相当于给出了S_n=的求和公式.

等差数列的基本性质

r次等差数列

为什么在等差数列的学习中对公差和首项特别地关注？因为公差和首项可以作为等差数列一切变化的切入点.当我们有更好的切入点后，我们可以毫不犹豫地抛弃公差和首项.

　　假设一个基向量E_n(x)=[1,x,x²,…,x^k]，转换矩阵A为k+1阶方阵，b=[b₀,b₁,b₂,…,b_k].b同E_n的长度一样为k+1，b′表示b的转置。当k=1时，我们可以称为一次数列；当k=r时，我们可以称为r次数列(x,k只能取自然数).

p(x)=E_n(x)·b′.

s(x)=x·E_n(x)·A·b′.

m+n=p+q（m，n，p，q∈N^*)，则a_m+a_n=a_p+a_q.

一次等差数列的性质

1.p₁(x),p₂(x)均为一次等差数列，则p₁(x)±p₂(x)与c·p₁(x)±p₂(x)(c为非零常数)也是一次等差数列.p(x)是一次函数，(n,p(x))构成直线.

2.p_m-p_n=E_n(m)·b′-E_n(n)·b′=(E_n(m)-E_n(n))·b′=（0,m-n）·b′.

3.m+n=p+q⇒p_p+p_q=p_m+p_n 

(证明:m+n=p+q⇒E_n(m)+E_n(n)=E_n(p)+E_n(q).

p_m+p_n=E_n(m)·b′+E_n(n)·b′=(E_n(m)+E_n(n))·b′

p_p+p_q=(E_n(p)+E_n(q))·b′=(E_n(m)+E_n(n))·b′=p_m+p_n）.

4.从p(x)=E_n(x)·b′中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是一次等差数列，其一次项系数为k·b₁( k为取出项数之差)，常数项系数未知.

5.在一次等差数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的平均数．

6.当一次项系数b₁>0时，数列中的数随项数的增大而增大；当b₁<0时，数列中的数随项数的减小而减小；b₁=0时，数列中的数等于一个常数.

等差数列的判定

1.a_n+1-a_n=d (d为常数，n∈N^*）[或a_n-a_n-1=d（n∈N^*，n≥2,d是常数）]等价于{a_n}成等差数列.

2.2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），等价于{a_n}成等差数列. 

3.a_n=kn+b（k，b为常数,n∈N^*），等价于{a_n}成等差数列.

4.S_n=an²+bn（a，b为常数，a不为0，n∈N^*），等价于{a_n}为等差数列.

等差数列前n项和公式S_n的基本性质

（1）数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S_n可以写成S_n= an² + bn的形式(其中a，b为常数)．

（2）在等差数列中，当项数为2n (n∈N^*)时，S_偶-S_奇 =nd， S_奇÷S_偶=a_n÷a_n+1；当项数为(2n－1）(n∈N^*)时，S_奇-S_偶=a_中 ，S_奇÷S_偶 =n÷（n-1）．

（3）若数列为等差数列，则S_n，S_2n－S_n ，S_3n－S_2n，…，仍然成等差数列，公差为n²d．

（4）在等差数列中，S_n=a，S_m=b(n>m)，则S_n-m= (1+)a-3b．

（5）从函数的角度看等差数列的通项公式.由等差数列的通项公式a_n=a₁+（n-1）d可得a_n=dn+（a₁-d），当d≠0时，a_n是关于n的一次函数.

（6）记等差数列的前n项和为S_n．①若a₁>0，公差d<0，则当a_n≥0且a_n+d ≤0时，S_n有最大值；②若a₁<0 ，公差d>0，则当a_n≤0且a_n+d≥0时，S_n有最小值．

（7）若等差数列S_p=q,S_q=p,则S_p+q=-(p+q).

等差数列的特殊性质

　　在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之和.特别地，若项数为奇数，还等于中间项的2倍,

　　即，a₁+a_n=a₂+a_n-1=a₃+a_n-2=…=2a_中 

　　例：

在数列1，3，5，7，9，11中，

a₁+a₆=12 ; a₂+a₅=12 ; a₃+a₄=12;即，在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之和.

在等差数列1，3，5，7，9中，

即，若项数为奇数，与首末两项距离相等的两项和等于中间项的2倍.另见，等差中项. 

教案：

课件：

练习：

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