华东师大七下数学《第8章 一元一次不等式》微课精讲+课件教案(文末下载)

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华东师大版七年级数学下册知识点总结

第8章 一元一次不等式

8.1 认识不等式

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8.2 解一元一次不等式

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8.2. 1. 不等式的解集

8.2. 2. 不等式的简单变形

8.2. 3. 解一元一次不等式

8.3 一元一次不等式组

知识点

1．基本概念

(1)用             表示不等关系的式子叫做不等式．

(2)能使不等式成立的        的值，叫做不等式的解．

(3)一个不等式的        ，组成这个不等式的        ，简称为这个不等式的解集．

(4)求不等式的          的过程，叫做解不等式．

(5)只含有     个未知数，且含未知数的式子都是        ，未知数的次数都是         的不等式，叫做一元一次不等式．

(6)几个含相同未知数的一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．

(7)不等式组中几个不等式的解集的           叫做这个不等式的解集．

2．重要性质

在下面的横线上选填“＞”或“＜”．

3．基本方法

(1)解一元一次不等式的方法：解一元一次不等式与解一元一次方程类似，都具有以下步骤：

①去分母；

②去括号；

③移项；

④合并同类项；

⑤系数化为1.

需要注意的是，在“去分母”与“系数化为1”的过程中，两边同乘以或除以一个负数时，不等号方向要改变.

(2)在数轴上表示解集的方法：

大于向右画，小于向左画；含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈.

(3)解一元一次不等式组的方法：

①数形结合法：先求出不等式组中每个不等式的解集，再在       数轴上分别表示它们的解集，最后找出各解集的公共部分，即这个不等式组的解集．

②口诀法：

同大取小，同小取大，大小小大取中间，大大小小无解．

(4)列不等式(组)解应用题的一般步骤：

①审题；

②找不等关系；

③设未知数；

④列不等式(组)；

⑤解不等式（组）；

⑥检验；

⑦写出答案.

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►考点一　不等式的有关概念

【解析】解这类题的关键是对照不等式的三条性质，观察和分析从条件到结论到底运用哪一条性质，运用不等式性质的条件是否具备．

（1）×（2）×（3）√（4）√

►考点二　一元一次不等式的解法

例2　解不等式：3x－2＞x＋4.

【解析】依照解一元一次不等式的步骤进行解答．本题中没有分母，也没有括号，只需移项、合并同类项、系数化为1即可．

解：移项，得3x－x＞4＋2.

合并同类项，得2x＞6.

系数化为1，得x＞3.

【点评】要牢固掌握解一元一次不等式的方法与步骤，熟练运用不等式的性质．

►考点三　一元一次不等式的应用

【解析】在解答此类问题时，我们应对“至少”、“至多”、“不超过”、“不少于”等表示不等关系的字眼加倍关注．本题中存在“至少”一词，又是与所读页数相关，则可依据科普书的页数构建不等关系．

解：设从第6天起平均每天读x页，根据题意，得

100＋5x≥500.解得x≥80.

答：从第6天起平均每天至少要读80页，才能按计划读完这本书．

►考点四　一元一次不等式组的解法

【解析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示的方法，即可选出正确答案B.

►考点五　一元一次不等式组的应用

例5　某超市销售甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润(利润＝售价－进价)不少于600元，但又不超过610元，请你帮助该超市设计相应的进货方案．

【解析】根据已知条件“总利润不少于600元，但又不超过610元”构建不等式，求出购进甲种或乙种商品的取值范围，从而由整数解，得出具体的购买方案．

解：设购买甲种商品x件，则购买乙种商品(80－x)件，依题意，可得

600≤(15－10)x＋(40－30)(80－x)≤610，

解得38≤x≤40.

因为x正整数，所以x可取38、39或40.

故有三种方案：

(1)购买甲种商品38件，乙种商品42件；

(2)购买甲种商品39件，乙种商品41件；

(3)购买甲种商品40件，乙种商品40件．

【点评】构建一元一次不等式（组）的数学模型、设计方案等问题，在近年各地中考试卷成为热点中的热点．

求解的策略是：

①根据题意列不等式组；

②解这个不等式组；

③由不等式组的整数解的个数确定方案数．

练习题

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3．不等式(n－3)x<6－2n的解集为x>－2，则n的取值范围是________. 

5．在一次知识竞赛中，共16道选择题，评分方法是：答对一题给6分，答错一题扣2分，不答则不得分．某选手有一道题未答，如果该选手的成绩超过75分，那么至少答对的题数为(      )

A．12       B．13        C．14        D．15

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巩固练习参考答案：

1、B

2、A

3、n<3

4、a＜－1

5、C

7、B

8、D

9、m≤－3

10、C

课本习题答案解析

【书60页练习】

3.一个工程队原定在10天内至少要挖土600立方米，前两天一共完成了120立方米，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务，问后6天内平均每天至少要挖土多少立方米。

解：设后6天内平均每天要挖土x立方米，则

120+6x≥600

解得：x≥80

答：后6天内平均每天至少要挖土80立方米。

【书60页问题】

 解：设通过预选赛的同学答对x道题，则答错或不答（20－x）道题，依题意得：

10x－5(20－x)≥80

解得x≥12

答：通过预选赛的同学至少应答对12道题。通过预选赛的同学有9种可能情形：答对的题数为12、13、14、15、16、17、18、19、20道题，而对应答错或不答的题数为8、7、6、5、4、3、2、1、0道题。

【书62页习题】

所以不等式的所有负整数解为－2,－1.

7.某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒，人跑步的速度是5米/秒.问导火线必须超过多长，才能保证操作人员的安全？

解：设导火线长为xcm,依题意得：

答：导火线必须超过96cm，才能保证操作人员的安全。

【书65页练习】

解：解不等式①得：

把不等式①、②的解集在数轴上表示如下图

解：解不等式①得： x＜2

解不等式②得：x≥48

把不等式①、②的解集在数轴上表示如下图

所以不等式组无解。

解：解不等式①得：x＞－2

解不等式②得：x≤6

把不等式①、②的解集在数轴上表示如下图

所以不等式组的所有整数解为x=-1,0,1,2,3,4,5,6.

【书65页习题】

解：解不等式3x－7≥2得x≥3

解不等式3x－7＜8得x＜5

所以不等式组的解集为3≤x＜5

不等式组的所有整数解为x=3，4.

解：（1）正确。方程两边同时乘以-1,方程的解不变；

（2）错误。不等式两边同时乘以-1，不等号的方向没有改变；

（3）错误。不等式两边同时除以2，不等号的方向不必改变；

（4）正确。不等式两边同时乘以-2,不等号的方向改变。

解：（1）不等式两边同时除以－3得

  x＞0

把不等式的解集在数轴上表示如下图：

（2）移项得8x－5x≤－3－1

合并同类项得3x≤－4

它在数轴上表示如下图：

(3)去括号得3x+6－1≥5－2x＋4

移项得3x＋2x≥5＋4－6＋1

合并同类项得5x≥4

它在数轴上表示如下图：

(4)去分母得2(1－2x)＞9(2x－1)

去括号得2－4x＞18x－9

移项，合并同类项得－22x＞－11

（更正：乘以-22应改为除以-22）它在数轴上表示如下图：

（点击可放大）

解：解不等式得n＜2.5

所以满足不等式2n－5＜5－2n的所有正整数n为2，1.

解：（1）错.当c=0时，ac=bc，当c＜0时，ac＞bc；

（2）错.当m＜0时，－m＞0，不等式两边同时除以－m，不等号的方向不变；

7.三个连续自然数的和小于15，这样的自然数组共有几组？把它们分别写出来.

解：设三个连续自然数为n－1、n、n+1，依题意得

0＋1＋2≤（n－1）＋n ＋（n+1）＜15  

即3≤3n＜15

解得1≤n＜5

所以n=1，2，3，4

所以这样的自然数共有四组，它们分别是0、1、2；1、2、3；2、3、4；3、4、5.  

C  组

8.已知关于x的方程3k－5x=－9的解是非负数，求k的取值范围.

 解：解关于x的方程3k－5x＝－9得

所以3k+9≥0

解得k≥－3

答：k的取值范围是k≥－3.

分析：法1：因为5x－3的绝对值等于它的相反数，所以5x－3 ≤0；

法2：因为3－5x等于一个数的绝对值，所以3－5x ≥0.

解：依题意可得 5x－3 ≤0

（点击可以放大）

解：（1）由图（1）可知A＞B，C＞A

所以C＞A＞B

（2）由图（2）可得

由（P+R）－（Q+R）＞（Q+S）－（P+S）

解得P＞Q

由（P+R）－（P+S）＞（Q+S）－（Q+R）

解得R＞S

所以R＞S＞P＞Q   

考点分析

一元一次不等式的判定

定义

含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式。

考察方式

一元一次不等式的定义与一元一次方程的定义只有一字之差，但考察的方式与题型是一致的，一般通过选择题判断各项是否为一元一次不等式

解题步骤依旧是“三看”

一看是否只有一个未知数

二看未知数的最高次数是不是一次，未知数系数是不是非0

三看未知数是否在分母或根号中（判定是否为整式）

例题

下列各式中，属于一元一次不等式的是(   A   )

不等式的基本性质

基本性质

传递性：对于等式，有a=b,b=c,则a=c,同样的，对于不等式有：a<b,b<c,则a<c

或a>b,b>c,则a>c.

不等式的运算

1.不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。

2.不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立;

3.不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，不等号方向要改变，所得的不等式成立。

如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc， a/c ＜ b/c 

所以，只有在两边都乘（或都除以）同一个负数时，需要变号，其他情况下都与等式运算一样。

经典考察方式

给定两个数的不等式关系，求变形后的大小关系，一般出现在选择题前面几道，虽然变形多种多样，但主要考察乘除以同一个负数有没有变号，所以此类题型的解题方法是观察乘除负数的选项有没有变号

例题

若a>b，则下列不等式中，不成立的是(B)

在数轴上表示不等式

在数轴上表示不等式口诀：备好数轴找准点 分清空实定方向

经典考察方式

给出一个一元一次不等式（组），判断不等式（组）的解在数轴上的表示方式，比较容易出错的陷阱在于空心和实心，一般出选择题。

解题步骤

求解出不等式（组）的解之后，检验解，根据解对照选项答案，先判断方向，再判断空心实心。

避免陷阱解题方式

求得解之后先在纸上画出数轴表示图，然后再对照各个答案。

例题

解一元一次不等式（组）

壹

解不等式

解不等式就是利用不等式的基本性质，把不等式变形成：“x＞a”(或“x≥a”), “x＜a”(或“x≤a”)

由于一元一次不等式与一元一次方程极其相近，求解过程也极其相似，由不等式的性质我们知道，不等式两边同时乘上或除以同一个负数时，符号要发生改变，其余情况下的运算符号都不需要改变

所以：解一元一次不等式的运算过程和解一元一次方程一样，只需要在乘（除以）负数的时候变号即可

解题过程

去分母（可能需要变号）——去括号——移项——合并同类项——约简系数（可能需要变号）

例题

解析

贰

解一元一次不等式组本质上就是分别解多个一元一次不等式，再将各个解结合到一起求交集，从而得出一元一次不等式组的解

解题步骤

(1)分别求出各不等式的解

(2)将它们的解表示在同一数轴上

(3)求原不等式组的解(即为它们解的公共部分)

解集及记忆方法

例题

解一元一次不等式组

解析

解: 解不等式①,得X＞-1

     解不等式②,得X≤6

把①, ②两不等式的解表示在数轴上(如图）

所以原不等式组的解是  -1＜X≤6

已知一元一次不等式（组）的解

求另一个数的解

此类型题是本模块的重难点，类型多种多样，选择题、填空题、计算题有出现。

出题形式

给出一个关于x的一元一次不等式（组），其中含有另一个未知数，并给出不等式（组）的解，从而求解未知数的解。

解题步骤

1.    将未知数视为常数，求解出关于未知数的解

2.    将关于未知数的解与已知解进行对比，确定未知数与已知解的关系，从而确定关于未知数的不等式（或方程）

经典例题（1）

1）已知x＜a的最大整数解为x＝3，则a的取值范围是    

       ．

解析

因为x的最大整数解为3，所以x必定小于4，所以a最大不超过4，a≤4，又由于a≤3，则x最大整数不能为3，因此求得3＜a≤4  

经典例题（2）

解析

经典例题（3）

解析

方程只能解决具有有限解的未知数问题，而无法解决处于一个范围之内的未知数的问题。不等式作为方程的补充，弥补了方程的缺陷，满足人们实际使用的需要。

解一元一次不等式作为不等式运算中的基础运算，也是初高中生必须掌握的基础运算之一，其重要性不低于一元一次方程。

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