高中数学《4.1 样本的数字特征》微课精讲+知识点+教案课件+习题
| 科学 | 全部课程 ↓ |
知识点：
视频教学：
练习：
1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( )
A．85，85，85 B．87，85，86 C．87，85，85 D．87，85，90
2．(2015·乐清高一检测)某台机床加工的1000只产品中次品数的频率分布如下表：
则次品数的众数、平均数依次为( )
A．0， B．0，1 C．4，1 D．，2
3．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为 ( )
A．6 C．66 D．
5．(2015三门峡高一检测)若样本1＋x1，1＋x2，1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x1，2＋x2，…，2＋xn，下列结论正确的是 ( )
A．平均数是10，方差为2 B．平均数是11，方差为3
C．平均数是11，方差为2 D．平均数是10，方差为3
课件：
教案：
一、教材透视
（一）教材地位与作用
本节课选自人教A版必修三，第二章第二节第二讲，是一节概念课，是在已经学习了用图、表来组织样本数据，用样本的频率分布估计总体分布的基础上，进一步挖掘样本，从形的角度，利用样本的频率分布直方图来估计总体的数字特征，从而使我们能从整体上更好地把握总体的规律，并体会用样本估计总体的思想，以及统计思维与确定性思维的差异.本课所学内容有良好的实际应用价值，它能为我们对相关问题作出统计推断和决策提供数理依据.因此学好本节课能帮助学生逐步建立用样本估计总体的统计思想，提高学生数据处理、解决实际问题的能力.
教学重点：从频率分布直方图中估计总体的数字特征并能依据数字特征对总体作出评价、推断和决策.
（二）教学目标
初中课标：了解利用数据可以进行统计推断，发展建立数据分析观念；感受随机现象的特点.
高中课标：在解决统计问题的过程中，会用样本的数字特征估计总体的数字特征，会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过对数据的分析为合理的决策提供依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定思维的差异.
在初中的课程标准中对这段内容的要求，可以用两个词来概括：“了解”和“感受”；而高中的课标对这段内容的要求，与初中不同点则可以用一个字来体现：“会”.所以将本课教学目标定位为：
(1)能根据实际问题的需求合理地选取样本，会借助频率分布直方图从“形”的角度估计总体的数字特征，并作出合理的解释，体会数形结合的数学思想.
(2)在解决统计问题的过程中，通过自主探索与合作交流，经历数字特征的生成过程，会用样本的数字特征估计总体的数字特征，体会用样本估计总体的思想.
(3)能通过对生活实例的分析认识数字特征的作用和局限性，会应用数字特征解决简单的实际问题并作出合理的决策.
(4)能通过对有关数据的收集、整理、分析为合理的决策提供依据，认识统计的作用，感受统计在实际问题中的应用价值，体会数学知识与现实生活的联系.
二、学情分析
1.学生已有的认知基础
通过小学、初中和高二前期的学习，学生已有“统计初步知识”的数学现实，能从样本中直接提取样本的数字特征，能够用频率分布直方图来呈现数据的分布形态，现实生活中很多数量化的实际问题也为学生的认知提供了经验基础.
2.学生面临的问题
学生对统计思想的认识还停留在表层，对用频率分布直方图估计总体的数字特征从感性认识上升到理性认识会有一定的理解困难；应用数字特征解决简单的实际问题并作出合理的决策有较高的能力要求.
教学难点：数字特征的估计及应用.
三、教法厘定
（一）教学方法选取
数学教育学家波利亚曾经说过：“学习任何知识的最佳途径即是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系.”根据高二学生的认识特点和知识水平，我在教法上采用的是“问题探究式教学”,学法上采用“自主探究、合作交流”的方法.
为落实重点，让学生在自主探索与合作交流中经历数字特征的生成过程；在反思总结、阅读教材中建构知识和方法的正确认识；为突破难点，采用设置问题串的形式，通过追问的方式、结合生活实例，引导学生认识三个数字特征的特点并作出了合理的决策.
(二)目标检测设计
为达到理想的教学效果，本节课在学生自主探究过程中，教师通过巡视，收集反馈信息；通过适时指导，调节学生的探究进程.在全班展示交流时，通过教师的点评或追问，引导学生调节自己的思维活动，促使探究问题的解决.
为反馈教学效果，本节课设计了课堂应用练习（应用数字特征对“阳光体育运动”作出合理的决策，以教材为原型的高考题例1）及课后反馈检测题.通过课堂应用练习，及时调节学生的认知结构；通过课后反馈检测题，填写《教学目标达成点检测表》，对教学目标达成点检测点进行定量的分析，为后续教学指明设计提供依据.
（三） 教学媒体利用
为了加大课堂容量和学生的思维活动量，根据现代教学理论，本课采用多媒体课件、电子白板进行教学，课前学生借助了平板电脑、EXCEL软件进行了数据的处理，将随意记录的数据直观化、形象化.通过数形结合，图表并用，让学生在生动具体的情境中感悟知识的发生和发展过程，优化学生的认识结构.
四、教学过程
为了提高教学的有效性，全面高效达成教学目标，本课预设了以下七个教学环节：
教学 环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 |
一、 情境 引入
情境 引入 | 1. 提出问题 背景:为了提高全体学生体质健康水平，让更多的同学走进操场，走向阳光，积极参加体育锻炼，教育部决定从2007年开始，在全国范围内开展“全国亿万青少年学生阳光体育运动”，使大部分学生能做到每天锻炼一小时,于是一场学生体育锻炼的热潮被掀起了. 请结合我校同学体育锻炼的现状探究： 我校同学体育锻炼的时间是否达到“使大部分学生能做到每天锻炼一小时”的目标？ 为了解决这个问题，课前学生已通过实习作业对我校同学的日锻炼时间进行了数据的收集和初步的整理，并探究以下问题: （1）我校同学锻炼时间的平均水平如何？ （2）大部分人的锻炼时间集中在那个时段? （3）位于中间水平的锻炼时间又是多少？ 实习作业见附件
2.成果展示 说明：课前已让学生通过实习作业对我校同学的日锻炼时间进行了数据的收集，并借助平板、EXCEL，将各自所收集到的数据在EXCEL中进行了数据的初步处理
播放视频、展示图片 思考1：你们觉得哪个小组的数据更能代表我校同学的锻炼时间呢？为什么？ 思考2：对数据分析时，可用哪些量来刻画数据的特征？为什么？ 教师引导学生将这三个数字特征看作样本数据的“中心点” 思考3：从随意记录下来的数据中直接看出数据的特征是很困难的，有没有更直观的方法来寻找这三个数字特征呢？ 教师引导：样本的频率分布可以估计总体的分布，总体的数字的特征能否也用样本的频率分布直方图从形的角度估计呢？ | 积极思考，主动解决问题.
课前以小组为单位通过实习作业对我校同学的日锻炼时间进行数据的收集和初步的整理,并完成实习作业中的相关问题.
三个小组的组长按照三种不同的抽样方法对以上问题进行分组展示，其它同学倾听、思考、对比
思考、对比
回顾、思考
| 1.数学源于生活，又服务于生活.将发生在学生身边的实际问题引入课堂，能唤起学生的好奇心、亲切感、更有利于激活学生的参与意识，提高教学的有效性. 2. 通过实习作业（1）让学生从实际出发，较为系统地经历数据收集与初步整理的过程，感受统计的基本思想与方法，体会数学知识与现实生活的联系.（2）通过探究这三个问题将用众数、中位数、平均数来刻画数据的特征并分析数据的思想显性化；直接在样本中求这三个数字特征，有利于学生在复习回顾旧知的基础上学习新知识，有助于学生从“最近发展区”构建新知.
通过对比三个小组收集的数据，让学生从抽样的方法、样本的容量、进一步体会用样本估计总体时，样本的选取要具有代表性，理解样本数字特征的随机性和规律性，体会统计思维与确定性思维的差异. 既然样本的频率分布可以估计总体的分布，因此总体的数字特征也可用频率分布来估计，从而引导学生借助频率分布直方图从“形”的角度估计总体的数字特征，有利于学生在知识的“最近发展区”构建新知识.
|
二、问题探究
问题探究 | 问题1： （1）如何从频率分布直方图中估计众数？ （2）从频率分布直方图中估计的众数与原始数据中的众数是否一样，你能解释其中的原因吗？
问题2：如何从频率分布直方图中估计平均数，为什么？ 在探究的过程中，学生能从直方图中得到各组数据出现的频数，但由直方图直接求数据的总和会比较困难. 教师可引导学生类比众数的求法取每组的中点作为了每组数据的代表值乘以频数再求和得到了数据的总和，再除以总个数得到了平均数.同时引导学生对求平均数的式子做以下变形：
问题3： （1）在直方图中中位数左右两边小矩形的面积有什么关系？ （2）如何从频率分布直方图中估计中位数？ 教师通过引导学生复习中位数的概念和求法来寻找在直方图中估计中位数的方法. 追问1：有同学在录入数据时不小心将数据中的80全部录为800，平均数和中位数是否会发生变化？ 引导学生体会平均数与每一个数据有关，但受少数极端值的影响较大，使其在估计总体时的可靠性降低.中位数不受少数几个极端值的影响 追问2：中位数不受少数几个极端值的影响，你认为这一特征是他的优点还是缺点？请举例说明. 巡视指导，适时点拨 组织展示，评价追问
|
问题1学生自主探究 针对问题1，学生能想到众数应该落在最高小矩形内，但为什么要取中点还有些困惑. 问题2、3通过小组讨论、合作交流来完成. 小组推荐代表展示探究成果 针对问题2，学生能想到用数据的总和除以数据的总个数求平均数，但由直方图求数据的总和会比较困难.
针对问题3，学生对直方图中为什么中位数左右两边小矩形框面积相等，会有些疑惑.
思考、对比列举生活中的实例 |
获取数字特征可以从原始数据直接提取，也可以通过频率分布直方图获得，通过对比这两种方法，使学生明白从直方图中估计的数字特征虽然存在一定的误差，但直观、快速、可避免繁琐的计算和阅读数据的过程.
通过自主探索与合作交流，学生会不断地比较自己的理解与他人理解的差异，不断的纠正自己的认识，从而建构完整知识体系，促进知识和方法的内化.
通过对比极端数值对平均数和中位数的影响以及列举生活中的实例，可让学生进一步的体会数字特征的特点，为合理制定决策提供依据，突破难点.
|
三、归纳提升
| 引导学生回顾整个探究过程，生成数学知识： 1.在频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数的方法 众数：最高矩形底边中点的横坐标 中位数：使中位数两侧矩形面积和均为0.5 平均数：每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 思考：从频率分布直方图中估计的数字特征与原始数据中的数字特征是否一样？是什么原因造成的呢？ 直方图： 众数 65 中位数 60.8 平均数 58.58 原始数据：众数 60 中位数 57.5 平均数 57.22 2.频率分布直方图中得到的数字特征是估计值. 3. 众数、中位数、平均数的特点 4. 数学思想方法 数形结合 统计的思想 | 通过对探究活动的反思，自主归纳蕴含的数学知识和数学思想方法.
对比、思考、反思 | 在充分体验的基础上，通过反思总结能建构知识和方法的正确认识，促进知识和方法的内化.
|
四、制定决策
| 问题4：以这三个估计值为依据，你认为我校同学体育锻炼的时间达到“使大部分学生能做到每天锻炼一小时”的目标了吗？ 组织学生交流、讨论 | 交流、讨论、发表自己的见解 | 这是一个开放性的问题，对学生的发言给与充分的肯定，让学生在发表自己的见解的同时，深化对三种数字特征的认识和理解.培养学生应用数字特征分析生活实际的能力，并能综合数字特征的特点，作出合理决策. |
五、应用反馈 | 例1 教材原型：人教A版必修3第65页探究 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，成都市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.下面是居民月均用水量的抽样频率分布直方图， （2）如果希望85%的居民月均用水量不超过标准a，那么标准a定为多少比较合理呢？ 巡视指导，适时点拨
| 学生独立完成例题，再由学生讲解解题的过程.
| 本例是以教材为原型，改编而成的生活实例，设计的目的在于让学生感受统计在实际问题中的应用价值;通过本例，强化学生在直方图中估计数字特征的具体方法.
|
六、反思小结
| 请大家带着以下的问题阅读教材P72-73页相关内容 1.本节课你在数学知识和方法上有哪些收获？ 2.你能从频率直方图中估计众数、中位数、平均数吗？ 3.众数、中位数、平均数有哪些作用和局限性？ 4.如果你作为一名决策者，你在处理数量化表示的实际问题时需要注意些什么？ | 阅读教材 反思小结 | 回归教材，优化认知 通过师生共同小结与反思，使学生更系统完整地认识统计的基本思想和方法，丰富和完善学生的认知结构，使知识与技能内化为学生的数学能力.
|
七、作业回馈
| 1.必做题：习题2.2A组2、3 选做题：调查本班同学的家庭在同一周的用电量，作出这组数据的频率分布表、频率分布直方图以及频率拆线图，对你所在地区的用电量情况进行估计，然后在全班展示、交流讨论.
| 必做题：学生课后独立完成. 选做题：小组合作完成. | 针对学生能力和水平的差异，进行分层训练，必做题为所有学生搭建了共同平台，可让他们获得共同知识基础和基本能力，选做题让学有余力的学生进行个性化学习，并将学习从课堂延伸到课外，获得更大的能力提升，这体现了新课标理念，也是因材施教的教学原则的具体运用. |
板书设计
图文来自网络，版权归原作者，如有不妥，告知即删