高中数学《4 事件的独立性》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点：
1. 定义
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件.
两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即
P(AB)＝P(A)P(B).
示例：
一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，
B表示“第二次为反面”．
所有基本事件Ω＝{(正，正)，(正，反)，
(反，正)，(反，反)}，
事件A＝{(正，正)，(正，反)}，
事件B＝{(正，反)，(反，反)}，
事件AB＝{(正，反)}，
即P(AB)＝P(A)·P(B)，
故事件A与事件B相互独立．
2. 特殊事件与任意事件的独立性
必然事件Ω、不可能事件∅都与任意事件相互独立.
这是因为必然事件Ω总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件∅总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响.
当然，它们也不影响其他事件是否发生.
视频教学：
练习：
例题1.(解析题)判断下列说法是否正确：
(1)甲、乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张，甲中奖与乙中奖是相互独立事件；
(2)甲射击圆盘(共10环)一次，甲射中8环与甲射中9环是互斥事件．
【答案】见解析
【解析】(1)由双色球的中奖规则可知，甲是否中奖对乙没有影响，反之亦然，故它们是相互独立事件．故(1)正确．
(2)甲射击一次不可能既中8环又中9环，即这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥事件．故(2)正确．
例题2.(单选题)分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚结果相同”为事件C，有下列三个命题：
①事件A与事件B相互独立；
②事件B与事件C相互独立；
③事件C与事件A相互独立．
以上命题中，正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设事件A=“第1枚为正面”，
事件B=“第2枚为正面”，事件C=“2枚结果相同”，
则
由相互独立事件的定义可知①②③都正确.故选D．
例题3.(单选题)已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1﹣P(A)P(B)是下列哪个事件的概率( )
A．事件A，B同时发生
B．事件A，B至少有一个发生
C．事件A，B至多有一个发生
D．事件A，B都不发生
【答案】C
【解析】因为A，B是两个相互独立事件，
所以P(AB)= P(A)P(B)，
而P(AB)表示两个事件同时发生，
所以1﹣P(A)P(B)表示事件A，B至多有一个发生.故选C．
例题4.(解析题)判断下列各对事件是互斥事件，还是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件A：“出现的点数为奇数”，事件B：“出现的点数为偶数”；
(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”．
【答案】见解析
【解析】(1)事件A与事件B二者不可能同时发生，所以A与B是互斥事件．
(2)样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，
A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，
即P(AB)＝P(A)P(B).
故事件A与事件B相互独立，A，B不是互斥事件．
课件：
教案：
一、 教学目标：
1、 知识与技能：
（1）了解独立性的定义（即事件A的发生对事件B的发生没有影响）；
（2）掌握相互独立事件的概率乘法公式P(AB)=P(A)P(B)
2、 过程与方法：
通过对现实生活中不同事件问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力
3、情感态度与价值观:
通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.
二、 重点与难点：
正确理解独立性的定义与互斥事件的差别，掌握并运用独立事件概率公式
三、 教学设想：
1、创设情境：通过回顾上节课学习的条件概率，引入本节课独立性的定义
例：3张奖券中只有一张能中奖，现分别由3名同学无放回的抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”。则问事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？若条件改为有放回，这时又是什么情况？
解：显然无放回时，A的发生影响着B，即是条件概率。而当有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A的发生不会影响事件B发生的概率。于是P(B|A)=P(B)，代入条件概率公式得P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B)
2、基本概念：
独立性定义：设A，B为两个事件，如果满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。
例1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件“2枚结果相同”。问：A，B，C中哪两个相互独立？
分析：理解相互独立的定义，即是一事件的发生对另一事件的发生与否没有影响，由于A事件抛掷第一枚硬币为正面，对B事件第二枚硬币为正面没有影响，故A与B独立，而
C事件要求抛掷的两次结果相同，当第一枚为正面时此时第二枚也必须为正，显然有影响，故不独立。
小结：若事件相互独立，试用符号语言表示下列事件
（1）A,B,C同时发生的概率 P(ABC)
（2）A,B,C都不发生的概率
（3）A,B,C恰有一个发生的概率
（4）A,B,C至少有一个发生的概率 1—
（5）A,B,C至多有一个发生的概率 +
四、例题分析：
例2.一个口袋内装有2个白球和2个黑球。求
（1）先摸出一个白球不放回，再摸出一个白球的概率是多少？
（2）先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是多少？
分析：（1）先摸出一白球不放回这件事对再摸出一个白球的概率产生了影响，再摸时只有一个白球，两个黑球，则概率为1/3
（2）先摸出一白球后放回这件事对再摸出一个白球的概率没有影响，还是从两个白球两个黑球中摸，则概率为1/2
例3.天气预报中，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3。假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
（1）甲乙两地都降雨的概率
（2）甲乙两地都不降雨的概率
分析：“甲地降雨”为时间A，“乙地降雨”为事件B。
（1）“甲乙两地都不下雨”表示时间A,B同时发生，且甲乙两地是否降雨相互之间没有影响，即事件A与事件B相互独立。所以=0.2*0.3=0.06
（2）“甲乙两地都不降雨”即事件与同时发生。利用独立事件的性质2可知，事件与相互独立。所以=(1—0.2)*（1—0.3）=0.56
（3）“至少一个地方降雨”用字母表示应为
例3：俗话说“三个臭皮匠，顶上一个诸葛亮”，从数学角度解释这句话的含义
分析：三个臭皮匠不妨命名为A,B,C。假设三人解决某一问题的概率为0.5，且相互独立。诸葛亮解决该问题的概率为0.8。那么这三个臭皮匠至少有一人解决问题的概率为。1—=1—0.5*0.5*0.5=0.875﹥0.8。
从数学角度解释名言，更能引起同学们的兴趣。激发他们上课的热情和积极性。
例4：某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：
（1）都抽到某一指定号码
（2）恰有一次抽到某一指定号码
（3）至少有一次抽到某一指定号码
分析：设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，“两次抽奖都抽到某一指定号码”为事件AB。
（1） 由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A与B相互独立。于是由独立性可得，两次抽奖抽到某一指定号码的概率为P(AB)=P(A)P(B)=。
（2） “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用表示。由于事件互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为
“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用。由
（1） 于事件两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为
五、教学反思与评价：
高考考纲对独立性事件的要求不是很高，只需了解独立性的概念，所以本节课的内容不是很难，只要同学们区分了与之前学习的互斥事件，对立事件的差别，记住独立性公式与条件概率公式的联系，就不会有太大的问题，但也要注意计算和必要的文字修饰
六、教学建议：
本节知识可以通过对生活实际中问题（如买彩票多少对中奖概率的影响），引起学生的好奇心，利用学生认识心理与认识特点，从而激发学生的学习兴趣，进行有效的学习。
在教学中，尽可能组织学生进行观察、分析、归纳等活动，帮助学生积累数学活动的经验。
七、课堂小结：
1、事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念：
两事件互斥是指两个事件不可能同时发生；
两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件的概率没有影响
2、掌握并会运用公式P（AB）=P（A）P（B）
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