高中数学《2.2象限角及其表示》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点：
我们使角的顶点和坐标系的原点重合，角的始边与X轴的非负半轴（可以理解为X右半轴）重合。那么角的终边在第几象限，我们就把个角叫第几象限角（quadrant angle）。
特别注明：x、y轴不属于象限角。
举个例子。
第1个图
角的顶点是坐标轴的原点，
角的始边是X的右半轴。
终边的旋转方向是顺时针，角为负角，-75°。
角的终边在坐标系第四象限，故为第四象限角。
第2个图
角的顶点是坐标轴的原点，
角的始边是X的右半轴。
终边的旋转方向是逆时针，角为正角，转了两圈多，855°。
角的终边在坐标系的第二象限，故为第二象限角。
第3个图
角的顶点是坐标轴的原点，
角的始边是X的右半轴。
终边的旋转方向是顺时针，角为负角，转了一圈多，-510°。
角的终边在坐标系的第三象限，故为第三象限角。
视频教学：
练习：
1.(多选)下列说法不正确的是()
A.终边在x轴非负半轴上的角是零角
B.钝角一定大于第一象限的角
C.第二象限的角不一定大于第一象限的角
D.第四象限角一定是负角
解析A错,终边在x轴非负半轴上的角为k·360°,k∈Z,显然不只是零角;B错,390°是第一象限的角,大于任一钝角;C对,第二象限角中的-210°小于第一象限角中的30°;D错,285°为第四象限角,但不是负角.
答案ABD
2.(多选)已知角α是第四象限角,则角-可以是()
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
解析因为角α是第四象限角,
所以k×360°-90°<α<k×360°(k∈Z),
所以k×180°-45°<<k×180°(k∈Z),
所以-k×180°<-<-k×180°+45°(k∈Z),
所以角-是第一或第三象限角.
答案AC
3.已知角α,β的终边相同,则角(α-β)的终边在()
A.x轴的非负半轴上
B.y轴的非负半轴上
C.x轴的非正半轴上
D.y轴的非正半轴上
解析角α,β的终边相同,得α=k·360°+β,k∈Z.α-β=k·360°,k∈Z,得α-β的终边在x轴的非负半轴上,故选A.
答案A
4.终边在第二象限的角的集合可以表示为()
A.{α|90°<α<180°}
B.{α|90°+k·180°<α<180°+k·180°,k∈Z}
C.{α|-270°+k·180°<α<-180°+k·180°,k∈Z}
D.{α|-270°+k·360°<α<-180°+k·360°,k∈Z}
解析终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z},而选项D是从顺时针方向来看的,故选项D正确.
答案D
5.下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是()
A.-37°B.143°C.379°D.-143°
解析与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°+k·180°,k∈Z,当k=-1时,37°-180°=-143°,故选D.
答案D
课件：
教案：
教学目标：
1.学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角的方法，掌握象限角的概念.
2.能较准确地写出与任一角终边相同的角的集合.
3.培养学生观察、思考研究问题的能力.
4.向学生渗透数形结合的思想.
教学重点：象限角的概念.
教学难点：把终边相同的角用集合的符号语言正确地表达出来.
教具和教学手段：三角板、教学方法：启发点拨、讲练结合.
教学过程： 一、引入新课
上一节课我们了解了角的新的概念，我们今天还要对角进行更进一步的了解。
(板书课题：角的概念的推广--象限角的概念)
二、新课
(三)与角始边终边相同的角
先演示出∠＝30°，教师问：以为始边，为终边的角还有设有其他的角？在同学思考之余，又演示出390°和－330°和750°的角，之后，教师启发同学通过计算得出这两个角与30°的关系，(根据学生的实际情况，还可演示出∠＝－60°的角，让同学找出与－60°角的始边、终边相同的角，并计算它们之间的关系.)
教师可以和大家一道计算：390°＝30°＋360°，
－330°＝30°－360°，750°＝30°＋2×360°，….
然后提问：谁能总结出与30°角的始边、终边相同的角与30°的关系？分别用文字和符号语言加以描述，之后，教师又问：这样的角有多少个？怎样把它的全部都写出来？
待学生想到用集合来表示这些角后，教师又问集合有几种表示方法？一一列举行吗？性质描述又是怎样的格式？该集合的特征性质是什么？
待以上问题解答完之后，教师可让一名学生到黑板上来写，再予以纠正.
{|＝30°＋·360°，}，
在得出这一式子之后，教师问：这集合的元素是什么？它表达出什么内容？
教师总结：该集合的元素是角，390°，－330°，750°等都是这一集合的元素，30°也是(此时＝0)，容易看出，所有与30°角始边终边相同的角， 连同30°角自己在内，都是该集合的元素.反过来，该集合的任一元素都与30°角始边终边相同.
(教师板书)：所有与角始边、终边相同的角，连同角在内， 可构成一个集合{|＝＋·360°，
}，即任一与角始边、终边相同的角，都可以表示成与整数个周角的和.
(四)直角坐标系中的角
今后，我们在讨论角的时候往往借助于数学上的一个重要工具——平面直角坐标系， 这是数学中常用的办法，通常是使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴重合，它的终边落在第几象限，就叫做第几象限的
角，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.
如图4所示：∠是第一象限的角，∠是第二象限的角，∠是第四象限的角，∠不属于任何象限。
说明：因为我们今后将在平面直角坐标中讨论角，角的始边都与轴重合，以后，对于“与角始边、终边相同的角”就可直接说成“与角终边相同的角”了.
三、例题讲解
例1 写出与下列各角终边相同的角的集合，并指出它们是哪个象限的角.
(1)45°； (2)135°； (3)240°； (4)330°.
此题不难，可让学生说解题思路，教师板演(1)、(2)
解：(1)与45°角终边相同的角的集合是
＝{|＝45°＋·360°，}.
∵45°是第一象限的角，∴集合中的角都是第一象限的角.
(2)与135°终边相同的角的集合是
＝{|＝135°＋·360°，}.
∵135°是第二象限的角，∴集合中的角都是第二象限的角.
(3)、(4)两题可留给学生自己练习.
以上解答，教师在板书时有意识地将课本中的角改为，考虑到课文中的{|＝＋·360°，}中的已知角用表示，由于学生初学此内容，在一定程度上有模仿教材的书写格式的倾向，所以笔者认为例题中选用的字母最好与前文一致.
例2 写出终边在轴上的角的集合.
先请一位同学说说解题思路，然后教师强调：终边在轴上的角有两种情况，分别是终边在轴正半轴上的角和轴负半轴上的角，而终边在轴上的角的集合应是这两个集合的并集.
(教师板演)
解：终边在轴正半轴上的一个角为90°，终边在轴负半轴上的一个角为－90°(或270°)，(图5)因此终边在轴的正半轴、负半轴上的角的集合分别是
＝{|＝90°＋·360°，}＝ {|＝90°＋2·180°，}，
＝{|＝—90°＋·360°，}＝ {|＝90°＋(2—1)·180°，}.
((2－1)若将终边在轴负半轴上的角选为270°，此处应为2＋1)
所以终边在轴上的角的集合为：
＝{|＝90°＋2·180°，}∪{|＝90°＋(2—1)·180°，}
＝{|＝90°＋180°的偶数倍}∪{|＝90°＋180°的奇数倍}
＝{|＝90°＋180°的整数倍}
＝{|＝90°＋·180°，} .
在解答完此题后，教师可启发同学用语言表述该集合的几何意义：当取偶数时，该集合中的角的终边落在轴正半轴上；当取奇数时，该集合中的角的终边落在轴负半轴上，由此周而复始，交替出现呈现周期变化的规律.
例3 在0°～360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别判定各是哪个象限的角；
(1)640°； (2)—120°； (3)—955°12′
此题文字略长，应要求同学仔细审题，弄清题意.可请同学说说自己的思路，教师也可启发学生：终边相同的角的代数特征是什么？(彼此相差360°的整数倍.)，怎样在这些角中找到与已知各角终边相同的角，并使它的度数介于0°～360°之间.
教师强调：关键是把已知角变形为＋·360°，的形式，其中0°≤＜360°.
(这里有意识地将题目顺序作了一下调整：(2)、(1)、(3)因正角比较容易变形.)
解：(1)∵640°＝280°＋360°，
∴640°的角与280°的角终边相同，它是第四象限的角.
(2)∵－120°＝240°－360°，
∴－120°与240°的角终边相同，它是第三象限的角.
(3)∵－955°12′＝124°48′－3×360°，
∴－955°12′与124°48′的角终边相同，它是第二象限的角.
建议教师在转化角的过程中，补充如下草式：
(2) (1) (3)
另外还可让学生熟记几个常用的360°的整数倍：
1×360°＝360°，2×360°＝720°，3×360°＝1 080°，4×360°＝1 440°…
练习：在直角坐标系中0°～360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别判定它们各是哪个象限的角： (1)－45°； (2)760°； (3)－480°.
四、课文小结
1.(本节是概念课，教师应帮助引导学生系统归纳本节的有关概念，理清脉络，可画出本节的知识结构图)
知识结构图：
2.与角始边、终边相同的角的集合为：{|＝＋·360°，}，强调以下几点：
(1)是任意整数； (2)是任意角(包括正角，负角，零角)；
(3)与·360°之间用“＋”号连接，—·360°应看成＋(—)·360°；
(4)终边相同的角不一定相等，有无数多个，它们相差360°的整数倍.
3.关于象限角的概念，可对几下概念引导学生加以辩别：
(1)“0°～90°间的角”，“第一象限的角”，“锐角”，“小于90°的角”.
(2)“第一或第二象限的角”和“终边在轴上方的角”.
五、课外作业
1.问答题：锐角是第一象限的角吗？第一象限的角是否一定为锐角？再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
2.作图题：已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的正半轴重合，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角.
(1)420°； (2)－75°； (3)855°； (4)－510°.
3.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角.
(1)－54°18′； (2)395°8′； (3)1563°.
4.分别写出终边在轴的正半轴、轴的负半轴和轴上的角的集合.
5.选作题：写出终边在坐标轴上的角的集合.
六、板书设计
七、课后小记：1.个别同学对“与角始边终边相同的角的集合”写不准确，或不规范
2.少数同学对于负角的变形有困难.
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