高中数学《5.3利用数量积计算长度与角度》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

　1．定义
　　已知两个非零向量和，作，，则∠AOB=θ叫做向量与的夹角．
　　

　2．范围
　　向量夹角θ的范围是0º≤θ≤180º，与同向时，夹角θ=0º；与反向时，夹角θ=180º.
　　模的定义：向量的长度叫向量的模，记作.
注:模长都是非负数.

平面内两点间的距离公式
设，则或.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x₁，y₁)、(x₂，y₂)，那么(平面内两点间的距离公式).

二、二级结论必备

1.对两向量夹角的理解
　(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．
　(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.
向量的模与平方的关系：
乘法公式成立
　　

　　

向量的夹角：
　　
　　当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=0º，当且仅当与反方向时θ=180º，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题.

视频教学：

练习：

1.在△ABC中，若，，，则（　　）

　A．　　B．　　C．　　D．　　
【答案】B
【解析】
　　由向量的平行四边形法则，当时，

　　∠A=90º，∠B=60º，∠C=30º，|BC|=2

　　∴故选B．

2.称为两个向量间距离，若满足
　　①；　　②；
　　③对任意实数t，恒有，则（　　）

　A．　　　　B．

　C．　　　　D．
【答案】B.
【解析】
　　由得，即，由题意得该不等式对任意实数t都成立，
　　∴，
　　∴，
　　∴以，
　　故，故选B．

3.已知平面向量的夹角为，，则______．
【答案】.
【解析】
　　∵平面向量的夹角为，，

　　∴
　　，
　　∴．

4.已知向量设夹角为θ。则θ=______．
【答案】.
【解析】
　　∵，

　　∴，，

　　∴，

　　∴.

5.已知，且，则向量与的夹角为______．
【答案】
【解析】
　　，
　　∴，∴.

课件：

教案：

【教学目标】

1．利用数量积计算长度.

2．利用数量积计算角度．

【教学重难点】

应用数量积计算长度与角度.

【教学过程】

一、旧知巩固

1．平面向量数量积的坐标表示

设向量a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)．

（1）a·b＝x₁x₂＋y₁y₂；

（2）a²＝x21＋y21，即|a|＝²²₁；

（3）设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2xoal(2²xoal(2²₂₎；

（4）a⊥b⇔x₁x₂＋y₁y₂＝0.

二、合作探究

1．向量长度的计算

【例1】设平面向量a＝(1,1)，b＝(0,2)．

求a－2b的坐标和模的大小．

[思路探究]  利用向量的坐标运算求得a－2b的坐标表示，然后求模．

[解]  ∵a＝(1,1)，b＝(0,2)，

∴a－2b＝(1,1)－2(0,2)＝(1，－3)，

∴|a－2b|＝10.

【母题探究】

将例1中的条件不变，若c＝3a－(a·b)b，试求|c|.

[解]  a·b＝1×0＋1×2＝2，

∴c＝3(1,1)－2(0,2)＝(3，－1)，

∴|c|＝10.

【规律方法】

求向量的模的两种基本策略

（1）利用|a|²＝a²，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.

（2）坐标表示的运算，若a＝（x，y），则a·a＝a²＝|a|²＝x²＋y²，,于是有|a|＝x2＋y2.

2．向量夹角的计算

【例2】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：

（1）a与b的夹角为直角；

（2）a与b的夹角为钝角；

（3）a与b的夹角为锐角．

[解]  a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.

（1）因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，

所以a·b＝0，

即1＋2λ＝0，所以λ＝－12.

（2）因为a与b的夹角为钝角，

所以cos θ＜0，且cos θ≠－1，

所以a·b＜0，且a与b不反向．

由a·b＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－12，

由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．

所以λ的取值范围为as4alco1(－∞，－(12)).

（3）因为a与b的夹角为锐角，

所以cos θ＞0，且cos θ≠1，

所以a·b＞0且a，b不同向．

由a·b＞0，得λ＞－12，

由a与b同向得λ＝2．

所以λ的取值范围为as4alco1(－(12)，2)∪(2，＋∞)．

【规律方法】

1．已知向量的坐标求向量的模(长度)时，可直接运用公式|a|＝x2＋y2进行计算．

2．求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为：

（1）先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；

（2）再求出两向量的模；

（3）由公式cos θ＝a·b|a||b|，计算cos θ的值；

（4）在[0，π]内，由cos θ的值确定角θ.

【跟踪训练】

已知a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5.

（1）求|a＋2b|；

（2）若(a＋b)·c＝52，求向量a与c的夹角．

[解]  （1）a＋2b＝(1,2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)，

∴|a＋2b|＝－32＋－62＝35.

（2）∵b＝(－2，－4)＝－2(1,2)＝－2a，

∴a＋b＝－a，

∴(a＋b)·c＝－a·c＝52.

设a与c的夹角为θ，

则cos θ＝a·c|a||c|＝525)×
(5＝－12.

∵0≤θ≤π，∴θ＝23π，

即a与c的夹角为23π.

三、课堂总结

向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直．

四、课堂练习

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

（1）若两非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．(    )

（2）若A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则|→|＝x2－x12＋y2－y12.(    )

（3）两向量a与b的夹角公式cos θ＝x1x2＋y1y2xoal(2²xoal(2²₂₎的使用范围是a≠0且b≠0.(    )

[答案]  （1）×  （2）√  （3）√

2．已知a＝(－3，－1)，b＝(1，3)，那么a，b的夹角θ＝(    )

A．30°        B．60°        C．120°        D．150°

D  [cos θ＝3)－
(3) 2×2＝－3)2，又因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝150°.]

3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(    )

A．1        B．2

C．2      D．4

C  [∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|²＝2(－1＋n²)－(1＋n²)＝n²－3＝0，∴n＝±3.∴|a|＝12＋n2＝2．]

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