高中数学《6.1余弦定理与正弦定理》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1．正弦定理
，其中R是三角形外接圆的半径．

2.余弦定理
a²＝b²＋c²－2bccosA，b²＝a²＋c²－2accosB，c²＝a²＋b²－2abcosC．
变形：
　　

3.三角形中常用的面积公式：
(h表示边a上的高)
(r为三角形的内切圆半径)

【二级结论必备】

1. 由正弦定理可以变形：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.

2.三角形中常见的结论
　①A＋B＋C＝π.
　②在三角形中大边对大角，反之亦然．
　③任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
　④三角形内的诱导公式：
　　sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；
　　tan(A＋B)＝－tanC；
　　
　⑤在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA•tanB•tanC.
　⑥在△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60° .
　⑦△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列．
　⑧三角形的面积：r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)

视频教学：

练习：

1.【2015 广东卷】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，，且b＞c，则b=（　　）
　　　　　B．2
　　　　　D． 3
【答案】B
【解析】
　　由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
　　所以，即b²-6b+8=0，
　　解得b=2或b=4，因为b＜c，所以b=2，故选B．

2. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是(　　)
　A．等腰直角三角形　　B．直角三角形
　C．等腰三角形　　　　D．等腰或直角三角形
【答案】C
【解析】
　　因为a＝2bcosC，
　　所以由余弦定理得，整理得b²＝c²，所以b＝c.
　　所以此三角形一定是等腰三角形．

3.（2015 北京卷）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=3，，则∠B______．
【答案】
　　
【解析】
　　由正弦定理得
　　所以，因为，所以，所以.

4.【2015年广东卷】设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则b=______．
【答案】1
【解析】
　　因为且0＜B＜π，所以
　　
　　
　　由正弦定理得，解得b=1.

5.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b＝1，，则S_△ABC＝________.
【答案】
　　
【解析】
　　因为c＞b，所以B＜C，所以由正弦定理得，即，即
　　所以
　　所以

课件：

教案：

教学目标：

知识：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

能力：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一.课题导入

如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。            A

思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来？                          C               B

二.讲授新课

                                                      (图1．1-1)

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,           A

则                              b         c

从而在直角三角形ABC中，             C      a      B

(图1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

（证法一）如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，

     C

同理可得，                                  b        a

从而                             A         c        B

                                                          (图1．1-3)

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（证法二）：过点A作，                             C

由向量的加法可得    

则                                A                  B

∴                

∴，即

同理，过点C作，可得   

从而                      

（证法三）：（外接圆法）

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ

∴ 同理 =2R，＝2R

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；

（2）等价于，，

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

三、讲解范例

例1．在中，已知，，cm，解三角形。

解：根据三角形内角和定理，

   ；

根据正弦定理，

；

根据正弦定理，

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2 在

解：∵

∴

例3．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。

解：根据正弦定理，

因为＜＜，所以，或

⑴ 当时，

   ，

⑵ 当时，

   ，

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:

⑴若A为锐角时:

⑵若A为直角或钝角时:

【变式练习】

根据下列已知条件，判定有没有解，若有解，判断解的个数：

⑴，，，求

⑵，，，求

⑶，，，求

⑷，，，求

⑸，，，求

⑹，，，求

四、课堂练习：

1在△ABC中，,则k为(    )

A2R      BR             C4R      D(R为△ABC外接圆半径)

2△ABC中，sin²A=sin²B+sin²C，则△ABC为(    )

A直角三角形  B等腰直角三角形C等边三角形   D等腰三角形

五、小结 ：

（1）定理的表示形式：；

或，，

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

六、课后作业：

1在中，已知，，，求

2在中，已知，，，求

七、板书设计（略）

八、课后记：

图文来自网络，版权归原作者，如有不妥，告知即删

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