高中数学《*2.3复数乘法几何意义初探》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

一

几何意义

1.复平面定义：

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

2.几何意义：

复数z=a+bi与复平面内的点(a,b)以及平面向量,其中a，b∈R，是一一对应关系(复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量)

z=a+bi的模，即

视频教学：

练习：

多选)cos+isin·cos+sin的结果是(　　)

A.实数       B.复数       C.虚数       D.纯虚数

解析cos+isin·cos+isin=cos+isin=cos+isin=i.其结果是复数,虚数,纯虚数.故选BCD.

答案BCD

2.4(cos π+isin π)÷2cos+isin=(　　)

A.1+i       B.1-i

C.-1+i       D.-1-i

解析4(cosπ+isinπ)÷2cos+isin=2cosπ-+isinπ-=2cos+isin=-1+i.故选C.

答案C

3.把复数a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的向量绕原点O顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为(　　)

A.a-bi       B.-a+bi

C.b-ai       D.-b+ai

解析数形结合易知,复数的模不变,虚部等于原来实部a的相反数,实部等于原来虚部,即b-ai.

答案C

4.8i÷2(cos 45°+isin 45°)=　　　　　,其模为　　　　　. 

解析8i÷2(cos45°+isin45°)=8(cos90°+isin90°)÷2(cos45°+isin45°)=4[cos(90°-45°)+isin(90°-45°)]=4(cos45°+isin45°)=2+2i,其模为=4.

答案2+2i　4

5.在复平面内,把与复数-2+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转75°,求与所得向量对应的复数.

解所得向量对应的复数为(-2+2i)·(cos75°+isin75°)

=2(cos135°+isin135°)·(cos75°+isin75°)

=2[cos(135°+75°)+isin(135°+75°)]

=2(cos210°+isin210°)=2-i

=-i.

课件：

教案：

教材分析：

1.内容

　复平面，复数的模，共轭复数，复数与复平面内点、平面向量的一一对应.

2.内容解析

　复数本质上是一对有序实数，因此与利用数轴表示实数类似，可以借助建立了直角坐标系的复平面来表示复数.x轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数，y轴叫做虚轴，虚轴上除原点外的点都表示纯虚数.

　利用复平面表示复数，可以直接得到复数的两种几何意义：复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，与复平面内以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的.在引入复数的代数形式时，教科书从复数z=a+bi（a，b∈R）本质是一对有序实数对（a，b）出发，基于有序实数对可以看成是平面直角坐标系中点的坐标，因此，复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的；基于有序实数对也可以看成是平面直角坐标系中向量的坐标，因此复数集C与复平面内以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的．

　复数与以原点为起点的平面向量是一一对应的，于是用复数对应的向量的模定义复数的模.依据复数的模的定义，实数的模与实数的绝对值是一致的.熟练地求复数的模是复数代数运算和复数三角形式表示的基础.

　利用几何直观引入共轭复数，更多地关注互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称这一几何性质．

　复数的几何意义让“神秘”的复数得以直观呈现，在对复数的几何意义的探究过程中，可以提升学生的逻辑推理、直观想象素养．

　基于以上分析，确定本节课的教学重点：复数的几何意义和在复平面内表示复数.

　　二、目标和目标解析

　　1. 目标

　（1）理解复数的几何意义.

　（2）在复平面内表示满足一定条件的复数.

　　2. 目标解析

　达成目标（1）的标志是：能够准确地在复平面内表示复数（画出复数对应的点和向量），能准确地对复平面、实轴、虚轴、共轭复数等定义进行辨析.

　达成目标（2）的标志是：会求复数的模，能在复平面内画出复数的模刻画的一些常见几何图形——圆、圆形区域和环状区域等.

　　三、教学问题诊断分析

　学生在学习时可能出现的障碍为：

　对复平面的认知影响到复数的几何意义的理解，学生可能不易接受“二维”的复数与点和向量的一一对应.

　本节课的教学难点是：复数的几何意义.

　突破难点的策略：

　（1）认识清楚复平面中建立了直角坐标系来表示复数，复数z= a+bi用复平面内的点Z(a，b)表示．复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i.

　（2）对于复数的向量表示，教科书仍然从复数z=a+bi（a，b∈R）本质上是一对有序实数对（a，b）出发，基于有序实数对也可以看成是平面直角坐标系中向量的坐标，容易得到复数集C与复平面内以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的，相等的向量表示同一个复数．

四、教学重点、难点

重点：复数的几何意义和在复平面内表示复数.

重点：复数的几何意义和在复平面内表示复数.

五、数学学科素养

数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算

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