高中数学《3.2复数乘除运算的几何意义》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

几何意义：

复数z=a+bi与复平面内的点(a,b)以及平面向量,其中a，b∈R，是一一对应关系(复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量)

z=a+bi的模，即

视频教学：

练习：

1.复数z=(sin 25°+icos 25°)³的三角形式是(　　)

A.cos 195°+isin 195°       B.sin 75°+icos 75°

C.cos 15°+isin 15°       D.cos 75°+isin 75°

解析z=(sin25°+icos25°)³=(cos65°+icos65°)³=cos195°+icos195°.故选A.

答案A

2.若复数z满足,arg=,则z=　　　　　. 

解析设=z₀,则|z₀|=,argz₀=,

所以z₀=·cos+isin=i,

所以i,解得z=1+i.

答案1+i

3.在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z₁,Z₂,Z₃,O(其中O为原点).已知Z₂对应复数Z₂=1+i,求Z₁和Z₃所对应的复数.

解根据题意作图如下.

正方形的一条对角线将正方形分成两个全等的等腰直角三角形,且斜边是直角边的倍.由复数运算的几何意义知,z₁=·z₂·cos-+isin-=·(1+i)i=i;z₃=·z₂·cos+isin=·(1+)i=i.

课件：

教案：

【教学目标】

了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

【教学重难点】

复数三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义.

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？

2．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？

二、基础知识

复数三角形式的乘、除运算：

若复数z₁＝r₁(cosθ₁＋isinθ₁)，z₂＝r₂(cosθ₂＋isinθ₂)，且z₁≠z₂，则

（1）z₁z₂＝r₁(cosθ₁＋isinθ₁)·r₂(cosθ₂＋isinθ₂)

＝r₁r₂[cos(θ₁＋θ₂)＋isin(θ₁＋θ₂)]．

（2）z1z2＝r1（cos θ1＋isin θ1）r2（cos θ2＋isin θ2）

＝r1r2[cos(θ₁－θ₂)＋isin(θ₁－θ₂)]．

即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．

两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．

三、合作探究

1．复数三角形式的乘、除运算

【例1】计算：

（1）8as4alco1(cos (443)π×4as4alco1(cos (556)π；

（2）3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]；

（3）4÷as4alco1(cos (ππ4).

【解】（1）8as4alco1(cos (443)π×4as4alco1(cos (556)π

＝32coslc(
c5c56)π))

＝32as4alco1(cos (13136)π

＝32as4alco1(cos (ππ6)

＝32as4alco1((
(312)i

＝163＋16i.

（2）3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]

＝[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]

＝6)2(cos 75°＋isin 75°)

＝6)2as4alco1((
(6)－
(2(6)＋
(24)i

＝3)8＋3)8i

＝3)4＋3)4i.

（3）4÷as4alco1(cos (ππ4)

＝4(cos 0＋isin 0)÷as4alco1(cos (ππ4)

＝4coslc(
c
c)))

＝22－22i.

【规律方法】

（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．

（2）除法法则：模相除，辐角相减．

（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角的n倍． 

2．复数三角形式乘、除运算的几何意义

【例2】在复平面内，把复数3－3i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．

【解】因为3－3i＝23as4alco1((
(312)i

＝23as4alco1(cos (11116)π

所以23as4alco1(cos (11116)π×as4alco1(cos (ππ3)

＝23coslc(
cπ
cπ3)))

＝23as4alco1(cos (13136)π

＝23as4alco1(cos (ππ6)

＝3＋3i，

23as4alco1(cos (11116)π×coslc(
c
c)))

＝23coslc(
cπ
cπ3)))

＝23as4alco1(cos (332)π

＝－23i.

故把复数3－3i对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i，按顺时针旋转π3得到的复数为－23i.

【规律方法】

两个复数z₁，z₂相乘时，先分别画出与z₁，z₂对应的向量→，→，然后把向量→绕点O按逆时针方向旋转角θ₂(如果θ₂<0，< span="">就要把→绕点O按顺时针方向旋转角|θ₂|)，再把它的模变为原来的r₂倍，得到向量→，→表示的复数就是积z₁z_2．

四、课堂检测

1．计算：

（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；

（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷(2)lc(
c)π)).

解：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)

＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)

＝cos 90°＋isin 90°

＝i.

（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷(2)lc(
c)π))

＝2as4alco1(cos (553)π÷
(2)lc(
c)π))

＝2coslc(
c3c34)π))

＝2as4alco1(cos (111112)π

＝－3)2＋3)－12i.

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