高中数学《1.3简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-12

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知识点：

（2）锥

棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

注：棱锥的性质：

①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；

②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；

③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。

圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

圆锥的性质：

①平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；

②轴截面是等腰三角形；

棱锥与圆锥统称为锥体。

（3）台

棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。

正棱台的性质：

①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；

②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形；

③棱台经常补成棱锥研究。

圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。

圆台的性质：

①圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；

②圆台的轴截面是等腰梯形；

③圆台经常补成圆锥来研究。

圆台和棱台统称为台体。

（4）球

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

注：球的有关问题转化为圆的问题解决。

视频教学：

练习：

1．下列几何体是台体的是()

答案　D

解析　台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行．C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确．

2．圆柱的母线长为10，则其高等于()

A．5

B．10

C．20

D．不确定

答案　B

解析　圆柱的母线长和其高相等．

3．下面几何体的截面一定是圆面的是()

A．圆台

B．球

C．圆柱

D．棱柱

答案　B

解析　截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．

4．下列命题：①通过圆台侧面上一点，有无数条母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是()

A．①②

B．②③

C．①③

D．②④

答案　D

解析　①③错误，②④正确．

5．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.

答案　

课件：

教案：

教学分析　　　　　

本节教材展示大量几何体的实物、模型、图片等，让学生感受圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征，从整体上认识空间几何体，再深入细节认识，更符合学生的认知规律．

值得注意的是：由于没有点、直线、平面的有关知识，所以本节的学习不能建立在严格的逻辑推理的基础上，这与以往的教材有较大的区别，教师在教学中要充分注意到这一点．本节教学尽量使用信息技术等手段，向学生展示更多具有典型几何结构特征的空间物体，增强学生的感受．

三维目标　　　　　

1．掌握圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力．

2．能够描述现实生活中简单物体的结构，学会建立几何模型研究空间图形，培养数学建模的思想．

重点难点　　　　　

教学重点：了解圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．

教学难点：归纳圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．

课时安排　　　　　

1课时

教学过程

导入新课　　　　　

设计1.在小学和初中，我们已经接触到了圆柱、圆锥、圆台和球，那么这些几何体有什么特征性质呢？教师点出课题．

设计2.从古至今，各个国家的建筑物都有各自的特色，古有埃及的金字塔，现有各城市大厦的旋转酒吧、旋转餐厅，上海东方明珠塔上的两个球形建筑等．它们都是独具匠心、整体协调的建筑物，是建筑师们集体智慧的结晶．今天我们如何从数学的角度来看待这些建筑物呢？教师点出课题．

推进新课　　　　　

as4alco1(新知探究)

as4alco1(提出问题)

(1)观察下图所示的几何体，分别是圆柱、圆锥、圆台，那么圆柱、圆锥、圆台有什么结构特征呢？

(2)阅读教材，给出几何体的轴、高、底面、侧面、母线的定义．

讨论结果：

(1)通过观察可以看出，圆柱、圆锥和圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体(如下图)．

(2)旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线．如上图中，直线O′O，SO是轴，线段O′O，SO是高，A′A，SA是母线．

as4alco1(提出问题)

　　1球是大家非常熟悉的几何体，那么球集合具有什么特征性质呢？2阅读教材，给出球心、球的半径和直径的定义？3球的截面是什么形状？具有什么性质？4阅读教材，什么叫球面上的两点距离？

讨论结果：

(1)让我们做一个实验：

一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周，研究半圆运动的轨迹是怎样的空间图形．

通过观察可以发现，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体，叫做球(如下图)．

(2)形成球的半圆的圆心叫球心；连结球面上一点和球心的线段叫球的半径；连结球面上两点且通过球心的线段叫球的直径．如下图中点O为球心，OA为球的半径，AB为球O的直径．

一个球用表示它的球心的字母来表示，例如球O.

球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合．

(3)用一个平面α去截半径为R的球O(下图)，不妨设平面α水平放置且不过球心，OO′为平面α的垂线，并与平面α交于点O′，OO′＝d，则对于平面α与球面的交线上任意一点P，都有O′P＝R2－d2，是一个定值．这说明截面与球面的交线是在平面α内，并且到定点O′的距离等于定长的点的集合．因此平面α截球面所得到的交线是以O′为圆心，以r＝R2－d2(R是球的半径)为半径的一个圆．也就是说，截面是一个圆面(圆及其内部)．

如果平面α过球心，则d＝0，r＝R.截面是半径等于球的半径的一个圆面．

球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．

当我们把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆；赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆(如左下图)．

(4)在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．事实上，人们把这个弧长叫做两点的球面距离．例如，右上图中劣弧PQ的长度就是P，Q两点的球面距离．飞机、轮船都是尽可能地以大圆弧(劣弧)为航线航行的．

as4alco1(提出问题)

　　阅读教材，给出组合体的定义.

讨论结果：

我们观察周围的物体，除了柱、锥、台、球等基本几何体外，还有大量的几何体是由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的．这些几何体叫做组合体．如下图所展示的机械可以看成是由一些基本几何体构成的组合体．对组合体可以通过把它们分解为一些基本几何体来研究．

as4alco1(应用示例)

思路1

例1用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长(下图)．

解：设圆台的母线长为y，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x,4x，根据相似三角形的性质，得

33＋y＝x4x，解此方程得y＝9.

因此，圆台的母线长为9 cm.

点评：解决本题的关键是利用截面三角形来解决问题．圆锥的母线、高、底面半径构成直角三角形．

变式训练

1．(2008 湖北，理3)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为(　　)

A.8π3 B.2)π3 C．82π D.32π3

解析：设球半径为R，截面小圆的半径为r，则πr²＝πr＝1.又R²＝1²＋r²＝2，

∴R＝2.∴V＝43πR³＝2)π3.

答案：B

2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm²，母线

与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．

分析：这类题目应该选取轴截面研究几何关系．

解：圆台的轴截面如下图，

设圆台上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长AA₁交OO₁的延长线于S.

在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，

则∠SAO＝45°.

所以SO＝AO＝3x.

所以OO₁＝2x.

又12(6x＋2x)·2x＝392，

解得x＝7(负值舍去)，

所以圆台的高OO₁＝14 cm，母线长l＝2OO₁＝142 cm，而底面半径分别为7 cm和21 cm.

答：圆台的高14 cm，母线长142 cm，底面半径分别为7 cm和21 cm.

例2我国首都北京靠近北纬40°.求北纬40°纬线的长度(单位：km，地球半径约为6 370 km，结果保留四位有效数字)．

解：如下图，设A是北纬40°圈上的一点，AK是它的半径，所以OK⊥AK.设c是北纬40°的纬线长，因为∠AOB＝∠OAK＝40°，所以

c＝2π·AK＝2π·OA·cos∠OAK

＝2π·OA·cos40°

≈2×3.141 6×6 370×0.766 0

≈3.066×10⁴(km)．

即北纬40°的纬线长约为3.066×10⁴ km.

点评：赤道是地球的大圆，纬线(东西方向)是地球的小圆．

变式训练

1．圆心到球的截面距离d＝3 cm，截面圆的半径r＝4 cm，则球的半径R＝________ cm.

解析：截面半径、球的半径、球心到截面距离构成直角三角形，则R²＝d²＋r²，即R²＝3²＋4²＝25，∴R＝5.

答案：5

2．（2008 四川高考，8）（理）设M、N是球O半径OP上的两点，且NP＝MN＝OM，分别过N、M、O作垂直于OP的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为(　　)

A．3∶5∶6 B．3∶6∶8

C．5∶7∶9 D．5∶8∶9

(文)设M是球O半径OP的中点，分别过M、O作垂直于OP的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为(　　)

A.14 B.12 C.23 D.34

解析：(理)设过N、M、O且垂直于OP的三个圆的半径分别为r₁，r₂，R，

则r₁＝23)R2＝5)3R，r₂＝13)R2＝2)3R.

∴三个圆的面积比等于它们的半径平方之比，即(5)3R)²∶(2)3R)²∶R²＝5∶8∶9.

(文)如下图所示，

∵M为OP中点，

∴OM＝R2.

∴MA＝OA2－OM2＝R2)2＝3)2R.

∴小圆面积S₁＝π·(3)2R)²，大圆面积S₂＝πR².

∴两圆面积比为S1S2＝34.

答案：(理)D　(文)D

思路2

例3说出下列几何体的主要结构特征：

解：(1)由圆锥与圆台构成的组合体．

(2)由棱锥和四棱柱构成的组合体．

点评：本题主要考查组合体的结构特点以及简单几何体的判断方法．

变式训练

1. （2008 浙江高考，理14）如左下图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝3，则球O的体积等于________．

解析：如右上图，据题意可知，球O即棱长为3的正方体外接球，其半径r＝
(3)2＋
(3)2＋
(3)2)2＝32，V＝43πr³＝92π.

答案：92π

2．下图所示是某单位公章，这个几何体是由简单几何体中的________组成的．

答案：半球、圆柱、圆台

as4alco1(知能训练)

1．下图所示几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是(　　)

A．(1)(2) B．(1)(3)

C．(1)(4) D．(1)(5)

答案：D

2．将一个边长分别是2 cm和5 cm、两邻边夹角为60°的平行四边形绕其5 cm边上的高所在直线旋转一周形成的几何体是(写出一种情况)________．

答案：高为3，两底半径分别为4,5的圆台

as4alco1(拓展提升)

1. （2008 陕西高考，文8）长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各顶点都在半径为1的球面上，其中AB∶AD∶AA₁＝2∶1∶3，则A，B两点的球面距离为(　　)

A.π4 B.π3 C.π2 D.2π3

解析：由题意知，长方体内接于球，此时具有两个性质：

①长方体的体对角线为球体的直径(由题意，直径为2)；

②长方体的中心就是球心O.

先由性质①：BD₁＝21)＝2，

再结合条件“AB∶AD∶AA₁＝2∶1∶3”，可设AB＝2k，AD＝k，AA₁＝3k，所以有4k2＋k2＋3k2＝2，解得k＝2)2(负值舍去)．

因此AB＝2，AD＝2)2.

再由性质②：O是球心同时也是BD₁的中点，

∴OB＝12BD₁＝OA＝1，而OA²＋OB²＝AB²，

∴∠AOB＝90°.

再由球面距离的定义，AB的球面距离就是扇形AOB的劣弧长．

由弧长公式可得AB＝90×π×1180＝π2.

∴AB的球面距离为π2.

答案：C

as4alco1(课堂小结)

本节课学习了：

1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征；

2．组合体的构成．

as4alco1(作业)

本节P₁₃练习A　4,5题；P₁₆练习A　2题．

设计感想

本节课的教学设计，重点突出了学生的“自主性”和“探究性”．因此在实际教学中，应注意多留给学生思考的时间，不要直接给出结论．

备课资料

知识总结：

1．棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较，如下表所示：

结构特征	棱柱	棱锥	棱台
定义	两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体称为棱柱	有一面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥	用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台
底面	两底面是全等的多边形	多边形	两底面是相似的多边形
侧面	平行四边形	三角形	梯形
侧棱	平行且相等	相交于顶点	延长线交于一点
平行于底面的截面	与两底面是全等的多边形	与底面是相似的多边形	与两底面是相似的多边形
过不相邻两侧棱的截面	平行四边形	三角形	梯形

　　2.圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征比较，如下表所示：

结构特征	圆柱	圆锥	圆台	球
定义	以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱	以直角三角形的一条直角边为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥	以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台	以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球
底面	两底面是平行且半径相等的圆	圆	两底面是平行但半径不相等的圆	无
侧面展开图	矩形	扇形	扇环	不可展开
母线	平行且相等	相交于顶点	延长线交于一点	无
平行于底面的截面	与两底面是平行且半径相等的圆	平行于底面且半径不相等的圆	与两底面是平行且半径不相等的圆	球的任何截面都是圆
轴截面	矩形	等腰三角形	等腰梯形	圆